2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測(cè)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

.1平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算、平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表示一、選擇題1.(2024屆安徽名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,3)四邊形ABCD中,AD=BC,(AB+AD)·(AB-AD)=0,則這個(gè)四邊形是()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形答案A由于AD=BC,因此AD∥BC且AD=BC,所以四邊形ABCD是平行四邊形.連接AC,BD,因?yàn)锳B+AD=AC,AB-AD=DB,(AB+AD)·(AB-AD)=0,所以AC·DB=0,得AC⊥DB,所以四邊形ABCD是菱形,故選A.2.(2024屆河北邢臺(tái)“五岳聯(lián)盟”部分重點(diǎn)學(xué)校期中,2)若向量a=(1,7),b=(14,-2),c=(-1,1),則()A.a∥b且a·b=6B.a⊥b且a·c=6C.a∥b且a·c=-6D.a⊥b且a·c=-6答案B由題意得a·b=0,∴a⊥b,又a·c=1×(-1)+7×1=6,故選B.3.(2024屆湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考,3)已知向量m=(3,5),n=(9,7),則()A.m⊥nB.m∥nC.m∥(m+n)D.(2m-n)⊥(m+n)答案D由題意知,2m-n=(-3,3),m+n=(12,12),∴(2m-n)·(m+n)=-3×12+3×12=0,∴(2m-n)⊥(m+n),故選D.4.(2024百校大聯(lián)考(六),9)已知向量a=(3,100),若λa=(3λ,2μ)(λ,μ∈R),則λμ=(A.50B.3C.150D.答案C依據(jù)題意得λa=(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以2μ=100λ,所以λμ=150,故選5.(2024四川南充3月測(cè)試,5)如圖,在△ABC中,AB+AC=2AD,E為AD的中點(diǎn).若EB=xAB+yAC,則()A.y=3xB.x=3yC.y=-3xD.x=-3y答案D在△ABC中,由AB→+AC→=2AD→,得D為BC的中點(diǎn).因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),所以EB=-12(BA+BD)=-12BA-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC,又EB=x6.(2024屆四川綿陽(yáng)調(diào)研(一),4)設(shè)D,E為△ABC所在平面內(nèi)兩點(diǎn),AD=DC,CB=2BE,則()A.DE=AB+32ACB.DE=-3C.DE=AB-32ACD.DE=3答案D由題意知,DE=DC+CE=12AC+32CB=12AC+32(AB-AC)=7.(2024屆陜西頂級(jí)名校10月月考,9)在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若AD=3DB,CD=14CA+λCB,則λ=(A.14B.-14C.-34答案D由題意知CD=CA+AD=CA+34AB=CA+34(CB-CA)=14CA+34CB,又知CD=14CA+λ8.(2024重慶一模,7)五角星是一個(gè)特別美麗的幾何圖形,且與黃金分割有著親密的聯(lián)系.在如圖所示的五角星中,以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且|PT||AT|=5-12,若ES-AP=λBQ(λA.5+12B.5-12C.-答案D依據(jù)圖形可知ES=RC,AP=QC,故ES-AP=RC-QC=RC+CQ=RQ,又|RQ|=|PT|,|BQ|=|AT|,故RQ=5-1∴λ=1-59.(2024屆河南南陽(yáng)名校10月月考,11)如圖,在△ABC中,點(diǎn)P滿意BP=3PC,過(guò)點(diǎn)P的直線與AB,AC所在的直線分別交于點(diǎn)M,N,若AM=λAB,AN=μAC(λ>0,μ>0),則λ+μ的最小值為()A.32+1B.22+11C.32答案A連接AP.在△ABC中,BP=BA+AP,PC=PA+AC,∵BP=3PC,∴-AB+AP=3(AC-AP),即AP=34AC+14AB,∵AM=λAB,AN=μAC(λ>0,μ>0),∴AP=34μAN+14λAM,∵M(jìn)、P、N三點(diǎn)共線,∴34μ+14λ=1(λ>0,μ>0),∴λ+μ=(λ+μ)·34μ+14λ=1+3λ4μ+μ二、填空題10.(2024屆百師聯(lián)盟9月一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考一,15)在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E為CD的中點(diǎn),若EF=2FB,AF=λAB+μAD,則λ+μ=.

答案7解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(6,0),D(0,4),E(3,4).由EF=2FB得EF=23EB.設(shè)F(x,y),則EF=(x-3,y-4)=23(3,-4),解得x=5,y=43,則F5,43,則AF=5,43,又AF=λAB+μAD=(6λ,4μ),所以λ=11.(2024屆黑龍江頂級(jí)名校聯(lián)考(二),15)如圖,O是△ABC的重心,AB=a,AC=b,D是邊BC上一點(diǎn),且BD=3DC,OD=λa+μb,則λ+μ=.

答案1解析如圖,延長(zhǎng)AO交BC于E,由O為△ABC的重心知E為BC的中點(diǎn),且AO=2OE,AE=12(AB+AC),由BD=3DC,得D是BC的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)C,OD=OE+ED=13AE+14BC=13×12(AB+AC)+14(AC-AB)=-112AB+512AC=-112.(2024屆北京十三中9月月考,13)已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)及邊界上一點(diǎn),實(shí)數(shù)x,y滿意AP=xAB+yAD.當(dāng)AP·AB取得最大值時(shí),數(shù)對(duì)(x,y)可以是.

答案(1,0)(答案不唯一)解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),D(0,1),∴AB=(1,0),AD=(0,1),∴AP=xAB+yAD=(x,y),∴P(x,y),∵點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)及邊界上一點(diǎn),∴0≤x≤1,0≤y≤1,∵AP·AB=x,∴當(dāng)x=1時(shí),AP·AB取得最大值,此時(shí)0≤y≤1,即P在邊BC上,∴數(shù)對(duì)(x,y)可以是(1,0).(答案不唯一,符合(1,y)(0≤y≤1)即可)三、解答題13.(2024屆河南六市10月聯(lián)考,20)在△ABC中,AB=3,AC=6,BN=2NA,BC=3BM,直線AM與直線CN相交于點(diǎn)P,AP=λAM.(1)求實(shí)數(shù)λ的值;(2)若|AP|=67,求∠BAC的大小解析(1)依據(jù)題意得C,P,N三點(diǎn)共線,故可設(shè)AP→=mAN→+(1-m)因?yàn)锽C=3BM,所以AM=