上海市徐匯區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題含解析

上海市徐匯區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)一模試題考生留意：1.本場考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分.2.每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題卷兩份材料，答卷前，在答題卷上填寫姓名、考號(hào)等相關(guān)信息.3.全部作答務(wù)必填涂在答題卷上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位，在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置干脆填寫結(jié)果.1.已知全集，集合，則__________.【答案】【解析】【分析】先化簡集合，再利用集合補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】由解得，所以，所以，故答案為：2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則_____________.【答案】【解析】【分析】由已知求得，進(jìn)一步得到，再依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算可得．【詳解】解：由題意，，，．故答案為：2．3.不等式的解集為____________.【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解，【詳解】恒成立，原不等式可化為，即，解得，故答案為：4.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)的定義，求解簡潔的三角方程，即可求得結(jié)果.【詳解】令，解得，又，故可得.即函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)是.故答案為：.5.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，，則的值域是_______【答案】【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性可得函數(shù)在上的解析式，做出圖像即可求得值域.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，所以，作出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知：函數(shù)值域?yàn)?故答案為：6.在的二項(xiàng)綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)是___________.【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：.7.已知圓錐的側(cè)面積為2π，且側(cè)面綻開圖為半圓，則底面半徑為____.【答案】1【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，依據(jù)題意可求得母線長，從而可求得底面圓的周長，即可得出答案.【詳解】解：題中圓錐綻開圖如圖，設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為2π，且側(cè)面綻開圖為半圓，所以，所以，故底面圓的周長為，即，解得，所以底面半徑為1.故答案為：18.在數(shù)列中，，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】利用遞推公式累加即可求解.【詳解】由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案為：49.某中學(xué)從甲、乙兩個(gè)班中各選出15名學(xué)生參與學(xué)問競賽，將他們的成果（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設(shè)成果在88分以上（含88分）的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，現(xiàn)從甲、乙兩班的優(yōu)秀學(xué)生中各取1人，記甲班選取的學(xué)生成果不低于乙班選取得學(xué)生成果記為事務(wù)，則事務(wù)發(fā)生的概率___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖利用古典概型的計(jì)算公式求解即可.【詳解】從甲、乙兩班優(yōu)秀學(xué)生中各取1人全部的可能為：，共18種狀況，其中甲班選取的學(xué)生成果不低于乙班選取得學(xué)生成果的狀況有4種，所以，故答案為：10.在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)在方向上的數(shù)量投影先求出,取,則,即求的最小值,過點(diǎn)作的垂線即可求得.【詳解】解:由題知在方向上的數(shù)量投影是-2,,,,即,記,則,若求的最小值即求的最小值,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),此時(shí)最小,如圖所示:,故答案為:11.設(shè)，函數(shù)的圖像與直線有四個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，利用韋達(dá)定理，求得，和的關(guān)系，以及的范圍，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，借助對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，令，解得或，不妨設(shè)作圖如下：又直線的斜率為，數(shù)形結(jié)合可知，要滿意題意，；且為方程，即的兩根，當(dāng)時(shí)，，則，故；為方程，即的兩根，當(dāng)時(shí)，，則，故；則，令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，又，故，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程；處理問題的關(guān)鍵是能夠數(shù)形結(jié)合求得，和的關(guān)系，從而借助函數(shù)單調(diào)性求值域，屬綜合中檔題.12.已知正實(shí)數(shù)滿意，則的取最小值___________.【答案】【解析】【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為距離之和的最小值即可求解.【詳解】設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，且在第一象限，設(shè)點(diǎn)，所以，如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為，則有解得，所以，由圖可知，當(dāng)在直線時(shí)，最小，最小值為，即的最小值為，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置.將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.設(shè),則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】C【解析】【分析】由可推出同號(hào),則依據(jù)分類探討可得出,依據(jù),兩邊同乘可得,即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題知,則同號(hào),當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,故能推出,當(dāng)成立時(shí),又,對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以可得,故“”是“”的充分必要條件.故選:C14.已知圓的半徑為3，圓的半徑為7，若兩圓相交，則兩圓的圓心距可能是（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】分析】依據(jù)兩圓相交圓心距驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓的圓心距即，僅有C滿意，故選：C15.已知平面、、兩兩垂直，直線a、b、c滿意：，，，則直線a、b、c位置關(guān)系不行能是（）A.兩兩垂直 B.兩兩平行 C.兩兩相交 D.兩兩異面【答案】B【解析】【分析】作出平面以及平面的直線的全部狀況即可求解.【詳解】如圖1，可得，，可能兩兩垂直；如圖2，可得，，可能兩兩相交；如圖3，可得，，可能兩兩異面.對(duì)于B，如圖，假設(shè)，，可得，平面兩兩垂直，，，，這與相沖突，假設(shè)不成立，故B不正確；故選：B.16.設(shè)數(shù)列為：，其中第1項(xiàng)為，接下來2項(xiàng)均為，再接下來4項(xiàng)均為，再接下來8項(xiàng)均為，…，以此類推，記，現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)，使得；②數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列.下列推斷正確的是（）A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題【答案】D【解析】【分析】由題規(guī)律找出的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)推斷即可，對(duì)進(jìn)行分類探討寫出，從而求出，利用即可.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，其中，，所以不存在正整數(shù)，使得，故①為假命題；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)；故數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，所以②為真命題.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必需在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.如圖，在直三棱柱中，，，，交于點(diǎn)E，D為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，從而可得平面，進(jìn)而可得，再由線面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用向量法求解即可【小問1詳解】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所?因?yàn)?，，，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?，，平面，平面，所以平?【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，即，則，由（1）平面的一個(gè)法向量為.又設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.因此，直線與平面所成角的大小為.18.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，（2）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，.所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，與在上的改變狀況如下：1+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增所以函數(shù)在及內(nèi)嚴(yán)格增，在內(nèi)嚴(yán)格減；②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.19.近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,很多城市接連建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)安排在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建立“口袋公園”、如圖所示,以中點(diǎn)A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點(diǎn)在弧BC上（不與端點(diǎn)重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).（1）假如點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對(duì)于“拉動(dòng)敏捷就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有主動(dòng)作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開拓臨時(shí)攤點(diǎn),主動(dòng)推動(dòng)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展,預(yù)料每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?（精確到1萬元）【答案】（1）(米)（2）2024萬元【解析】【分析】(1)依據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;(2)將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關(guān)系用關(guān)于的等式表示,再記經(jīng)濟(jì)總效益,將進(jìn)行表示,通過協(xié)助角公式化簡求出最值即可.【小問1詳解】解:由題,,同理,故,由于點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),所以點(diǎn)P位于的角平分線上,則,,因?yàn)?,所以為等邊三角形,則,因此三條街道的總長度為（米）.小問2詳解】由圖可知,,,,在中由余弦定理可知:,則,設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益,則,當(dāng)即時(shí)取最大值,最大值為.答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2024萬元.20.已知曲線的方程為，直線：與曲線在第一象限交于點(diǎn).（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸上且離心率為的橢圓，求的值；（2）若，時(shí)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)M，N，且，求曲線的方程；（3）是否存在不全相等，，滿意，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）或（3）存在，【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓離心率的公式以及橢圓中的關(guān)系即可求解,（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，由韋達(dá)定理以及弦長公式求解，（3）聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達(dá)定理，依據(jù)假設(shè)，代入即可化簡求解.【小問1詳解】由題得，曲線為：，又離心率為，，則，又因?yàn)?，因此?【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程得，因?yàn)?，則，，所以，，解得或.因此，曲線的方程為：或.【小問3詳解】聯(lián)立得，又，得，解得，假設(shè)存在（，，不全相等），使得成立.故，有，進(jìn)一步有，化簡得，由在第一象限，且，得.（i），則，，；（ii），則，得，又因?yàn)椋瑒t與已知沖突.綜上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此時(shí)【點(diǎn)睛】圓錐曲線中與直線相交的問題，一般采納聯(lián)立方程，得韋達(dá)定理.常采納設(shè)而不求的思想.常用的做題思路為：(1)設(shè)直線的方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，(2)聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達(dá)定理，或者(3)依據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算相關(guān)量（例如斜率，弦長等），利用其滿意的性質(zhì)和題目中的條件求得參數(shù)值或者參數(shù)的關(guān)系.21.對(duì)于數(shù)列，，其中，對(duì)隨意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且，.（1）若（是正整數(shù)），求，，，的值；（2）若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，假如存在，懇求出最小值，假如不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是.【答案】（1），，，（2）存在，（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由“接近數(shù)列”得定義可干脆求出，，，的值；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)探討，求出，在此基礎(chǔ)上，分奇偶令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）先證若時(shí)，則為等差數(shù)列，且公差也為，由去肯定值得，即，兩式作差即可求證；再證若為等差數(shù)列，則，結(jié)合肯定值三角不等式得，，兩式處理得，化簡即可求證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉閿?shù)列的“接近數(shù)列”，，所以，只能是，，，；【小問2詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進(jìn)一步有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進(jìn)一步有，綜上所述：，由前項(xiàng)和公式化簡得，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令無解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，所以，，即.因此