上海市徐匯區(qū)2025屆高三數(shù)學一模試題含解析

上海市徐匯區(qū)2024屆高三數(shù)學一模試題考生留意：1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分.2.每位考生應同時收到試卷和答題卷兩份材料，答卷前，在答題卷上填寫姓名、考號等相關信息.3.全部作答務必填涂在答題卷上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位，在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置干脆填寫結果.1.已知全集，集合，則__________.【答案】【解析】【分析】先化簡集合，再利用集合補集的定義求解即可.【詳解】由解得，所以，所以，故答案為：2.在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應的點的坐標為，則_____________.【答案】【解析】【分析】由已知求得，進一步得到，再依據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得．【詳解】解：由題意，，，．故答案為：2．3.不等式的解集為____________.【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解，【詳解】恒成立，原不等式可化為，即，解得，故答案為：4.函數(shù)在區(qū)間上的零點是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)零點的定義，求解簡潔的三角方程，即可求得結果.【詳解】令，解得，又，故可得.即函數(shù)在區(qū)間上的零點是.故答案為：.5.已知是定義域為的奇函數(shù)，且時，，則的值域是_______【答案】【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性可得函數(shù)在上的解析式，做出圖像即可求得值域.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，當時，，則時，，所以，作出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知：函數(shù)值域為.故答案為：6.在的二項綻開式中，項的系數(shù)是___________.【答案】【解析】【分析】由二項式的通項公式即可求解.【詳解】二項式的通項為，令，得，所以項的系數(shù)是.故答案為：.7.已知圓錐的側面積為2π，且側面綻開圖為半圓，則底面半徑為____.【答案】1【解析】【分析】設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，依據(jù)題意可求得母線長，從而可求得底面圓的周長，即可得出答案.【詳解】解：題中圓錐綻開圖如圖，設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，因為圓錐的側面積為2π，且側面綻開圖為半圓，所以，所以，故底面圓的周長為，即，解得，所以底面半徑為1.故答案為：18.在數(shù)列中，，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】利用遞推公式累加即可求解.【詳解】由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案為：49.某中學從甲、乙兩個班中各選出15名學生參與學問競賽，將他們的成果（滿分100分）進行統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設成果在88分以上（含88分）的學生為優(yōu)秀學生，現(xiàn)從甲、乙兩班的優(yōu)秀學生中各取1人，記甲班選取的學生成果不低于乙班選取得學生成果記為事務，則事務發(fā)生的概率___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖利用古典概型的計算公式求解即可.【詳解】從甲、乙兩班優(yōu)秀學生中各取1人全部的可能為：，共18種狀況，其中甲班選取的學生成果不低于乙班選取得學生成果的狀況有4種，所以，故答案為：10.在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)在方向上的數(shù)量投影先求出,取,則,即求的最小值,過點作的垂線即可求得.【詳解】解:由題知在方向上的數(shù)量投影是-2,,,,即,記,則,若求的最小值即求的最小值,過點作的垂線交于點,此時最小,如圖所示:,故答案為:11.設，函數(shù)的圖像與直線有四個交點，且這些交點的橫坐標分別為，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，利用韋達定理，求得，和的關系，以及的范圍，將目標式轉化為關于的函數(shù)，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結果.【詳解】依據(jù)題意，令，解得或，不妨設作圖如下：又直線的斜率為，數(shù)形結合可知，要滿意題意，；且為方程，即的兩根，當時，，則，故；為方程，即的兩根，當時，，則，故；則，令，由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，又，故，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程；處理問題的關鍵是能夠數(shù)形結合求得，和的關系，從而借助函數(shù)單調(diào)性求值域，屬綜合中檔題.12.已知正實數(shù)滿意，則的取最小值___________.【答案】【解析】【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關系，將問題轉化為距離之和的最小值即可求解.【詳解】設直線，點在直線上，且在第一象限，設點，所以，如圖所示，點A關于直線對稱的點設為，則有解得，所以，由圖可知，當在直線時，最小，最小值為，即的最小值為，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置.將代表正確選項的小方格涂黑.13.設,則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】C【解析】【分析】由可推出同號,則依據(jù)分類探討可得出,依據(jù),兩邊同乘可得,即可選出選項.【詳解】解:由題知,則同號,當時,有,當時,有,故能推出,當成立時,又,對不等式兩邊同時乘以可得,故“”是“”的充分必要條件.故選:C14.已知圓的半徑為3，圓的半徑為7，若兩圓相交，則兩圓的圓心距可能是（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】分析】依據(jù)兩圓相交圓心距驗證各選項即可.【詳解】因為兩圓相交，所以兩圓的圓心距即，僅有C滿意，故選：C15.已知平面、、兩兩垂直，直線a、b、c滿意：，，，則直線a、b、c位置關系不行能是（）A.兩兩垂直 B.兩兩平行 C.兩兩相交 D.兩兩異面【答案】B【解析】【分析】作出平面以及平面的直線的全部狀況即可求解.【詳解】如圖1，可得，，可能兩兩垂直；如圖2，可得，，可能兩兩相交；如圖3，可得，，可能兩兩異面.對于B，如圖，假設，，可得，平面兩兩垂直，，，，這與相沖突，假設不成立，故B不正確；故選：B.16.設數(shù)列為：，其中第1項為，接下來2項均為，再接下來4項均為，再接下來8項均為，…，以此類推，記，現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)，使得；②數(shù)列是嚴格減數(shù)列.下列推斷正確的是（）A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題【答案】D【解析】【分析】由題規(guī)律找出的表達式，利用不等式的性質(zhì)推斷即可，對進行分類探討寫出，從而求出，利用即可.【詳解】由題意得：當時，其中，，所以不存在正整數(shù)，使得，故①為假命題；當時，所以當時；故數(shù)列是嚴格減數(shù)列，所以②為真命題.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必需在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.如圖，在直三棱柱中，，，，交于點E，D為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，從而可得平面，進而可得，再由線面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用向量法求解即可【小問1詳解】因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以.因為，，，平面，平面，所以平面.因為平面，所以.因為，，，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，，設，，，，因為，所以，即，則，由（1）平面的一個法向量為.又設直線與平面所成角的大小為，則.因此，直線與平面所成角的大小為.18.已知.（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義求解，（2）由導數(shù)與單調(diào)性的關系求解，【小問1詳解】當時，，，所以，.所以函數(shù)在點處的切線方程為.【小問2詳解】因為，定義域為，所以.①當時，與在上的改變狀況如下：1+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增所以函數(shù)在及內(nèi)嚴格增，在內(nèi)嚴格減；②當時，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.19.近年來,為“加大城市公園綠地建設力度,形成布局合理的公園體系”,很多城市接連建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)安排在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建立“口袋公園”、如圖所示,以中點A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點在弧BC上（不與端點重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設.（1）假如點P位于弧BC的中點,求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地攤經(jīng)濟”對于“拉動敏捷就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有主動作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開拓臨時攤點,主動推動“地攤經(jīng)濟”發(fā)展,預料每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高為多少?（精確到1萬元）【答案】（1）(米)（2）2024萬元【解析】【分析】(1)依據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;(2)將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關系用關于的等式表示,再記經(jīng)濟總效益,將進行表示,通過協(xié)助角公式化簡求出最值即可.【小問1詳解】解:由題,,同理,故,由于點P位于弧BC的中點,所以點P位于的角平分線上,則,,因為,,所以為等邊三角形,則,因此三條街道的總長度為（米）.小問2詳解】由圖可知,,,,在中由余弦定理可知:,則,設三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益,則,當即時取最大值,最大值為.答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高約為2024萬元.20.已知曲線的方程為，直線：與曲線在第一象限交于點.（1）若曲線是焦點在軸上且離心率為的橢圓，求的值；（2）若，時，直線與曲線相交于兩點M，N，且，求曲線的方程；（3）是否存在不全相等，，滿意，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）或（3）存在，【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓離心率的公式以及橢圓中的關系即可求解,（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，由韋達定理以及弦長公式求解，（3）聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達定理，依據(jù)假設，代入即可化簡求解.【小問1詳解】由題得，曲線為：，又離心率為，，則，又因為，因此，.【小問2詳解】設，，聯(lián)立方程得，因為，則，，所以，，解得或.因此，曲線的方程為：或.【小問3詳解】聯(lián)立得，又，得，解得，假設存在（，，不全相等），使得成立.故，有，進一步有，化簡得，由在第一象限，且，得.（i），則，，；（ii），則，得，又因為，則與已知沖突.綜上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此時【點睛】圓錐曲線中與直線相交的問題，一般采納聯(lián)立方程，得韋達定理.常采納設而不求的思想.常用的做題思路為：(1)設直線的方程為，設交點坐標為，(2)聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達定理，或者(3)依據(jù)交點坐標計算相關量（例如斜率，弦長等），利用其滿意的性質(zhì)和題目中的條件求得參數(shù)值或者參數(shù)的關系.21.對于數(shù)列，，其中，對隨意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且，.（1）若（是正整數(shù)），求，，，的值；（2）若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，假如存在，懇求出最小值，假如不存在，請說明理由；（3）若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是.【答案】（1），，，（2）存在，（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由“接近數(shù)列”得定義可干脆求出，，，的值；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)探討，求出，在此基礎上，分奇偶令，結合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）先證若時，則為等差數(shù)列，且公差也為，由去肯定值得，即，兩式作差即可求證；再證若為等差數(shù)列，則，結合肯定值三角不等式得，，兩式處理得，化簡即可求證.【小問1詳解】因為，所以，又因為為數(shù)列的“接近數(shù)列”，，所以，只能是，，，；【小問2詳解】當為奇數(shù)時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進一步有，當為偶數(shù)時，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，即，得，進一步有，綜上所述：，由前項和公式化簡得，，當為偶數(shù)時，令無解；當為奇數(shù)時，令，所以，，即.因此