人教版九年級數學上冊期末復習考點清單 專題07相似（11個考點清單+14種題型解讀）

專題07相似（考點清單，11個考點清單+14種題型解讀）【清單01】圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關。【清單02】成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應一致（有時為了計算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到小）的順序排列；②分別計算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質：基本性質：若，則；反之，也成立。和比性質：若，則；更比性質：若，則；反比性質：若，則；等比性質：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項，、叫內項，、叫前項，、叫后項，如果，那么叫做、的比例中項。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點?！厩鍐?3】平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例?！厩鍐?4】相似多邊形的性質與判定（1）相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數相同；（2）對應角相等；（3）對應邊的比相等。【清單05】相似三角形的相關概念1）、相似三角形的概念：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比。相似三角形對應邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例。【清單06】相似三角形的判定判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）?！厩鍐?7】相似三角形的性質1、對應角相等，對應邊的比相等；2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【清單08】利用相似三角形測高1）、利用相似三角形的性質測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質來解決實際問題的核心是構造相似三角形，在構造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應邊易測這一原則?！厩鍐?9】位似的概念及性質1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯系：1、區(qū)別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側，也可能位于兩圖形內。位似中心的確定：根據“位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側，也可能位于兩圖形內。位似中心的確定：根據“對應點的連線都經過位似中心”的特點確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。4)、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比。【清單10】利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。【清單11】圖形的變換與坐標1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應相應地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數。3）、以原點為位似中心的位似變換在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（對應點在位似中心同側）或者－k（對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應點的坐標為或。【考點題型一】線段成比例1.（21-22九年級上·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足，則下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．2．（22-23九年級上·廣東佛山·期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（）A． B． C． D．3.（23-24九年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖中點DE分別在邊上，，若，則的長是．【考點題型二】坐標系里的位似4.（23-24九年級上·遼寧丹東·期末）在平面直角坐標系內，線段的兩個端點的坐標分別為，以原點O為位似中心，相似比為，將線段縮小得到線段，則點A的對應點的坐標為（

）A． B．或 C． D．或5.（22-23九年級上·福建漳州·期末）如圖，線段兩個端點的坐標分別為、，以原點為位似中心，在第一象限內將線段放大到原來的2倍后得到線段，則端點的坐標為．【考點題型三】相似三角形的判定與性質的綜合運用6.（23-24九年級下·山東淄博·期末）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊，上，，若，，則的長為（

）A．1.8 B．3 C．3.2 D．47.（23-24九年級下·湖南岳陽·期末）如圖，已知在四邊形中，．為邊延長線上一點，連接交邊于點，連接交于點，且．求證：．8.（23-24九年級上·北京通州·期末）如圖，中，，，點D在的延長線上，取的中點F，連結，將線段繞點C順時針旋轉得到線段，連結．(1)依題意，請補全圖形；(2)判斷的數量關系及它們所在直線的位置關系，并證明．【考點題型四】“A”字型9.（22-23九年級上·北京順義·期末）如圖，在菱形中，點E在邊上，射線交的延長線于點F，若，，則的長為（

）A．1 B． C． D．210.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，平分，于點F，D為的中點，連接延長交于點E．若，，則線段的長為．11.（23-24九年級上·江西吉安·期末）如圖，在中，平分，交于點，過點作，交于點．求證：．【考點題型五】“X”字型12.（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖在中，、分別是邊、上的點，且，若，則的值為（

）A． B． C． D．13.（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，，連接交于點F，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．14.（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，平行四邊形中，E為的中點，與交于點F．則與的面積比為．

15.（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，相交于點O，已知，，求證：．【考點題型六】旋轉型16.（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在等腰三角形中，，點D在上，連接，把繞點A逆時針旋轉得到，使，連接，若，，則的長為(

)A． B． C． D．1017.（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在等腰中，，為上一點，，連接，以為邊向右作等腰，使，．連接，則．18.（22-23九年級上·四川遂寧·期中）如圖，在和中，．求證：(1)；(2)．【考點題型七】垂直型19.（23-24九年級上·河南漯河·期末）如圖，在中，于D，下列條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．20.（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，是線段上一點，，，，連接并延長交于點，連接并延長交于點．已知，，，，，那么．21.（20-21九年級上·湖南株洲·期末）如圖，在正方形中，E是邊上的點，點F在邊上，且．(1)求證：；(2)若，延長交的延長線于點G，求的長．【考點題型八】等角型22.（21-22九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，小亮同學用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調整自己的位置，設法使斜邊保持水平，并且邊與樹頂B在同一直線上，已知紙板的兩條邊，，延長交于點C，測得邊離地面的高度，，求樹高．23．（22-23九年級上·北京·階段練習）如圖，在中，是邊上的高．(1)求證：；(2)若，求的長．【考點題型九】在圓中證明三角形相似24.（22-23九年級上·浙江杭州·期末）如圖，等邊是的內接三角形，點D，E分別為邊上的中點，延長交于點F，若，則（

）A． B． C． D．25.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）日晷儀也稱日晷，是我國古代觀測日影計時的儀器，主要是根據日影的位置，以指定當時的時辰或刻度．小明為了探究日器的奧秘，在不同的時刻對日晷進行了觀察．如圖，日晷的平面是以點O為圓心的圓，線段為日器的底座，點C為日晷與底座的接觸點，與相切于點C，點A，B，F均在上，且為不同時刻晷針的影長（A、O、B共線），的延長線分別與相交于點E，D，連接，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．26.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，是圓的內接三角形，點在弦上，平分，．(1)求證：平分；(2)若為直徑，且，，求的長．【考點題型十】利用相似證明線段成比例27.（21-22九年級上·廣西百色·期末）如下圖所示，在△ABC中，點D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結論一定正確的是(

)A． B．C． D．【考點題型十一】利用相似求圓中線段的長28.（22-23九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在半徑為5的中，是直徑，是弦，是的中點，與交于點．若，則的長為（

）A． B． C． D．29．（20-21九年級下·浙江·期末）如圖，是⊙O的內接三角形，是⊙O的直徑．作弦交于點，連結交于點．若是中點，，則的長為（

）A．8 B． C． D．1230.（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點F為直徑上一點，連接并延長交于點G，交于點E，若，，，則的長為．31.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，為的直徑，C是上一點，D是的中點，弦，垂足為F．(1)求證：；(2)若，，求的長．【考點題型十二】利用相似求圓的半徑32.（22-23九年級上·山東煙臺·期末）如圖，以的邊為直徑的半圓交、于、兩點，連接，若，，則半圓的半徑長為（

）A． B． C．3 D．33.（20-21九年級上·湖北黃岡·期末）如圖，已知的邊是的切線，切點為點．經過圓心并與圓相交于點，，過點作直線，交的延長線于點．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑．34.（20-21九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在△ABC中，點O是BC中點，以O為圓心，BC為直徑作圓剛好經過A點，延長BC于點D，連接AD已知．(1)求證：①AD是⊙O的切線；②△ACD∽△BAD；(2)若BD＝8，，求⊙O的半徑．【考點題型十三】利用相似在圓中求線段的比35.（21-22九年級上·浙江舟山·期末）如圖，內接于，為直徑，，點在（不與，，重合）上，，點在直線上，連接．(1)如圖1，若點在上，求證：；(2)在（1）的條件下，，，求線段的長；(3)若直線與直線相交于點，當時，求的值；36.（22-23九年級上·浙江寧波·期末）如圖1，四邊形是的內接四邊形，其中，對角線相交于點E，在上取一點F，使得，過點F作交于點G、H．(1)證明:．(2)如圖2，若，且恰好經過圓心O，求的值．(3)若，設的長為x．①如圖3，用含有x的代數式表示的周長．②如圖4，恰好經過圓心O，求內切圓半徑與外接圓半徑的比值．【考點題型十四】利用相似在圓中求角的大小37.（21-22九年級上·廣東深圳·期中）如圖，在中，點D在上，，，(1)求證：；(2)當時，求的大?。?8．（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，是斜邊的中點，交于，垂足為，連接．(1)求證：；(2)如果與相似，求其相似比；(3)如果，求的大?。?/p>

專題07相似（考點清單，11個考點清單+14種題型解讀）【清單01】圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關。【清單02】成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應一致（有時為了計算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校虎诜謩e計算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質：基本性質：若，則；反之，也成立。和比性質：若，則；更比性質：若，則；反比性質：若，則；等比性質：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項，、叫內項，、叫前項，、叫后項，如果，那么叫做、的比例中項。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點。【清單03】平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例?！厩鍐?4】相似多邊形的性質與判定（1）相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數相同；（2）對應角相等；（3）對應邊的比相等。【清單05】相似三角形的相關概念1）、相似三角形的概念：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比。相似三角形對應邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例?！厩鍐?6】相似三角形的判定判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）?！厩鍐?7】相似三角形的性質1、對應角相等，對應邊的比相等；2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【清單08】利用相似三角形測高1）、利用相似三角形的性質測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質來解決實際問題的核心是構造相似三角形，在構造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應邊易測這一原則。【清單09】位似的概念及性質1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯系：1、區(qū)別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側，也可能位于兩圖形內。位似中心的確定：根據“位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側，也可能位于兩圖形內。位似中心的確定：根據“對應點的連線都經過位似中心”的特點確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。4)、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比?！厩鍐?0】利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形?！厩鍐?1】圖形的變換與坐標1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應相應地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數。3）、以原點為位似中心的位似變換在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（對應點在位似中心同側）或者－k（對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應點的坐標為或?！究键c題型一】線段成比例1.（21-22九年級上·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足，則下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據比例的性質得到ad＝bc，可判斷A，根據分式的性質可判斷C，根據分式的和比性質可判斷B，D．【詳解】解：A、由已知得ad＝bc，故選項不符合題意；B、根據分式的合比性質，等式一定成立，故選項符合題意；C、根據分式的性質可知該等式不成立，故選項不符合題意；D、根據分式的合比性質，等式不一定成立，故選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了比例線段，比例的性質，熟練掌握比例線段的定義是解題的關鍵．2．（22-23九年級上·廣東佛山·期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．【詳解】解：，，，，；選項A、C、D正確，不符合題意；選項B錯誤，不符合題意．故選：B．3.（23-24九年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖中點DE分別在邊上，，若，則的長是．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由中，點分別在邊上，，根據平行線分線段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例線段的對應關系是解此題的關鍵．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：．【考點題型二】坐標系里的位似4.（23-24九年級上·遼寧丹東·期末）在平面直角坐標系內，線段的兩個端點的坐標分別為，以原點O為位似中心，相似比為，將線段縮小得到線段，則點A的對應點的坐標為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】本題主要考查了位似變換的坐標變換規(guī)律，掌握位似變換中的坐標變換規(guī)律是解決此題的關鍵．利用位似圖形的性質結合對應點坐標與位似比的關系得出點坐標．【詳解】解：∵以原點O為位似中心，在第一象限內將線段縮小得到線段，∴A點與點是對應點，∵點的對應點A的坐標為位似比為：，∴點的坐標為：或．故選：D．5.（22-23九年級上·福建漳州·期末）如圖，線段兩個端點的坐標分別為、，以原點為位似中心，在第一象限內將線段放大到原來的2倍后得到線段，則端點的坐標為．【答案】【分析】利用位似圖形的性質結合對應點坐標與位似比的關系得出C點坐標．【詳解】解：∵以原點為位似中心，在第一象限內將線段放大到原來的2倍后得到線段，∴點與點時對應點，∵點的坐標為，位似比為：，∴點的坐標為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了位似變換，正確把握位似比與對應點坐標的關系式解題的關鍵【考點題型三】相似三角形的判定與性質的綜合運用6.（23-24九年級下·山東淄博·期末）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊，上，，若，，則的長為（

）A．1.8 B．3 C．3.2 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，相似三角形的性質與判定，證明，得到，根據題意得出，進而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：B．7.（23-24九年級下·湖南岳陽·期末）如圖，已知在四邊形中，．為邊延長線上一點，連接交邊于點，連接交于點，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，根據可證，可得，結合，可得，可證，可得，根據內錯角相等，兩直線平行即可求證．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．8.（23-24九年級上·北京通州·期末）如圖，中，，，點D在的延長線上，取的中點F，連結，將線段繞點C順時針旋轉得到線段，連結．(1)依題意，請補全圖形；(2)判斷的數量關系及它們所在直線的位置關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，，證明見解析【分析】（1）根據題意描述畫圖即可；（2）取中點M，連結，結合F為中點，得出，，根據旋轉性質可得，結合可得，，證出，即可得出，，再根據，得出，即可證明；【詳解】（1）如圖：（2），，證明：取中點M，連結，∵F為中點，∴，，∵線段繞點C順時針旋轉得到線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】該題主要考查了相似三角形的性質和判定，旋轉的性質，三角形中位線定理，平行線的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線和對應圖形．【考點題型四】“A”字型9.（22-23九年級上·北京順義·期末）如圖，在菱形中，點E在邊上，射線交的延長線于點F，若，，則的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】此題考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明是解題的關鍵．由菱形的性質得，，可證明，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵點F在直線上，∴，∴，∴，∴．故選：C．10.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，平分，于點F，D為的中點，連接延長交于點E．若，，則線段的長為．【答案】【分析】根據直角三角形斜邊中線性質得到，結合角平分線推出，得到，進而證得是的中位線，求出即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵于點F，D為的中點，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的中位線，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了直角三角形斜邊中線的性質，相似三角形的判定與性質，三角形中位線的應用，正確理解直角三角形斜邊中線的性質及三角形中位線性質定理是解題的關鍵11.（23-24九年級上·江西吉安·期末）如圖，在中，平分，交于點，過點作，交于點．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，證得是解題關鍵．【詳解】證明：∵平分，∴∵，∴，∴．．∴．【考點題型五】“X”字型12.（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖在中，、分別是邊、上的點，且，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，由，求證，，根據相似三角形性質得到，進而由相似三角形的性質即可解決問題，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定及其性質來分析、判斷、推理或解答．【詳解】解：過作，如圖所示：，，，，，，，，，，故選：D．13.（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，，連接交于點F，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，證明，利用相似三角形的性質得到，然后利用等高的三角形面積之比等于對應底邊之比求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴．14.（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，平行四邊形中，E為的中點，與交于點F．則與的面積比為．

【答案】【分析】此題主要考查了相似三角形，平行四邊形．熟練掌握相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，是解題關鍵．利用平行四邊形的性質得出，，得到，再利用相似三角形的面積比等于相似比平方，即得．【詳解】∵E為的中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴．故答案為：．15.（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，相交于點O，已知，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質，根據邊長之間對應成比例以及對頂角相等，可得到兩個三角形相似，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴．【考點題型六】旋轉型16.（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在等腰三角形中，，點D在上，連接，把繞點A逆時針旋轉得到，使，連接，若，，則的長為(

)A． B． C． D．10【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是相似三角形判定定理的應用．先證明，得到，推出，再證明，據此即可求解．【詳解】解：∵繞點A逆時針旋轉得到，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，即，∴，∴，∵，∴．故選：D．17.（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在等腰中，，為上一點，，連接，以為邊向右作等腰，使，．連接，則．【答案】【分析】由兩個等腰三角形頂角相等，可得，得到對應邊成比例，結合，可得，得出對應邊成比例，結合已知條件，通過等量代換，即可求解，本題考查了相似三角形的性質與判定，解題的關鍵是：熟練掌握相似三角形與對應邊成比例、對應角相等，之間的相互轉化．【詳解】解：，，，，，，又，，，，，，又，，，整理得：，又，，，故答案為：．18.（22-23九年級上·四川遂寧·期中）如圖，在和中，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．（1）證明，得出，即可證明結論；（2）先證明，再根據即可證明結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，即，∵，∴．【考點題型七】垂直型19.（23-24九年級上·河南漯河·期末）如圖，在中，于D，下列條件中，不能使的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數定義，相似三角形的判定，根據相似三角形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：，，，，，，故A不符合題意；，，，，，故B不符合題意；，，，，，，故C不符合題意；的斜邊和直角邊與的兩直角邊和對應成比例，不能判定；故選：D．20.（23-24九年級上·上海黃浦·期末）如圖，是線段上一點，，，，連接并延長交于點，連接并延長交于點．已知，，，，，那么．【答案】1.6【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質．先證，求得、，再證，可得．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，設，則，，，，，，，，，，解得：，即，故答案為：1.621.（20-21九年級上·湖南株洲·期末）如圖，在正方形中，E是邊上的點，點F在邊上，且．(1)求證：；(2)若，延長交的延長線于點G，求的長．【答案】(1)見詳解(2)15【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，能夠正確找到相似三角形是解決本題的關鍵．（1）利用“一線三直角”即可證明；（2）由，求出和的長，利用求出的長度，再由求出的長度，即可求出的長．【詳解】（1）解：四邊形為正方形，，，，，∴；（2）解：四邊形為正方形，，，，，設，∵，，即，解得：，，，，，，，，，．【考點題型八】等角型22.（21-22九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，小亮同學用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調整自己的位置，設法使斜邊保持水平，并且邊與樹頂B在同一直線上，已知紙板的兩條邊，，延長交于點C，測得邊離地面的高度，，求樹高．【答案】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質，證明，得到，代入數值求出，根據線段的和即可得到答案．【詳解】解：∵，

∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴．答：樹高是．23．（22-23九年級上·北京·階段練習）如圖，在中，是邊上的高．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先根據是邊上的高，得，再因為另外一組角是公共角，對應相等，即可作答．（2）先根據勾股定理求出的值，再由等面積法求出的值，在中根據勾股定理建立等式，代數計算即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴∵，∴；（2）解：∵∴，∵∴∴∵，∴在中，【考點題型九】在圓中證明三角形相似24.（22-23九年級上·浙江杭州·期末）如圖，等邊是的內接三角形，點D，E分別為邊上的中點，延長交于點F，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，交于點M，延長交于點H，連接，根據等邊是的內接三角形，可得，從而得到，，進而得到，，再證得，可得，，，再由勾股定理，求出的長，即可．【詳解】解：如圖，連接，交于點M，延長交于點H，連接，∵等邊是的內接三角形，∴平分，平分，，∴，∴，，∵，∴，，∵點D，E分別為邊上的中點，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了圓內接三角形的性質，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵25.（22-23九年級上·河南鄭州·期末）日晷儀也稱日晷，是我國古代觀測日影計時的儀器，主要是根據日影的位置，以指定當時的時辰或刻度．小明為了探究日器的奧秘，在不同的時刻對日晷進行了觀察．如圖，日晷的平面是以點O為圓心的圓，線段為日器的底座，點C為日晷與底座的接觸點，與相切于點C，點A，B，F均在上，且為不同時刻晷針的影長（A、O、B共線），的延長線分別與相交于點E，D，連接，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．（1）根據直徑所對的圓周角是直角得到，則，再由平行線的性質可得；（2）連接，證明，由相似三角形的性質得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB為圓O直徑，∴，∴，∵，∴．即；（2）解：連接，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是圓O的切線，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴．26.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，是圓的內接三角形，點在弦上，平分，．(1)求證：平分；(2)若為直徑，且，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據角平分內線的定義，可得，再由，可得，然后根據三角形外角的性質可得，再根據圓周角定理可得，即可求證；（2）分別過點A，D作，垂足分別為F，G，設交于點P，為直徑，可得，根據勾股定理可得，再由可得，，，然后根據，可得，，從而得到，然后根據，可得，再由勾股定理可得，，即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即平分；（2）解：如圖，分別過點A，D作，垂足分別為F，G，設交于點P，∵為直徑，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形外角的性質，熟練掌握圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形外角的性質是解題的關鍵．【考點題型十】利用相似證明線段成比例27.（21-22九年級上·廣西百色·期末）如下圖所示，在△ABC中，點D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結論一定正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC?AD．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握對應頂點的字母放在對應位置上并準確確定出對應邊是解題的關鍵．【考點題型十一】利用相似求圓中線段的長28.（22-23九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在半徑為5的中，是直徑，是弦，是的中點，與交于點．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，利用垂徑定理得到，再利用三角形中位線定理得到，接著證明，得到，設，則，，利用半徑為5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖示，連接，交于F，∵D是的中點，∴，，∴，∵，，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，，∴，∴，即，在中，，．故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識點，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．29．（20-21九年級下·浙江·期末）如圖，是⊙O的內接三角形，是⊙O的直徑．作弦交于點，連結交于點．若是中點，，則的長為（

）A．8 B． C． D．12【答案】D【分析】根據，可得，，可知,，結合條件是中點，進而可知,即可求得．【詳解】，,，又是⊙O的直徑，，，，是中點，，，，，是半徑，．故選D．【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，由平行得，是解題的關鍵．30.（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點F為直徑上一點，連接并延長交于點G，交于點E，若，，，則的長為．【答案】16【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓的基本性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．設，則，連接，根據已知條件得到，根據全等三角形的判定和性質得到，根據等腰三角形的性質得到，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：設，則，連接，∵是的直徑，，∴，，∴，∴，在與中，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得（負值舍去），∴．故答案為：16．31.（23-24九年級上·湖北武漢·期末）如圖，為的直徑，C是上一點，D是的中點，弦，垂足為F．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用垂徑定理得到，根據題意得到，結合等量代換和弧、弦、圓心角的關系，即可證明；（2）連接，交于點，得到，證明，利用相似三角形性質和勾股定理求出，，，進而即可求出的長．【詳解】（1）解：為的直徑，弦，，D是的中點，，，；（2）解：連接，交于點，D是的中點，，為的直徑，，，，弦，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查的是垂徑定理，弧、弦、圓心角的關系，勾股定理，圓周角定理，以及相似在圓中的綜合運用，解決此題的關鍵是正確作出輔助線，利用相似求出半徑【考點題型十二】利用相似求圓的半徑32.（22-23九年級上·山東煙臺·期末）如圖，以的邊為直徑的半圓交、于、兩點，連接，若，，則半圓的半徑長為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據圓內接四邊形的性質可得，可證得，從而得到，再由，可得，從而得到，連接，根據為直徑，可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是半圓的內接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，如圖，連接，∵為直徑，∴，即，∴，∵，∴，∴，解得：或（舍去），∴，∴半圓的半徑長為．故選：B【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，證明，是解題的關鍵33.（20-21九年級上·湖北黃岡·期末）如圖，已知的邊是的切線，切點為點．經過圓心并與圓相交于點，，過點作直線，交的延長線于點．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根據等腰三角形的性質得到∠1＝∠2，通過等量代換得到結果；（2）過點作于點，設，根據已知條件可得，，，在中利用勾股定理列方程可得結果．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OB∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE；（2）過點作于點，設．平分，，，，∠E=∠BFC=90°∵CB=CB，∴，，在中，，即，解得：，即圓的半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，圓周角定理，平行線的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．34.（20-21九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在△ABC中，點O是BC中點，以O為圓心，BC為直徑作圓剛好經過A點，延長BC于點D，連接AD已知．(1)求證：①AD是⊙O的切線；②△ACD∽△BAD；(2)若BD＝8，，求⊙O的半徑．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)3【分析】（1）①連接AO，根據圓周角定理得出∠BAC=90°，再由等邊對等角得出∠ACO=∠OAC，結合圖形中各角之間的數量關系得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，即可證明結論；②直接利用相似三角形的判定定理證明即可；（2）由（1）②中結論得出，，結合圖形求解即可．【詳解】（1）①證明：連接AO，∵BC是直徑，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∵∠CAD=∠B．∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線；②證明：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，∴△ACD∽△BAD；（2）解：∵∠BAC=90°，∴，∵△ACD∽△BAD，∴，∴，∴，∴半徑．【點睛】題目主要考查切線的判定，相似三角形的判定和性質，正切的定義，等邊對等角等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．【考點題型十三】利用相似在圓中求線段的比35.（21-22九年級上·浙江舟山·期末）如圖，內接于，為直徑，，點