利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題（含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題

（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高一下?湖北?開學(xué)考試）下列選項中是"3xe[l,2],2/一〃a+6＞0"成立的一個

必要不充分條件的是（）

A.m＜8B.m＞8C.m<4^/3D.m<8

【答案】A

【分析】變形得到加，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到=8,故機(jī)＜8，

X\X）LV，」max

由于機(jī)＜8是用48的真子集，故A正確，其他選項不合要求.

【詳解】e[1,2],2%2—mx+6>0,

即3xe[l,2],m<2%2+6=2^+-j,

其中x=l時，y=2x（l+#8,當(dāng)x=2時,y=2x12+￡|=7,

故12卜+J=8,即〃z＜8,

L'，」max

由于加＜8是mV8的真子集，故"機(jī)＜8"的必要不充分條件為“加V8",

其他選項均不合要求.

故選：A

2.（23-24高一上?河北?階段練習(xí)）已知

2

/（x）=ar+l,g（x）=x-2x+2a,3x1,x2e[0,l],/（^）＞g（x2）,則a的取值范圍是（）

A.（-00,2）B.（2,+oo）C.D.

【答案】A

【分析】由題意得出“X）1mx求解即可.

【詳解】B^,^e[0,l],〃5）＞g?）,所以，/㈤儂＞8（々僵,

g(x)=12_2x+2a=(x—l)2+2a—l在[0,1]上單調(diào)遞減，所以gl%)訕=2。-1,

當(dāng)a=0時，/(jq)=l>g(x2)=xf-2X2,即1>X；—2%2，取%=玉=。成立.

當(dāng)Q<0時，/(x,)max=1,即2。一1<1,得dvL所以〃<0

當(dāng)〃〉0時，/(玉)3=1+〃，即1+得。<2,所以0<々<2,

綜上：。的取值范圍是(—,2).

故選：A

ab

3.(23-24高一上?黑龍江哈爾濱?期中)在R上定義新運(yùn)算jad—bc,若存在實(shí)數(shù)

ca??

x—4"Z

xe[0,l],使得120成立，則機(jī)的最大值為()

1X

A.0B.1C.-3D.3

【答案】A

【分析】由已知可得存在實(shí)數(shù)xe[0』，使得尤2-4彳之機(jī)，則加<(/-4*皿/求出函數(shù)

/(x)=f-4x在區(qū)間[0』上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍，即可得解.

【詳解】由己知，存在實(shí)數(shù)了目。』，使得.]X=X(A4)T〃20,則機(jī)，9一4H鵬，

因為二次函數(shù)/("=/一4工在區(qū)間[0』上單調(diào)遞減，則〃冷2=/(0)=0,

所以，m<0,故實(shí)數(shù)加的最大值為0.

故選：A.

4.(22-23高一上?遼寧營口?期末)已知函數(shù)/(x)=x+tg(x)=2'+a,若罵e1,1,

玉2d2,3],使得八%)海(々)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

「11「9\

L2)L2)

C.[-3,+00)D.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到/(X)1ntoWg(x)a,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到〃x)1nm=5,g(x)111ax=8+。,

得到不等式，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-3,+e).

【詳解】若叫?pl,叫e[2,3],使得“xJVgH),

故只需/(xL〈g(x)1mx，

其中〃x）=x+3在xe1,1上單調(diào)遞減，故/⑺.=/⑴=1+4=5,

X_乙_

g（x）=2"+a在xe[2,3]上單調(diào)遞增，故g（x）1mx=g（3）=8+a,

所以5K8+〃，解得：6/＞—3,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-3,+8）.

故選：C

5.（23-24高一上?浙江紹興?期中）若存在xe[O,l],有爐+0-a）x+3-。＞0成立，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】分離參數(shù)得a＜*+x+3在上有解,從而,利用對勾函

數(shù)的單調(diào)性求得最值即可求解.

【詳解】因為存在無目0』，有爐+（1_々）％+3-。＞0成立，

所以a＜、+x+3在上有解,所以。＜

X+1

記〃x）=x：：：3,xe[o』],令r=x+ie[l,2],貝|y=￡^±2=/+；一1,fe[l,2],

由對勾函數(shù)單調(diào)性知，y=f+在[1,右）上單調(diào)遞減，在[迅,2]上單調(diào)遞增，

3535

又當(dāng)f=2時，y=f+--1的函數(shù)值為:；，當(dāng)f=l時，y=f+—l的函數(shù)值為3,且3＞；,

t2t2

所以。＜3,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（3,3）.

故選：B.

6.（23-24高一上?河北石家莊?期中）在R上定義運(yùn)算：。十6=。（6+1）.已知-14x（1時,

存在x使不等式（〃工-X）十（m+x）＜0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.[m\-2＜m＜1}B.[m\l＜m＜2\C.D.{m|-l＜/n＜2}

【答案】A

【分析】依題意可得當(dāng)TWx＜l時存在x使不等式/+x＞川+m成立，令〃x）=x2+x,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可得到加+加＜2,解得即可.

【詳解】依題意不等式（/一X）十（4+》）＜0,即（〃LX）W+X+l）＜0,

即（x-7"）（x+〃z+l）＞0,

則當(dāng)—iWxKl時存在冗使不等式(X-根)(1+m+1)＞0成立，

即當(dāng)一14x41時存在光使不等式％之+%＞m2+根成立，

令〃%)=%2+%,xe[-l,1],

因為〃x)=(x+g：-;在-1,-1上單調(diào)遞減，在-上單調(diào)遞增，

且"-1)=0、/⑴=2、(m，所以〃x)e-;,2,

所以根2+根＜2,解得-2＜加＜1,即實(shí)數(shù)的取值范圍為卜"|-2＜根＜1}.

故選：A

7.(23-24高一上?重慶南岸?期中)已知函數(shù)/(X)滿足條件：

/'⑴=：,/(x+y)=〃x)"(y),/a)在R上是減函數(shù)，若玉:e[l,4],使/卜2)＜16/(〃覬)成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-??,5)B.(-＜?,5]C.(-＜?,4)D.(-oo,4]

【答案】B

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為?。?+4能成立，再利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】因為〃l)=g,〃x+y)="x)"(y),

所以〃2)=〃1).〃1)=；，/(4)=/(2)./(2)=^,

所以/代/16/(爾)，可化為〃儂"A〃X2)="4"(X2)=/(X2+4),

因為/(x)在R上是減函數(shù)，所以〃比4爐+4,

所以問題轉(zhuǎn)化為玉目1,4],使如4爐+4成立，即機(jī)Wx+土則加+,

X\ymax

4

因為對勾函數(shù)y=X+：在[1，2]上單調(diào)遞減，在r[2,4]上單調(diào)遞增，

4

所以當(dāng)％=1或%=4時，y=x+-取得最大值5，

x

所以加05,即機(jī)￡(-8,5].

故選：B.

8.(23-24高三上?湖南衡陽?階段練習(xí))已知/(%)=1暇(-%),雙%)=2-0,

V^e[-4,-2],3x2e[-4,-2],使|/(七)—烈馬)區(qū)1成立.則〃的取值范圍()

A.[-3,-2]B.[—5,—2]

C.[-3,-1]D.[-4-2]

【答案】B

"x)min+12g(xL

【分析】將問題化為＜在[T，-2]上成立，利用指對數(shù)的單調(diào)性求對應(yīng)最

值，再求解不等式解集即可.

【詳解】由題設(shè)％e[-4,-2],切e[-4,-2],使g（尤2）-14/（占）＜g（%）+l成立,

f(x),+1Ng(x).

所以＜,\/min°\/min在[-4,-2]上成立,

f(x)-l<g(x)

I"\/maxJ\/max

f〃x)1mli+1=〃-2)+1=2

對于/（X）=lOg2（-%），有＜

[〃無)厘一1"(一4)-1=1

g(尤Ln

對于g（球=21,有

g(x)max

2，。＜2-4-a<l

所以盧〉即

-2-a>0

故選：B

二、多選題

9.（22-23高一上■山東臨沂?期末）已知函數(shù)〃x）=Asin（2無+協(xié)-:（A＞0,0＜夕＜。）,

22

g⑺=W交，函數(shù)〃力的圖像過點(diǎn)（。,1）,且關(guān)于直線X=合對稱,若對任意的%e[-1,2],

存在%€0,-,使得8（占）＞〃％）,則實(shí)數(shù)機(jī)的可能取值是（）

0

11L

A.—B.—C.—2D.—5

43

【答案】CD

【分析】根據(jù)已知列方程可求出“X）的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間g（x）1nm

恒成立，求出函數(shù)/'（X）最小值，然后把問題轉(zhuǎn)化成＞i+m,進(jìn)而求解即可.

【詳解】：的圖像關(guān)于直線》=三對稱,

二9+2xA=E+g(左eZ),即9=E+'l■(左eZ),

由于0＜°＜g,故°=g，

又:函數(shù)〃X）的圖像過點(diǎn)（0,1）,

1—Asin-----,解得A=.

32

于是"x）=A/§sin（2x+g]-；；

又"對任意占c[T,2],存在今€0,看，使得8（%[）>〃％）"等價于"8（#>[/（力11/，

、[/c兀,-,t兀/c兀,27r

當(dāng)x￡0,一時，一W2xH—G—,

6」333

gp1<A/3sin|^2x+-|^<73,即〃x）21.

于是g（x）=3-?.3>],即指>1+加，

又xe[-l,2],

,331

-F"￥-3'

12

m+1<—EPm<--.

?'-m的取值范圍是18,-|].

故選：CD

10.（23-24高三上?廣東惠州?階段練習(xí)）已知命題"Vxe[l,2],2*+x-a>0"為假命題，則

實(shí)數(shù)。的可能取值是（）

A.1B.3C.-1D.4

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，由條件可得Jx°e[l,2],2%+x°-aW0〃為真命題，然后分離參數(shù)，即

可得到結(jié)果.

【詳解】因為命題"Vxe[L2],2，+x-a>0"為假命題，

則命題J/￡[1,2],2%+%-〃W0”為真命題，

所以在”+%,，石[1，2],

令，（x）=2，+x,xe[L2],因為y=2*為增函數(shù)，>=%為增函數(shù)，

所以〃x）在[1，2]單調(diào)遞增，當(dāng)尤=1時，有最小值，即〃l）=2i+l=3,

所以。23.

故選：BD

三、填空題

11.（23-24高一上?重慶?期末）已知函數(shù)/（#=r-2x,若存在xe[2,4],使得不等式

〃力44+3a成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(一8,-3卜［0,+8)

【分析】根據(jù)存在性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=x2-2x的對稱軸為x=［,

所以當(dāng)xe［2,4］時，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以/(%=/(2)=0,

因為存在xe［2,4］,使得不等式3a成立，

所以有々2+3々N0=Q20,或aW-3,

因此實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,-3M0,+引，

故答案為：(一8,-3］。［0,+8)

12.(21-22高三下?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=與三，g(%)=log2x+a,若存在西e［3,4］,

任意無2式4,8］,使得/a)3g(Z),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［一雙子

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在對應(yīng)區(qū)間上一(X)m”2g(X)max，結(jié)合對勾函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求

“X)、g(X)的區(qū)間最值,即可求。的范圍.

【詳解】若/(X)在［3,4］上的最大值/(初皿，g(x)在［4,8］上的最大值€*)2,

由題設(shè)，只需/(x)-Ng(x)1nM即可.

在［3,4］上，f{x)=—+x>2.1--x=6當(dāng)且僅當(dāng)x=3時等號成立，

XVX

25

由對勾函數(shù)的性質(zhì)："X)在［3,4］上遞增，故/⑶

在［4,8］上，g(x)單調(diào)遞增,則g(%)max=3+Q,

所以323+〃，可得

44

故答案為：,?

四、解答題

13.(23-24高一上廣西玉林?期中)已知函數(shù)/(耳="+匕(〃>0,且的部分圖象

如圖示.

⑴求“X)的解析式;

(2)若關(guān)于x的不等式+(-26)'：7”<0在［1,+9)上有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴〃尤)=-2

(2)［6,+oo).

【分析】(1)結(jié)合圖象，利用待定系數(shù)法即可得解;

(2)將問題轉(zhuǎn)化為2工+4*〈現(xiàn)在［1,+8)有解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)由圖象可知函數(shù)"x)="+b經(jīng)過點(diǎn)(T。)和(0T),

1

a~l+b=0a=—

所以解得2,

a0+b=-i

b=-2

所以函數(shù)的解析式是〃尤)=-2.

(2)由(1)知工=2,—2b=4,

a

根據(jù)題意知2,+平一加V0,即2,+4*W祖在［1,+<?)有解，

設(shè)g(x)=2*+4*,則g(x)11dli<m,

因為y=2T和y=甲在［1,+8)上都是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以g⑺在［1,+⑹上是單調(diào)遞增函數(shù)，故g(X).=g(1)=6,

所以〃吐6,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［6,+8).

14.(22-23高一上?黑龍江大慶?期末)己知函數(shù)/(x)=sin2x+cosx-a.

71

(1)求/⑺在-.71上的值域；

(2)當(dāng)。>0時，已知g(x)=alog2(x+3)-2,若V%女?€。,兀］,使得8(匕)*/(%),求a

的取值范圍.

【答案】⑴［—-,一］

⑵1+］

【分析】(1)將/'(X)化為關(guān)于C0SX的類二次函數(shù)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可求7'(%)

7T

在上的值域；

⑵若VX[訓(xùn)嗚,兀],使得g。)”H),則問題轉(zhuǎn)化為：g(x)minN/(X)min

分別求出最值解不等式即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】⑴當(dāng)〃x)=l-cWx+COS……s2x+c°sx+j”[,),

令"COSX,

則/(x)=-t2+/+]_〃=+[—qj￡[-1,0],

由于函數(shù)＞-在[TO]上單調(diào)遞增，

故當(dāng)/=-1時，y取得最小值-1-6/；

當(dāng)方=o時，)取得最大值1-。，

所以〃元)的值域為[―

(2)若％e[l,5],玉：2eg,無],使得8(占)*/(*)，

則問題轉(zhuǎn)化為：＞/??.?

因為〃尤)的值域為[―1-a,1—//＞0),

〃x)1m「1-%

g(x)在[L5]上單調(diào)遞增,

當(dāng)x=l時，=2。-2；

所以2a—2之—1—a

即〃之二，

3

所以a的取值范圍為：ae.

B能力提升

1.(2023?四川綿陽?三模)設(shè)函數(shù)/(%)為兇-1與爐―2必+々+3中較大的數(shù)，若存在工使得

/(龍)40成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

B.「8'-§u[4,+oo)

D.[-1,1]

2

【答案】B

【分析】

根據(jù)絕對值函數(shù)的圖像和二次函數(shù)討論對稱軸判定函數(shù)的圖像即可求解.

【詳解】因為/(%)=max||x|—l,x2—2ax+a+3},

所以八%)代表國-1與爐一2辦+〃+3兩個函數(shù)中的較大者,

不妨假設(shè)且(%)=|%|_1,%(力=%2_2依+々+3

g(%)的函數(shù)圖像如下圖所示：

/z(x)=%2—2Q%+Q+3是二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為直線x=Q,

h(x)=x2-lax+a+3在［—1,1］上是增函數(shù)，

4

需要h(-l)=(-1)2-2^(-1)+々+3=3〃+4＜0即

則存在x使得/(力KO成立，

,,4

故〃工一1；

②當(dāng)一IWaWl時，

h(x)=x2-lax+a+3在［-1,1］上是先減后增函數(shù),

需/(X)min=h(a)=。2—2d?a+a+3=—/+a+340,

BP〃2_々_3之0,

解得心叱好或匕巫，

22

又匕巫＜-1

22

故時無解；

③當(dāng)。＞1時，

/?(%)=/一2ax+a+3在［T1］上是減函數(shù)，

需人(1)=/―2a+a+3=—a+4W0艮［Ja24,

則存在X使得wo成立，

故a".

綜上所述，。的取值范圍為1-8,。[4,+國).

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是理解/(x)的定義，數(shù)形結(jié)合對參數(shù)。分

a(T-1VaVI,a〉l三種情況進(jìn)行分別討論.

2.(22-23高一上?山東濰坊?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域為。，若同e。，滿足

網(wǎng)+*=*則稱函數(shù)/(尤)具有性質(zhì)P(a).已知定義在(。,+")上的函數(shù)

/(x)=-/+小一3具有性質(zhì)則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-co,2]B.C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)新定義可推得“武0,+8),川e(O,+8),/(%)=1-不恒成立，即

/(x)=—y+儂―3,的值域M,滿足=求出M,列出不等式，即可

求得答案.

【詳解】由題意得定義在(0,+。)上的函數(shù)"力=-f+如—3具有性質(zhì)尸

即5￡(0,+8),土；2￡(。,+8),滿足.+；(%)二；,

即V占€(0,+8)月*2e(O,+8),〃々)=1一罰恒成立；

記函數(shù)/(x)=-x2+〃氏一3,xe(0,+oo)的值域為M,1-％e(-＜?,1),

則由題意得

當(dāng)萬40,即機(jī)＜0時，/(x)=—3在xe(0,+oo)單調(diào)遞減，

貝1，(司＜/(。)=—3,即〃=(一8,-3),此時不滿足(-8,1)=",舍去；

當(dāng)g＞0,即機(jī)＞0時，/⑺二一爐+3一④彳^似+句在^^時取得最大值，

222

即"XL=一(歲+合一3=?-3,gPM=(-CO,--3],

要滿足需絲^_3卻，解得〃亞4或相V-4,

4

而機(jī)＞0,故機(jī)24,即m的取值范圍為[4,+oo),

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)新定義，要能推出%￡(0,+。),玉產(chǎn)電+動，〃%2)=1-王恒

成立，繼而將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含問題，因此要求出函數(shù)/(力二--+如-3的值域，

根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求解即可.

3.(2022高三?全國?專題練習(xí))已知關(guān)于x的不等式武工-“《^)>加6，有且僅有兩個正整數(shù)解

(其中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

人■/*B.(*，白C卓,*)。最)

【答案】D

【分析】問題轉(zhuǎn)化為m(％+1)〈二(x>0)有且僅有兩個正整數(shù)解，討論機(jī)<0、加>0并構(gòu)

ex

造/(x)=m(x+l)、g(x)=二，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合列出不等式組求參數(shù)范

e

圍.

r2

【詳解】當(dāng)%>0時，由f—mxeX—me">0,可得m(冗+1)<—(x>0),

ex

比2

顯然當(dāng)機(jī)40時，不等式皿X+1)〈土在(0,+8)恒成立，不合題意；

ex

當(dāng)機(jī)>0時，f(x)=m(x+I),則/(九)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

令g(x)=二，則g，(x)=x(2：x),故(0,2)上g，(x)>0,(2,+8)上g'(無)<0,

exe

.?.g(x)在(0,2)上遞增,在(2,+8)上遞減，

又/(0)=M>g(0)=0且無趨向正無窮時g(x)趨向0,故g(x)e[o,[,

c1

2m<—

〃D<g⑴e

494

由圖知:要使〃尤）<g（x）有兩個正整數(shù)解,則｛/⑵<g（2）,即?

〃3）*⑶

9

4Am>—

e

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：問題轉(zhuǎn)化為m（x+l）<￡（尤>0）有且僅有兩個正整數(shù)解，根據(jù)不等

式兩邊的單調(diào)性及正整數(shù)解個數(shù)列不等式組求范圍.

4.（23-24高一上?上海?階段練習(xí)）已知x為實(shí)數(shù)，用田表示不大于x的最大整數(shù).對于函

數(shù)y=/（x）,若存在〃?eR且機(jī)ez,使得/（㈤=/（[加），則稱y=/（x）是"O函數(shù)若函數(shù)

y=-是"。函數(shù)"，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍是

X

【答案】。40,2）且ae｛VI右｝

4—〃24-6Z2

【分析】由函數(shù)定義得且根eZ,m+-------=[m]+--------，且相>[m]>機(jī)-1,m[m]>0,

m[m]

2

進(jìn)而有4一-a7=1能成立，就加的不同取值范圍分類討論后可求參數(shù)的取值范圍.

m\m\

4-?24-a2

【詳解】由題設(shè)，BmeR>mZ,m+--------=[m]+--------,m[m]>0,

m[m]

4—a24—a2

所以（乙-麗）（1一一F）=0能成立，即:三=1能成立，則4一片>（）,

m[m\m[m\

所以4-/=m[m]e（0,4],

若加V-3,則同4-3,m[m\>9,舍；

若一34根<一2,則同=-3,m[m\>6,舍；

若-2<機(jī)<-1,則[間=-2,2<m[m]<4,此時0<a<&;

^-l<m<0,則同=T,0<m[m]<1,此時若<a<2；

若0W〃z<l,貝|J[加