2025屆山東省沂源縣第二中學高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

2025屆山東省沂源縣第二中學高三最后一卷數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．2．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．3．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則4．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．35．函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的值為（）A． B． C．2 D．6．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．7．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．199．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內的概率是（）A． B． C． D．10．設點，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件11．已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是（）A． B． C． D．12．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.15．在中，角的對邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．16．有2名老師和3名同學，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學生人數(shù)，則對應的排法有______種；______；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.18．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.19．（12分）如圖，已知拋物線：與圓：（）相交于，，，四個點，（1）求的取值范圍；（2）設四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.20．（12分）如圖：在中，，，.（1）求角；（2）設為的中點，求中線的長.21．（12分）已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若，，，求證：.22．（10分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=2、C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.3、D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關系.4、C【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設正方體邊長為，建立空間直角坐標系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數(shù)使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.5、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，可得時，取得最大值，即，，，當時，解得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減可得時，取得最大值，求解可得實數(shù)的值.6、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質.7、B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后，將代入計算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及直線傾斜角與斜率之間的關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．8、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系，從而可簡化與數(shù)列相關的方程，本題屬于難題.9、D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.10、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算，結合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.11、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù)，運用圖象判斷根的個數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個，2個解，故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．12、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得到，從而有，根據(jù)，得到，再利用導數(shù)法求的范圍.【詳解】設，由橢圓的定義得，由雙曲線的定義得，所以，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，即，因為，所以，因為，所以，所以，即，而，因為，所以在上遞增，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14、8.【解析】

利用轉化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉化與化歸思想的應用.屬于容易題.15、【解析】

轉化為，利用二倍角公式可求解得，結合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因為，所以．又因為，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.16、36；1.【解析】

的可能取值為0，1，2，3，對應的排法有：.分別求出，，，，由此能求出.【詳解】解：有2名老師和3名同學，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學生人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，對應的排法有：.∴對應的排法有36種；，，，，∴故答案為：36；1.【點睛】本題考查了排列、組合的應用，離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導后根據(jù)導函數(shù)的符號判斷單調性．（Ⅱ）分析題意可得對任意，恒成立，構造函數(shù)，則有對任意，恒成立，然后通過求函數(shù)的最值可得所求．試題解析：（I）由題意得，，∴.當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得.故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.（II）由題意知.，當時，函數(shù)單調遞增．不妨設，又函數(shù)單調遞減，所以原問題等價于：當時，對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立.記，由題意得在上單調遞減.所以對任意，恒成立.令，，則在上恒成立.故，而在上單調遞增，所以函數(shù)在上的最大值為.由，解得.故實數(shù)的最小值為．18、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:（1）因為,所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因為且,即,解得,因為,所以,所以,所以,所以【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關系的應用,考查運算能力.19、（1）（2）點的坐標為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關于的一元二次方程,拋物線與圓有四個交點需滿足關于的一元二次方程在上有兩個不等的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關性質即可得到關于的不等式組,解不等式即可.不妨設拋物線與圓的四個交點坐標為，，，，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點坐標,再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關于的面積函數(shù)進行求導，判斷其單調性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標.【詳解】（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程消去，得.由題意可知在上有兩個不等的實數(shù)根.所以解得，所以的取值范圍為.（2）根據(jù)（1）可設方程的兩個根分別為，（），則，，，，且，，所以直線、的方程分別為，,聯(lián)立方程可得,點的坐標為，因為四邊形為等腰梯形,所以，令，則，所以，因為,所以當時,；當時,，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，即當時，四邊形的面積取得最大值，因為,點的坐標為,所以當四邊形的面積取得最大值時,點的坐標為.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標準方程及直線與圓錐曲線相關的最值問題；考查運算求解能力、轉化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.20、（1）；（2）【解析】

（1）通過求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根據(jù)求出的值，由正弦定理求出邊，最后在中由余弦定理即可得結果.【詳解】（1）∵，∴.由正弦定理，即.得，∵，∴為鈍角，為銳角，故.（2）∵，∴.由正弦定理得，即得.在中由余弦定理得：，∴.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，考查三角函數(shù)知識的運用，屬于中檔題.21、（1），.（2）見解析【解析】

（1）分三種情況討論即可（2）將，的值代入，然后利用均值定理即可.【詳解】解：（1）不等式可化為.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集為，故，.（2）由（1）知，，即，由，得，，當且僅當，即，時等號成立.故，即.【點睛】考查絕對值不等式的解法以及用均值定理證明不等式，中檔題.22、（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設，利用椎體的體積公式求得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而求得時，四面體的體積取得最大值，之后利用空