2022屆黑龍江省大慶市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題 附答案

大慶市高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題第1頁共3頁大慶市高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)（理）2021.11本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案的標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚。3．請按照題號在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。4．保持卷面及答題卡清潔，不折疊，不破損。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則A． B．C．D．2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為A． B． C． D．3.命題“，”的否定是A．， B．，C．， D．，4.某團(tuán)支部隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9期“青年大學(xué)習(xí)”的成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9期的成績，下列說法正確的是A.甲成績的中位數(shù)為32 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)高于乙成績的平均數(shù)5.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B.C.D.6.與雙曲線共焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A．B． C． D．7.函數(shù)的最大值為A.B.C.D.8.已知等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則A.B.C.D.9.已知向量，下列說法正確的是A．，與的夾角不小于B．，C．，使得D．，使得10.定義新運(yùn)算“”：，則下列計(jì)算錯(cuò)誤的是A． B．C. D.11.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A．B．C． D．12.設(shè)，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答.第22題、第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則的值為.14.若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為.15.在中，角的對邊分別為，設(shè)的面積為，若，則的最大值為.16.如圖，矩形中，為的中點(diǎn)，，將沿直線翻折成（不在平面內(nèi)），連結(jié)，為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中正確的是.①平面②存在某個(gè)位置，使得③線段長度為定值④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.（本小題滿分12分）國際學(xué)生評估項(xiàng)目（PISA），是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）舉辦的，該項(xiàng)目的內(nèi)容是對15歲學(xué)生的閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力進(jìn)行評價(jià)研究．在2020年的79個(gè)參測國家（地區(qū)）的抽樣測試中，中國四省市（北京、上海、江蘇、浙江）作為一個(gè)整體在所有參測國家（地區(qū)）中取得各項(xiàng)科目都第一的好成績，某機(jī)構(gòu)為了分析測試結(jié)果優(yōu)劣的原因，從參加測試的中國學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：成績優(yōu)秀成績一般總計(jì)家長高度重視學(xué)生教育90家長重視學(xué)生教育程度一般30總計(jì)12080200若從上表“家長高度重視學(xué)生教育”的參測學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則選到的是“成績一般”的學(xué)生的概率為．（Ⅰ）判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生取得的成績情況”與“家長對學(xué)生的教育重視程度”有關(guān)；（Ⅱ）現(xiàn)從成績優(yōu)秀的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取20人．進(jìn)行“家長對學(xué)生情感支持”的調(diào)查，再從這20人中抽取3人進(jìn)行“學(xué)生家庭教育資源保障”的調(diào)查．記進(jìn)行“學(xué)生家庭教育資源保障”調(diào)查中抽取到“家長高度重視學(xué)生教育”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小題滿分12分）如圖，平面，四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，點(diǎn)在線段上，且，求二面角的余弦值的絕對值．20.（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率為.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過的直線與橢圓相交于點(diǎn)，（不與頂點(diǎn)重合），過右頂點(diǎn)分別作直線，與直線相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：；（Ⅱ）是否存在不相等的正實(shí)數(shù)，，滿足，且？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.請考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.22.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線與曲線公共點(diǎn)的極坐標(biāo)；（Ⅱ）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)曲線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，滿足，求出點(diǎn)的直角坐標(biāo).23.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知函數(shù)．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的最小值為，若實(shí)數(shù)，，滿足，求的最大值．

黑龍江省大慶市2022屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題參考答案一．二．13．14．15．16．=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④17．解：（1）由成等差數(shù)列，設(shè)公差為,則……………3分∴；…………6分（2）由（1）可得，……8分∴10分……………12分18．解：（1）由條件知，解得，，，，2分由題意得，，4分有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生取得的成績情況”與“家長對學(xué)生的教育重視程度”有關(guān)．...6分（2）從成績優(yōu)秀的選手中按照分層抽樣的方法抽取20人，則“家長高度重視學(xué)生教育”的應(yīng)抽取15人，“家長重視學(xué)生教育度一般”的應(yīng)抽取5人．由題意，的所有可能取值為0，1，2，3．7分，，，．9分的分布列為012310分?jǐn)?shù)學(xué)期望．12分19.解（1）證明：由題意易知．作，垂足為H，則，故．………2分，則．由平面平面，則．…4分平面平面，且，平面．…5分由平面，則．…6分（2）解：因?yàn)?，且，所以．以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．7分則，8分從而．…8分設(shè)平面的法向量為．則令，得．…9分設(shè)平面的法向量為，則令，得．…10分設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則．…12分解：（Ⅰ）由離心率.且左右頂點(diǎn)間距離為，所以，，，2分∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得.………………6分設(shè)，，則，②由直線，令，得，同理，…………8分∴以為直徑的圓的方程為，即，③由②得，代入③得圓的方程為.…………10分若圓過定點(diǎn)，則…………11分解得或∴以為直徑的圓恒過兩定點(diǎn)，.…………12分21.解（1）當(dāng)時(shí)，，即，也即.令，則.………2分由得，.當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).∴，所以原不等式成立.………4分（2）由及得，即.由于為不相等的正實(shí)數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有不等于1的正實(shí)根.5分令，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，∴當(dāng)時(shí)，方程沒有不等于1的正實(shí)根；………7分當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴的最小值為，又，當(dāng)，即時(shí)，是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，不合題意；………………9分當(dāng)，即時(shí)，，.令，則，∴當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，由此，顯然.………10分∴在上存在零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，∴，，則在上存在零點(diǎn)11分綜上所述，的取值范圍是.………12分22、解：（1）由題知，曲線消去參數(shù)得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線消去參數(shù)得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，2分聯(lián)立與的直角坐標(biāo)方程解得或，故兩曲線的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和，…………3分∴曲線與曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為，；………………5分（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，不妨設(shè)點(diǎn)，則，……………7分因?yàn)?，所以，即，且，得，化簡得，?lián)立，得或，所以點(diǎn)或（舍）