高三數學一輪復習：空間點、直線、平面之間的位置關系 講義

第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系

【必備知識?逐點夯實】

【知識梳理?歸納】

1.四個基本事實

基本事實1:過不在二線上的三個點，有且只有一個平面.

符號:A,2,C三點丕共線n存在唯一的a使A,B,C^a.

基本事實2:如果一條直線上的兩謹在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.

符號:AGl,BG/,且AGa,Bea=>/cg.

基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們直旦只食透過該點的公共直線.

符號:PGa,且PG日PG1.

基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線強.

符號:a〃6,6〃c=a〃c.

2.基本事實的三個推論

推論1：經過一條直線和這條直線處一點,有且只有一個平面.

推論2:經過兩條福交直線,有且只有一個平面.

推論3:經過兩條平疝直線,有且只有一個平面.

3.空間點、直線、平面之間的位置關系

項目直線與直線直線與平面平面與平面

關系符號

a//ba//aa〃夕

語言

圖形

相交語言

關系符號

aHb=AaC\a=AaC￡=l

語言

圖形

-

其他語言

關系符號a,b是

qua-

語言異面直線

【微點撥】＞

⑴直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.

⑵兩條直線沒有公共點分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.

4.等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應題，那么這兩個角相等或孰.

5.異面直線所成的角

⑴定義:已知兩條異面直線6,經過空間任意一點0分別作直線屋〃〃上把a與，所成的角叫做異面直

線a與b所成的角（或夾角）.

⑵范圍：（0琲

【基礎小題?自測】

類型辨析改編易錯高考

題號1423

1.（多維辨析）（多選題）下列結論錯誤的是（）

A.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合

B.經過兩條相交直線，有且只有一個平面

C.兩兩相交的三條直線共面

D.若a,b是兩條直線,a/是兩個平面，且aua,6u￡廁a,b是異面直線

【解析】選ACD.A中的兩個平面可能相交;B正確;C中的三條直線相交于一點時可能不共面;D中的兩條直

線可能是平行直線.

2.（易錯題）若直線I不平行于平面a,且/仁氏則（）

A.a內的所有直線與/異面

B.a內不存在與I平行的直線

C.a內存在唯一的直線與/平行

D.a內的直線與/都相交

【解析】選B.由題意知，直線I與平面a相交,則直線I與平面a內的直線只有相交和異面兩種位置關系.因

而只有選項B是正確的.

3.（多選題）（2022?新高考/卷）已知正方體48"）/18<1。1,則（）

A.直線BCi與DAi所成的角為90°

B.直線BCi與CAi所成的角為90°

C.直線BCi與平面BBiDi。所成的角為45°

D.直線BCi與平面ABCD所成的角為45°

【解析】選ABD.如圖，連接AOi,在正方形AiAOOi中,Ad_LD4i,因為Ad〃BG.所以8GLD41,所以直線

BCi與所成的角為90。,故A正確.在正方體ABCD-A向中,CO平面8CC向，又BQu平面BCCiBi,

所以CDLBCi,連接&C,則BiCLBCi,因為Cr>nSC=C,CZ）,BiCu平面DC81A1,所以平面OCBH,又

CAiU平面所以8C」CAi,所以直線BQ與C4所成的角為90。,故B正確.連接4G,交BD于點

O,則易得oc」平面881。。,連接。區(qū)因為08U平面8囪。1。所以OC」OB,/O8C1為直線與平面

BBDD所成的角.設正方體的棱長為則易得8G=&a,0C產啜所以在RtABOCi中。^爭酊所以

/。8。=30。,故C錯誤.因為CC平面ABCD所以/CBG為直線BC,與平面ABCD所成的角,易得/

CBG=45。.故D正確.

4.(必修二P134例1變形式)如圖，在三棱錐A-BCD中￡￡G,”分別是棱A8,BC,CD,ZM的中點，則

(1)當AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH為菱形；

⑵當AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH為正方形.

【解析】(1)因為四邊形EFGH為菱形，

所以EF=EH,因為EF=^AC,EH=lBD,^AC=BD.

(2)因為四邊形EFGH為正方形，

所以EF=EH且EFLEH.

因為EF//AC,EH//BD,

且EF=^AC,EH=^BD,

所以AC=BD且AC±BD.

答案:(1)AC=B。(2)AC^BDSAC1BD

【核心考點?分類突破】

考點一空間位置關系的判斷

［例1］（1）（多選題）下列選項正確的是（）

A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內

B.過空間中任意三點有且僅有一個平面

C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

D.若直線/u平面a,直線機_L平面a,則ml.1

【解析】選AD.對于選項A,可設Zi與h相交，這兩條直線確定的平面為a；若h與人相交于8,則交點B在平

面a內，同理/3與h的交點A也在平面a內，所以ABua,即^ua,選項A正確.對于選項B,若三點共線,則過這

三個點的平面有無數個.選項B錯誤.對于選項C,空間中兩條直線可能相交、平行或異面，選項C錯誤.對于

選項D,若直線加，平面a,則唐垂直于平面a內所有直線.因為直線仁平面區(qū)所以直線機，直線/,選項D正

確.

（2）如圖,分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH與

MN是異面直線的圖形有.（填序號）

①②③④

【解析】題圖①中，直線GH〃MN;題圖②中,G,”,N三點共面，但平面GHN,因此直線GH與MN異面題

圖③中，連接MG,則〃//N,因此GH與MN共面;題圖④中,G,M,N共面，但平面GMN,因此GH與MN

異面.所以題圖②④中GH與MN異面.

答案:②④

【解題技法】

1.點、線共面的判斷方法

⑴納入平面法:要證明“點共面”或“線共面”，可先由部分點或直線確定一個平面,再證其余點或直線也在這個

平面內.

(2)輔助平面法:先證明有關的點、線確定平面a.再證明其余元素確定平面￡,最后證明平面a,p重合.

(3)證明四點共面常通過證明四點組成的四邊形為平行四邊形或梯形來解決.

2.兩直線位置關系的判斷

(

空

間

中可構造

兩

幾何模

直

線型(長

位方體或

置正方體)

關

系

)

【微提醒】＞平面外一點與平面內一點的連線與平面內不經過該點的直線是異面直線.

【對點訓練】

1.已知異面直線a,b分別在平面a/內，且an/?=c,那么直線c一定()

A.與a力都相交

B.只能與a,b中的一條相交

C.至少與a,b中的一條相交

D.與a,b都平行

【解析】選C.由題意易知,c與a,b都可相交，也可只與其中一條相交，故A,B均錯誤;若c與a,b都不相交，則

c與a,b都平行，根據基本事實4,知a〃仇與a,b為異面直線矛盾,D錯誤.

2.設a,b,c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：

①若a//b,b//c,^]a//c;

②若aJ_b,bJ_c，則a//c;

③若。與b相交乃與C相交，則〃與C相交;

④若au平面a,bu平面￡,則a,b一定是異面直線.上述命題中錯誤的是__________(寫出所有錯誤命題的序

號).

【解析】由基本事實4知①正確;當a±b,bLc時,°與c可以相交、平行或異面.故②錯誤;當a與"目交力

與c相交時,。與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯誤;aua,6u/?,并不能說明a與b不同在任何一個平面

內，故④錯誤.

答案:②③④

考點二基本事實及其應用

［例2］如圖，在長方體ABCD-A向CQi中,￡尸分別是81G和QDi的中點.求證：

(1)E,F,D,B四點共面；

(2)BE,DF,CCi三線共點.

【證明】⑴如圖.連接EFIOBDi,

因為EF是ABiCiDi的中位線，所以EF〃BD,

因為BBi與DDi平行且相等，

所以四邊形BDDiBi是平行四邊形，

所以8?！ㄒ?。1,所以EF//BD,

所以E,F,D,B四點共面；

(2)因為EF//BD,S.EF豐BD,

所以直線和。尸相交，

延長8瓦。￡設它們相交于點P,

因為PG直線8E,直線8Eu平面BBiCiC,

所以pe平面BBCC,

因為Pe直線直線u平面CDDiCi,

所以PG平面CDOiG,

因為平面BBCCn平面C")iG=CCi,所以PGCG,所以BE,DF,CCX三線共點.

DiF,

【解題技法】

L證明空間點共線問題的方法

⑴一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據基本事實3證明這些點都在這兩個平面的交線上.

⑵選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.

2.共面、共點問題

⑴先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；

(2)利用確定平面的定理如由點構造平行直線、構造相交直線等.

【對點訓練】

1.如圖,arV=/ABGa,CG￡,且從仇”/,直線三點的平面記作人則y與￡的交線必經過()

A.點A

B.點8

C.點C但不過點M

D.點C和點M

【解析】選D.因為R所以MG/

又aC0=l,Me/,所以MG0.

根據基本事實3可知,M在y與￡的交線上.

同理可知，點C也在y與/?的交線上.

所以y與6的交線必經過點C和點M.

2.已知空間四邊形A8CQ(如圖所示)，瓦尸分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點，且

CGWBC,C”=[OC.求證：

F/”

(1)E,F,G,H四點共面；

(2)三直線FH.EGAC共點.

【證明】⑴連接EF,GH,因為E,F分別是ABAD的中點，所以EF//BD.

又因為CG=LBC,CH』DC,

所以GH〃BD所以EF//GH,

所以E,F,G,H四點共面.

⑵易知FH與直線AC不平行，但共面,

所以設FH^AC=M,

所以MG平面EFHG,ME平面ABC.

又因為平面EFHGCl平面ABC=EG,

所以MeEG,所以FH,EGAC共點

考點三異面直線所成的角

[例3]⑴如圖所示，圓柱。。2的底面半徑為1.高為2,48是一條母線,8。是圓。1的直徑，。是上底面圓周上一

點,/C8O=30。,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）

3V35

A.------

35B等

c噂吟

【解析】選C.連接AO2,設A02的延長線交下底面圓周上的點為及連接CE,易知/CAE（或其補角）即為異面

直線AC與8。所成的角，連接CD（圖略），在RtABCD中,/8。=90。,8。=2,/。8。=30。得BC=V3,CD=1.

又AB=DE=AE=BD=2,AC=y/AB2+FC2=V7,CE=VDC2+DE2=V5.^J^^CAE中,cosZ

222

CAE=AC+AE-CE7+4-5377

2ACAE~2Xy[7x2~14'

即異面直線AC與BD所成角的余弦值為等

14

（2）（2023?武漢模擬）在直三棱柱ABC-AiBjCi中,A8_L8C,AB=BC=AAi,O,E分別為AC,BC的中點，則異面直線

CiD與BiE所成角的余弦值為（）

A.f

c零D彎

【解析】選D.設42=2,取AiBi的中點￡連接CiF,DF,DE,則①4/出,

因為D,E分別為AC,BC的中點，

所以DE//AB,DE=^AB,

因為48i〃AB,AiBi=AB,

所以DE〃BiF,BiF=DE,

所以四邊形DEBiF為平行四邊形，所以DF//B.E,

所以/GOE為異面直線GO與BiE所成的角或補角.

22

因為分別為AC,BC的中點，所以DF=BlE=>Jl+2=V5,

CiF=Vl2+22=V5,GD=J(V2)2+22=V6,

所以cosZCi￡)F-^---^=—.

DFV510

【解題技法】

求異面直線所成角的方法

⑴求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用

特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.

(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.

①一作:根據定義作平行線，作出異面直線所成的角；

②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;

③三求:解三角形，求出所作的角.如果求出的角是銳角或直角廁它就是要求的角;如果求出的角是鈍角廁它

的補角才是要求的角.

【對點訓練】

1.在正方體ABCDA/iCiOj中，尸為Bid的中點，則直線與ADi所成的角為（）

MC=D=

【解析】選D.如圖，連接因為〃BG,所以NPBG為直線PB與AD\所成的角.

設正方體的棱長為2,貝尸8=乃/口=四,8（71=2&,貝！