等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第25講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第19題,15由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等

分比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和

2023年天津卷，第19題,15等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差

分?jǐn)?shù)列前n項(xiàng)和寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)

2022年天津卷，第18題,15等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位

分相減法求和分組（并項(xiàng)）法求和

2021年天津卷，第19題,15等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和

分?jǐn)?shù)列不等式恒成立問(wèn)題

2020年天津卷，第19題,15等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公

分式的基本量計(jì)算分組（并項(xiàng)）法求和

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度高，分值為15分

【備考策略】L理解、掌握等差數(shù)列的基本概念與通項(xiàng)公式

2.能掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)根據(jù)函數(shù)的特征解決等差數(shù)列的最值與單調(diào)性問(wèn)題

4.會(huì)解數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)與求和問(wèn)題。

12?考點(diǎn)梳理?

考點(diǎn)一、等差數(shù)列基本量的計(jì)算

1.等差數(shù)列的定義

r知識(shí)點(diǎn)一.等差數(shù)列的有關(guān)概念考點(diǎn)二、等差數(shù)列的判斷與證明

2.等差中項(xiàng)

｛考點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)

1話(huà)后八才考點(diǎn)四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)二.等差數(shù)列的有關(guān)公式<；黑麻式<考點(diǎn)五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題

一2.畫(huà)ni貝和么式考點(diǎn)六、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和R「

5、□占二箋壬曲司的一出處慶考點(diǎn)七、等差數(shù)列分奇偶問(wèn)題

知i八八、、二.等差數(shù)列的吊用性質(zhì)、考點(diǎn)八、含有絕對(duì)值的求和問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)四.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)考點(diǎn)九、等差數(shù)列的單調(diào)性

知識(shí)點(diǎn)五.等差數(shù)列的常用結(jié)論考點(diǎn)十、等差數(shù)列中的恒成立問(wèn)題

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.等差數(shù)列的有關(guān)概念

1.等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等

差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母之表示，定義表達(dá)式為斯一斯-i=d(常數(shù)X底2,”

GN*).

2.等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，則A叫做。與6的等差中項(xiàng)，且有2A=a+b.

知識(shí)點(diǎn)二.等差數(shù)列的有關(guān)公式

1.通項(xiàng)公式：an=+(n—l)d.

2.前n項(xiàng)和公式：Sn=na.+竺鏟=迎等.

知識(shí)點(diǎn)三.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

1.若｛a”｝為等差數(shù)列，且_p+q=s+3貝!］他+?！?處+。/(>,q,s,/GN*).

2.等差數(shù)列｛詼｝的單調(diào)性

當(dāng)d>0時(shí)，｛斯｝是遞增數(shù)列;

當(dāng)衣0時(shí)，｛斯｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)d=0時(shí)，｛斯｝是常數(shù)列.

知識(shí)點(diǎn)四.等差數(shù)列前“項(xiàng)和的常用性質(zhì)

2

1.當(dāng)今0時(shí)，等差數(shù)列｛詼｝的前n項(xiàng)和Sn=^n+(ai—^n是關(guān)于n的二次函數(shù).

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，若的>0,d<0,則S”存在最大值；若的<0,d>0,則S,存在最小值.

知識(shí)點(diǎn)五.等差數(shù)列的常用結(jié)論

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n—tri)d(m,〃GN*).

2.已知數(shù)列｛出｝的通項(xiàng)公式是a,=p〃+q（其中p,q為常數(shù)），則數(shù)列｛?！埃欢ㄊ堑炔顢?shù)列，且公差為p.

3.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列OS.=A〃2+即（A,8為常數(shù)）.這里公差d=2A

4.若｛詼｝,｛兒｝均為等差數(shù)列且其前〃項(xiàng)和為S”Tn,則皆=黑匚

冊(cè)12n-1

5.若等差數(shù)列｛詼｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2”，則

（1）S2〃="（〃1+。2〃）=…=〃（〃〃+。八+1）；

.S奇a

（2）5偶一S奇=〃d,c——n.

3偶〃〃+1

6.若等差數(shù)列｛詼｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃+1,則

(1)32八+1―(2幾+1)斯+1；

S奇n+1

⑵余=丁

考點(diǎn)一、等差數(shù)列基本量的計(jì)算

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三上?新疆阿克蘇?階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為%,若03+a5=20,則S7=（）

A.70B.80C.120D.140

2.（22-23高三上?貴州黔東南?階段練習(xí)）已知立為等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，且Ss=%，4<。，則使得上<an

的n的最大值為（）

A.5B.6C.7D.8

即0唧（

1.（2024?天津北辰?三模）已知在等比數(shù)列｛an｝中，a4a8=12a6,等差數(shù)列｛與｝的前n項(xiàng)和為無(wú),且2%=a6,

則S7=（）

A.60B.54C.42D.36

2.（2024.天津?yàn)I海新.三模）已知數(shù)列｛an｝為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，4Sn=an-an+1,

則ag的值為（）

A.4B.8C.12D.16

3.（2022?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和為分,已知a5=2a4豐。，若品=0,則k=.

考點(diǎn)二、等差數(shù)列的判斷與證明

典例引領(lǐng)

1.（2024-山西晉中?模擬預(yù)測(cè)汨知數(shù)列的前幾項(xiàng)和為無(wú),%｝且當(dāng)n22QieN*）時(shí),25^?Sn_t=-an,

（1）證明：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列｛.｝滿(mǎn)足bn=上，求瓦+bi。1的值.

an+l

2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足：的=%a2=1,（n+l）（n+2）an-4n（n+2）an+1+

4n（n+l）an+2=0,neN*.證明：數(shù)歹可手｝為等差數(shù)列，并寫(xiě)出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足的=2,冊(cè)+1="黑.證明：數(shù)歹！]｛3｝是等差數(shù)列；

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足的=2,即+1=三含.

（1）證明：數(shù)歹!]｛，｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)%=求｛%｝的前n項(xiàng)和取.

an

3.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）己知數(shù)列的前n項(xiàng)和為無(wú),且分=半+'證明：數(shù)列陰｝是等差數(shù)列；

4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和%滿(mǎn)足％=71冊(cè)+1—十—n（nGN*）.證明：｛/J是等

差數(shù)列；

考點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（?北京?高考真題）在等差數(shù)列｛a九｝中，已知+的+。3+。4+。5=20，那么。3等于（）

A.4B.5C.6D.7

2.（?北京?高考真題）已知等差數(shù)列｛。九｝滿(mǎn)足+。2+。3"I■…+。101=0，貝U（）

A.Q]+。101>0B.+。101V0C.+。99=0D.。51=51

??即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為%,若%+。6=20,a3=9,貝=（）

A.60B.80C.140D.160

2.（2024?青海海西?模擬預(yù)測(cè)）前幾項(xiàng)和為%的等差數(shù)列｛即｝中，若S6—S3=18,則的=（）

A.6B.7C.8D.9

3.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列｛%｝中，若。2+。5+的7+。20=48,則=（）

A.7B.12C.16D.24

4.（2020?北京懷柔?一模）在等差數(shù)列｛a九｝中，a4+a5+a6=15,則&+他=（）

A.5B.6C.7D.10

考點(diǎn)四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024.河南周口.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)立為等差數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和，已知S3=4,S6=10,則%+—+的8=

（）

A.12B.14C.16D.18

2.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）在等差數(shù)列｛廝｝中，S3=3,56=10,59=（）

A.13B.17C.21D.23

即時(shí)檢測(cè)

1_____________________________

［（2023?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛an｝,｛%｝都是等差數(shù)列,記Sn,1分別為｛冊(cè)｝,也｝的前n項(xiàng)和,

且包=*,則匕=（）

Tn3nb5

A.-B.-C.-D.-

5533

2.（2024?河北衡水.三模）已知數(shù)列｛%｝,｛g｝均為等差數(shù)列，其前幾項(xiàng)和分別為無(wú),Tn,滿(mǎn)足（2n+3）S“=

（3n—1）七，則一+%+。9=（）

b6+b10

A.2B.3C.5D.6

3.（2024?山西朔州.一模）設(shè)立為等差數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和，若59=尊，貝U2a8—%1=（）

59

A.-B.3C.-D.5

22

4.（24-25高三上?浙江?開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛廝｝前幾項(xiàng)和為上,若幺=",則當(dāng)=（）

13Sg

91274

A.—B.—C.-D.-

131353

考點(diǎn)五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024.遼寧葫蘆島.二模）等差數(shù)列｛即｝中，的＞0,ST=Sg,則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（）

A.7B.8C.9D.10

2.（2024?山東泰安?三模）已知立為等差數(shù)列｛a九｝的前幾項(xiàng)和，出二一21,S7=Si5，則%的最小值為（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知%為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，^3a10+ai2<0,a8+3a12>0,則當(dāng)為取

最小值時(shí)，71=（）

A.9B.10C.10或11D.11

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為無(wú),公差為d,己知—2,Sg=0,則與取最小值

時(shí)，71=（）

A.1B.4C.5D.4或5

3.（2024.四川瀘州?三模）記%為等差數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和，己知的=—14,a2+a4=-20,則又取最小值

時(shí)，n的取值為（）

A.6B.7C.7或8D.8或9

4.（2024?寧夏銀川?三模）設(shè)為立等差數(shù)列｛&J的前n項(xiàng)和，已知S1、S2>S4成等比數(shù)列，S2=2^+2,當(dāng)

6an-Sn取得最大值時(shí)，n=.

考點(diǎn)六、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（24-25高三上?湖北?階段練習(xí)）長(zhǎng)江被稱(chēng)為黃金水道，而三峽大壩則是長(zhǎng)江上防洪發(fā)電的國(guó)之重器.三峽

大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米.為了改善船舶的通航條件，常常會(huì)通

過(guò)修建階梯船閘來(lái)實(shí)現(xiàn)，船只只需要像爬樓梯一樣，以實(shí)現(xiàn)上升或者下降.假設(shè)每個(gè)閘室之間的水位差均可

控制在15至25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個(gè)數(shù)為（）

「閘室3,呵首

H「13閘室勺閘首

---------III」閘室5閘首

A.4B.5C.6D.7

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）2024年春節(jié)前夕，某商城針對(duì)顧客舉辦了一次“購(gòu)物送春聯(lián)”的促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)

則如下：將一天內(nèi)購(gòu)物不少于800元的顧客按購(gòu)物順序從1開(kāi)始依次編號(hào)，編號(hào)能被3除余1,也能被4除

余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對(duì)，否則不能獲得春聯(lián).若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對(duì)

春聯(lián)的人數(shù)為（）

A.167B.168C.169D.170

??即時(shí)檢測(cè)

1.（23-24高三下?上海?開(kāi)學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥.天

干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支

由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天

干回到“甲，，重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回至獷子”重新開(kāi)始，即“丙子”…，以此類(lèi)推.2024年是

甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（）

A.丁酉年B.丁戌年C.戊酉年D.戊戌年

2.（2024?云南曲靖.二模）小明同學(xué)用60元恰好購(gòu)買(mǎi)了3本課外書(shū)，若三本書(shū)的單價(jià)既構(gòu)成等差數(shù)列，又構(gòu)

成等比數(shù)列，則其中一本書(shū)的單價(jià)必然是（）

A.25元B.18元C.20元D.16元

3.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）干支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支

紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起,比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)

始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回至廠子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，依此類(lèi)推.已知2024年是甲辰年，

則2124年為（）

A.丁辰年B.癸未年C.甲午年D.甲申年

4.（2024?山西晉城?一模）生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來(lái)健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換

禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2分.若某天未打卡，則

當(dāng)天沒(méi)有積分，且第二天打卡須從1積分重新開(kāi)始.某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開(kāi)始，到3月20日

他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（）

A.3月5日或3月16日B.3月6日或3月15日

C.3月7日或3月14日D.3月8日或3月13日

考點(diǎn)七、等差數(shù)列分奇偶問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（21-22高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）己知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)幾為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為78,

所有奇數(shù)項(xiàng)的和為65,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為（）

A.9B.11C.13D.15

2.（2021?山東濟(jì)南?二模）已知等差數(shù)列｛即｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為

290,則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（）

A.28B.29C.30D.31

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）己知數(shù)列｛5｝滿(mǎn)足的=1,即+1=『九+2，”為奇數(shù)，則｛即｝的前40項(xiàng)和

（即+3,幾為偶數(shù)

為.

2.（23-24高三上?四川成都?期中）數(shù)列｛每｝滿(mǎn)足:aa=l,a-a_=2a=2,數(shù)列｛a?的前n

1=22n+12nra2n

項(xiàng)和記為力,貝抬23=—.

4.（20-21高三上?廣東汕頭?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為S?，且品=31+271+1,則數(shù)列｛即｝的

通項(xiàng)公式是,a1+43+a5+…+49=.

考點(diǎn)八、含有絕對(duì)值的求和問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭.一模）已知等差數(shù)列｛/J中，的=9,a4=3,設(shè)7；=同+應(yīng)1+?“+1叫，則j=（）

A.245B.263C.281D.290

2.（23-24高三下?北京?開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式為廝=|n-13|,若滿(mǎn)足以+與+i+…+以+知=

小的整數(shù)k恰有2個(gè)，則6可取到的值有（）

A.有3個(gè)B.有2個(gè)C.有1個(gè)D.不存在

即時(shí)便測(cè)

1.（23-24高三上?遼寧沈陽(yáng)?期末）已知數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)為25,公差為-2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛|a“|｝的前30

項(xiàng)的和為.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%J滿(mǎn)足a7a9ali=64,。伍+2是劭與。13的等差中項(xiàng).

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若.=log2a九，求數(shù)列｛|%|｝的前幾項(xiàng)和.

3.（23-24高三上?遼寧丹東?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛即｝的公差為整數(shù)，口3=9,設(shè)其前n項(xiàng)和為立,且｛含』

是公差為巳的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛a九｝的通項(xiàng)公式；

（2）若匕=a2n+1-60,求數(shù)列｛|“|｝的前n項(xiàng)和

4.（23-24高三上?上海?期中）在公差為d的等差數(shù)列｛a九｝中，已知的=10,且2a2+2,5a3成等比數(shù)列.

⑴求d,an；

（2）若d<0,\ar\+\a2\+|a3|+???+|an|=100,求n.

考點(diǎn)九、等差數(shù)列的單調(diào)性

.典例引領(lǐng)

1.（2023?貴州銅仁?二模）設(shè)％為等差數(shù)列｛廝｝的前7i項(xiàng)和，且VneN*,都有即-an+1>0,若卬+的8=。，

則（）

A.Sn的最小值是S17B.Sn的最小值是S18

C.Sn的最大值是S”D.Sn的最大值是S18

2.（2023?陜西寶雞?一模）已知等差數(shù)列｛時(shí)｝滿(mǎn)足+。7=。，。5+。8=-4,則下列命題：①是遞減數(shù)

列；②使%>0成立的n的最大值是9；③當(dāng)幾=5時(shí)，Sn取得最大值；④。6=0,其中正確的是（）

A.①②B.①③

C.①④D.①②③

??即時(shí)檢測(cè)

I________L__________

1.（2022?浙江紹興.一模）已知數(shù)列｛5｝為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為工,則“2S”+i<S”+S"+2”是“數(shù)列｛SJ為單

增數(shù)列，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（202k北京?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和記為％,的+2a2+a3=S4+4,則<1”是“｛5?｝為

單調(diào)數(shù)列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?甘肅定西?一模）寫(xiě)出同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式與=.

①｛5｝是遞增的等差數(shù)列；②的一ci3+2a4=4.

4.（2021.江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。6=2,a4+as=12.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)％=%03￡15“一。271-1，nG,N*,求數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng).

考點(diǎn)十、等差數(shù)列中的恒成立問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-2,數(shù)列｛6n｝的前n項(xiàng)和為乙,bn=

log^-1,若不等式配W4an，恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.[2,+oo）B.r+8）C.[l,4-oo）D.[|>+°0）

2.⑵-24高三上?山東青島?期末）5日是等差數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和，若S,NSnSeN*）恒成立，則我不可能的

曲

值為（）

A.7B.6C.5D.4

即時(shí)便測(cè)

1.（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為%,由=1,a2=2,且對(duì)于任意n22,n￡N*,

Sn+1+Sn_i=2（Sn+1）恒成立，則（）

A.｛廝｝是等差數(shù)列B.｛%」是等比數(shù)列

C.Sg=81D.Sw=91

2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）己知等差數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為%,且a?=4,S8=72,nEN*.記數(shù)列

lsn+anJ

的前n項(xiàng)和為鼎,若與〈小恒成立，則小的最小值為.

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）記立為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，已知的=3,｛篝篝｝是公差為2的等差數(shù)列.若

—+—+—F2<€N*）恒成立，則m的最小值為.

ala2an

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在①a1=1,a「a3,成等比數(shù)列，②+a4=6,-a5=5,③￡乙七=6,

271%=21,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題：已知數(shù)列｛an｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列償｝的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的neN+有m-3<Sn<小恒成立，求小的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

12.好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2024?天津武清?模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列｛廝｝中，公差d豐0,若S2i=7（a8+a10+a。,則k=（）

A.12B.13C.14D.15

2.（23-24高三下?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛廝｝和｛與｝的前幾項(xiàng)和分別為％,7；，若$=翳，則

。5+08_/\

匕2+匕11

A.—B.—C.—D.—

131377

3（2024?天津?一模）已知｛%J為等差數(shù)列，前幾項(xiàng)和為右,且的=2,S3=a2+18,則以=（）

A.54B.45C.23D.18

4.（2024?天津?一模）已知等差數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為%,且S4=4s2，的n=2an+l（neN*）,則的=（）

A.6B.9C.11D.14

5.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知數(shù)列｛%J（幾CN*）為等比數(shù)列，S建為數(shù)歹的前幾項(xiàng)和.若3am他，5%

成等差數(shù)列，則斗=（）

。5+。6

A.—B.—C.—D.—

94436

6.（23-24高三上?天津?qū)幒?期末）已知等差數(shù)列｛廝｝,也｝的前幾項(xiàng)和分別為%,T,且?=/，則

nln4Tl

=

能力提升

1.（2024.天津和平.一模）已知等比數(shù)列｛%J的各項(xiàng)均為正數(shù)，若為,；。3，。2成等差數(shù)列，則吧也=（）

4Qg+Cig

A.V3+1B.V3-1C.4+2百D.4-2V3

2.（23-24高三上.天津武清?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛/J的前n項(xiàng)和為如，且%=當(dāng)+%三，則數(shù)列｛即+1+

的通項(xiàng)公式為,Sn=.

3.（23-24高三下?天津和平?開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列｛an｝中，即=7-在等差數(shù)列也｝中，前n

項(xiàng)和為Sn,比=2,2為+$5=28.

（1）求證｛5+3｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝和｛g｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列&｝滿(mǎn)足4=（an+3bn）cosy,｛%｝的前n項(xiàng)和為加求心展

4.（21-22高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）設(shè)｛即｝是等差數(shù)列，｛6n｝是等比數(shù)列，公比大于0,已知的=瓦=3,

Z72=。3，Z?3=4a2+3.

（1）求數(shù)列｛%J和｛b