2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)形結(jié)合】平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思（解析版）

平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.坐標(biāo)確定位置

平面內(nèi)特殊位置的點的坐標(biāo)特征

(1)各象限內(nèi)點尸(a,b)的坐標(biāo)特征：

①第一象限：a>0,6>0；②第二象限：a<0,b>0；③第三象限：a<0,b<0；④第

四象限：a>0,b<Q.

(2)坐標(biāo)軸上點尸(a,b)的坐標(biāo)特征：

①x軸上：a為任意實數(shù),b=0；②y軸上：6為任意實數(shù)，?=0；③坐標(biāo)原點：a=0,b

=0.

(3)兩坐標(biāo)軸夾角平分線上點尸(a,b)的坐標(biāo)特征：

①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b.

2.軸對稱-最短路線問題

1、最短路線問題

在直線工上的同側(cè)有兩個點/、B,在直線￡上有到N、8的距離之和最短的點存在，可以

通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線C的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L

的交點就是所要找的點.

2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解

決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

3.坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

(1)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

P(x,y)=>P(-x,-y)

(2)旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)

圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo).常

見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°

4.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直

觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用

了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函

數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

選擇題（共2小題）

1.（2021秋?瑞安市月考）如圖，這是某所學(xué)校的部分平面示意圖，教學(xué)樓、實驗樓和圖書

館的位置都在邊長為1的小正方形網(wǎng)格線的交點處，若教學(xué)樓位置的坐標(biāo)是（-2,2）,實驗樓

位置的坐標(biāo)是（2,-1）,則圖書館位置的坐標(biāo)是（）

1111

1111

1111

11圖;書館：

11

1111

1111

1111

1111

1教庠樓11

111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

I

A.（4,1）B.（1,4）C.(3,2)D.(2,3)

【考點】坐標(biāo)確定位置

【分析】根據(jù)已知點坐標(biāo)得出原點位置，進而得出答案.

【解答】解：如圖所示：圖書館位置的坐標(biāo)是（1,4）.

故選：B.

佟書館

教學(xué)樓

實驗樓

【點評】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點位置是解題關(guān)鍵.

2.（2021春?姑蘇區(qū)校級月考）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建

筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1,兩棟建筑

第八層由一條長60機的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋150機處各有一窗戶，兩窗戶的水

平距離為30沉，如圖2,則此拋物線頂端。到連橋N3距離為（)

圖1

A.180mC.220mD.240m

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】以所在的直線為x軸，以線段N2的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直

角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，則可知頂點。的坐標(biāo)，從而可得此拋物線

頂端。到連橋距離.

【解答】解：以所在的直線為x軸，以線段的垂直平分線所在的直線為y軸建立平

面直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線的解析式為夕=。(工+30)。-30),將(15,150)代入，得：

150=^(15+30)(15-30),

解得：a=—，

9

,-.j；=-|(x+30)(x-30)

=--x2+200，

9

拋物線頂端。的坐標(biāo)為(0,200),

二.此拋物線頂端O到連橋AB距離為200加.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握待定系數(shù)法是解題

的關(guān)鍵.

二.填空題(共10小題)

3.(2020?賀州)某學(xué)生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為*米，出手后鉛球

3

在空中運動的高度y(米)與水平距離x(米)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-4/+6x+c,當(dāng)

鉛球運行至與出手高度相等時，與出手點水平距離為8米，則該學(xué)生推鉛球的成績?yōu)?0

米.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再令y=0,得關(guān)于x的

一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可.

【解答】解：設(shè)鉛球出手點為點/,當(dāng)鉛球運行至與出手高度相等時為點8,根據(jù)題意建

立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

5

—=c

3

51

—=-----x829+8Z?+c

〔312

b=-

解得3.

5

C--

I3

125

..V------X2H----XH---,

■1233

19S

當(dāng)y=0時，0=-----x2+-X+-,

'1233

解得西=10,x2=—2（不符合題意，舍去）.

.?.該學(xué)生推鉛球的成績?yōu)?07".

故答案為：10.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元

二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?二道區(qū)校級一模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋

面相交于N、3兩點，拱橋最高點C到4S的距離為8根，AB=24m,D,￡為拱橋底部

的兩點，且若DE的長為36機，則點E到直線的距離為10m.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，。E在X軸上，y軸經(jīng)過最高點C,設(shè)拋物線的解析式為

y=〃(x-18)(x+18),OH=k,用含左的式子表示出點Z和點C的坐標(biāo)，再代入拋物線解析

式，得方程組，解得。和左的值，則左的值即為所求的答案.

【解答】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，。內(nèi)在x軸上，歹軸經(jīng)過最高點C,

,/DE=36m，

D(-1890),5(18,0),設(shè)拋物線的解析式為>=Q(X-18)(X+18),

AB=24m,

AH=BH=nm,

設(shè)OH=k,則C(一12,左),

v拱橋最高點C到AB的距離為8m,

/.C(0,左+8),

將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得：

心=研-12-18)(-12+18)

［左+8=研0-18)(0+18)'

解得：”一國，

左=10

.,.點E到直線AB的距禺為10//1.

故答案為：10m.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系，從而求得拋

物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

5.(2020秋?瑞安市期末)如圖1是某校園運動場主席臺及遮陽棚，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖

2所示.主席臺(矩形/BCD)高/D=2米，直桿。E=5米，斜拉桿EG,EH起穩(wěn)固作用，

點〃處裝有一射燈.遮陽棚邊緣曲線9G可近似看成拋物線的一部分，G為拋物線的最高

點且位于主席臺邊緣3c的正上方，若點E,H,C在同一直線上，且。尸=1米，EG=4米,

NAEG=60°,則射燈H離地面的高度為4.5米.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】以N8所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過點G作

60，/。于點6,求得點G(2VL5),BQ6,0),C(2V3,2)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法

求得拋物線和直線EC的解析式，將兩者聯(lián)立，解得點〃的坐標(biāo)，則點〃的縱坐標(biāo)即為所

求.

【解答】解：如圖所示，以所在直線為x軸，/D所在直線為/軸，建立平面直角坐標(biāo)

?.?/￡)=2米，DE=5米,DP=1米，

￡>(0,2),￡(0,7),尸(0,3),

又?.?GQ_L4D,￡G=4米，ZAEG=60°,

GQ=sin60°xEG

V3

=—x4

2

=2百(米)，

:.EQ=MGQ。

=J16-12

=2(米)，

:.AQ=AE-EQ

=7-2

=5(米)，

:.GQ拒,5),8(2百，0),C(2A/3,2),

?.?點G為拋物線的頂點，

二.設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2行y+5(0X0),將點尸(0,3)代入，得：

3=0(0-2兩2+5,

解得〃=」，

6

二拋物線的解析式為y=-」(x-26)2+5,

6

設(shè)直線EC的解析式為y=fcc+6gw0),將E(0,7),C(2右，2)代入，得:

‘7=6

2=2限+6,

解得，'=一石°,

6=7

直線EC的解析式為7=--x+7,

j/=--（x-2V3）2+5

6

聯(lián)立r，

5V3r

y=x+7

16

解得卜=。，或卜=86（舍去），

j=4.5[y=T3

H（43,4.5）,

二射燈H離地面的高度為4.5米.

故答案為：4.5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系

數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?長春模擬）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓(xùn)練，在某次試投中鉛球

所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分.已知鉛球出手處/距離地面的高度是1.68米,

當(dāng)鉛球運行的水平距離為2米時，達到最大高度2米的B處，則小丁此次投擲的成績是7

米.

【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為＞=。（》-2）2+2,由待定系數(shù)法求得拋物線的

解析式，令夕=0,得關(guān)于x的一元二次方程，求得方程的解并根據(jù)問題的實際意義作出取

舍即可.

由題意得：/(0,1.68),2(2,2),點2為拋物線的頂點,

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+2,

把/(0,1.68)代入得：

4。+2=1.68,

解得。=-0.08,

y=—0.08(尤—2)2+2,

令＞=0,得-0.08(X-2)2+2=0,

解得%=7,x2=-3(舍)，

.?.小丁此次投擲的成績是7米.

故答案為：7.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系、熟練掌握待

定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.(2020秋?路南區(qū)期末)一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4相處起跳投籃，球沿

一條拋物線運動，當(dāng)球運動的水平距離為2.5機時，達到最大高度3.5%，然后準(zhǔn)確落入籃框

內(nèi).已知籃圈中心距離地面高度為3.05加，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，則此拋物線的

?-----4m―

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】由題意，先求得拋物線的頂點坐標(biāo)，再設(shè)其解析式為了="?+3.5；由圖象得出籃

圈中心的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得a的值，則問題得解.

【解答】解：?.?當(dāng)球運動的水平距離為25*時，達到最大高度3.5%，

二拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,3.5),

設(shè)此拋物線的解析式為歹=如2+3.5，

由圖象可知，籃圈中心與y軸的距離為：4-2.5=1.5（如，且籃圈中心距離地面高度為3.05”？，

二.籃圈中心的坐標(biāo)為(1.5,3.05),代入y=#+3.5,得:

3.05=axl.52+3.5,

/.ci——0.2，

'.y——0.2.x2+3.5.

故答案為：了=-0.2/+3.5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運用待定系數(shù)法求

拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

8.（2020秋?江都區(qū)期末）道路的隔離欄通常會涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀（如圖1）,

圖2是一個長為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一

部分涂上醒目的藍色，顏色的分界處（點E,點尸）以及點/,點8落在同一條拋物線上，

若第1根欄桿涂色部分（所）與第2根欄桿未涂色部分（尸。）長度相等，則環(huán)的長度是04

CQD

圖1

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】設(shè)8為坐標(biāo)原點，3/所在的直線為X軸，8C所在直線為y軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+bx+c,先分別將點8和點/的坐標(biāo)代入，求得。的值

并用a表示b,設(shè)EF=PQ=m，用含加的式子分別表示出點E和點P的坐標(biāo)，代入解析式,

從而得出關(guān)于?和山的方程組，求解即可.

【解答】解：設(shè)8為坐標(biāo)原點，A4所在的直線為x軸，8c所在直線為y軸，建立平面直

角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+bx+c,

將5（0,0）代入得：。=0,

二.y=ax2+bx，

???84=2米，

4(2,0),

0=(7x22+2ZJ,

b——2。，

y=ax2-2ax，

設(shè)EF=PQ=m,

則頤0.4,冽），P（0.8,l-m）,

將點E和點P坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得:

Jm=?x0-42-2tzx0.4

[1-m=tzx0-82-2tzx0.8

m=0.4

解得：＜5.

a=—

I8

.?.E尸=0.4米，

故答案為：0.4米.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，由實際問題正確建立數(shù)學(xué)模型是解題的

關(guān)鍵.

9.（2020?鹿城區(qū)二模）圖1是一個高腳杯截面圖，杯體CAD呈拋物線狀（杯體厚度不計）,

點&是拋物線的頂點，AB=9,防=26，點/是所的中點，當(dāng)高腳杯中裝滿液體時,

液面CD=46,此時最大深度（液面到最低點的距離）為12,將高腳杯繞點/緩緩傾斜倒

出部分液體，當(dāng)=30。時停止，此時液面為GD,則液面GD到平面/的距離是

10V3_；此時杯體內(nèi)液體的最大深度為

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】以N為原點，直線跖為x軸，直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由待定系

數(shù)法求得拋物線的解析式；將高腳杯繞點下傾斜后，仍以/為原點，直線跖為x軸，直線

為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別用待定系數(shù)法求得直線/的解析式和直線G。的解

析式，過點M作于點尸，用三角函數(shù)求得液面GD到平面/的距離；過拋物線最低

點。作0￡/〃，再將。￡的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，由

判別式求得q,最后用三角函數(shù)求得答案.

【解答】解：以/為原點，直線跖為x軸，直線為》軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

A(0,0),3(0,9),C(-26，21),。(2百，21),

設(shè)拋物線的解析式為：>="2+9,

將。（2百，21）代入得：

21=ax（2gy+9,

解得：a=1,

y=尤？+9.

將高腳杯繞點尸傾斜后，仍以/為原點，直線跖為x軸，直線為y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，如圖：

由題意得：

/（0,0）,F（6，0）,E（Y，0）,5（0,9）,C（-2A/3,21）,。（26，21）,

由題可知，直線/與x軸的夾角為30。，GD//1,

?/經(jīng)過點尸（6，0）,且/￡7叼=30。，

.?.設(shè)直線/的解析式為：y=^-x+b,

3

將尸（G，0）代入，解得6=-1,

_V3

..y=—X-1,

3

XvGD///,

…^GD-&-3'

設(shè)直線GD的解析式為y=^-x+p,

將。（2右，21）代入，解得p=19,

,_V3

..y——x+19,

3

.\Af（0,19）,N（0,—l）,

過點M作MP，/于點尸，

?/ZEFH=30°,ZFAN=90°,

...ZANF=60°，

:.MP=MN

=[19-(,l)]xX,

=1073.

過拋物線最低點。作。￡/〃，上為于MP的交點,

設(shè)直線QL的解析式為y=^-x+q,

y=x2+9

由＜73得：

...只有一個交點。,

ML=（19-石-）xsin60°

故答案為：104，—V3

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法、二次

函數(shù)及解直角三角形等知識點是解題的關(guān)鍵.

10.如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于/、3兩

點，拱橋最高點C到48的距離為9加，AB=36m,D、E為拱橋底部的兩點，目DEIIAB,

點E到直線AB的距離為7m,則DE的長為48m.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，x軸在直線?！晟?，y軸經(jīng)過最高點C,設(shè)N3與y軸

交于H,求出OC的長，然后設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax2+k,根據(jù)題干條件求出a和

后的值，再令y=0,求出x的值，即可求出。和E點的坐標(biāo)，DE的長度即可求出.

【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，x軸在直線。E上，y軸經(jīng)過最高點C.

設(shè)與y軸交于點X,

AB=36m,

AH=BH=18m,

由題可知：

OH=Jm,CH=9m,

OC=9+7=16cm,

?..0(0,16)、5(18,7).

設(shè)該拋物線的解析式為：j=ax2+16,

將3(18,7)代入得:

7=18x18a+16,

1

Cl=---9

36

.?.拋物線：y=-±x^+16,

36

當(dāng)y=0時，即：0=-—X2+16,

36

x=+24,

.”(24,0),。(-24,0),

OE=OD=24m,

/.DE=OD+OE=24+24=48優(yōu)，

故答案為：48.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角

坐標(biāo)系，此題難度一般，是一道非常好的試題.

11.(2020秋?興城市期末)某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸,

出水點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線了=-2/+4x(單位:

米)的一部分，則水噴出的最大高度是2米.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】水噴出的最大高度就是水在空中劃出的拋物線了=-2/+4尤的頂點縱坐標(biāo)，將

了=-2f+4無寫成頂點式即可得出頂點坐標(biāo)，從而求得答案.

【解答】解：由題意可知，水噴出的最大高度就是水在空中劃出的拋物線了=-2x?+4x的頂

點縱坐標(biāo)，

y=-2x2+4x

=-2(X2-2X)

=-2(1)2+2,

.??頂點坐標(biāo)為(1,2),

二.水噴出的最大高度是2米.

故答案為：2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，將實際問題與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來是解題

的關(guān)鍵.

12.(2020秋?甘南縣期末)在拋物線形拱橋中，以拋物線的對稱軸為y軸，頂點為原點建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線解析式為〉="2,水面寬48=6相，與y軸交于

點C,。。=3機，當(dāng)水面上升1根時，水面寬為_2指—機.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意可得點3的坐標(biāo)，將點3的坐標(biāo)代入拋物線解析式＞="2,解得“的值,

從而可得拋物線的解析式；當(dāng)水面上升加時，即縱坐標(biāo)＞=-2時，從而可得關(guān)于x的方程,

解得x的值，則可求得答案.

【解答】解：,.?/3=6加，OC=3m,

二點B坐標(biāo)為（3,-3）,

將3（3,-3）代入y=o?得：

—3=ax32,3

1

CL------，

3

12

/.V=——X.

3

二.當(dāng)水面上升1冽時，即縱坐標(biāo)y=-2時，有：

12

2-x

3

/=6,

西=-^6，x2=屈.

水面寬為：V6-(-^6)=2A/6(W).

故答案為：2戈.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共12小題）

13.（2021秋?沐陽縣校級月考）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，

一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點/、B,C,請在網(wǎng)格圖中進行下列操作（以下結(jié)果保留根號）：

(1)利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心。點的位置，寫出D點的坐標(biāo)為_(2,0)_

(2)連接CD,若扇形D/C是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐底面半徑為

(3)連接2C,將線段2C繞點。旋轉(zhuǎn)一周，求線段BC掃過的面積.

【考點】點、線、面、體；圓錐的計算；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；垂徑定理

【分析】(1)線段與3c的垂直平分線的交點為。；

(2)連接NC,先判斷N/OC=90。，則可求就的弧長，該弧長即為圓錐底面圓的周長，

由此可求底面圓的半徑；

(3)設(shè)的中點為E,線段的運動軌跡是以。為圓心。C、OE分別為半徑的圓環(huán)面

積.

【解答】解：(1)過點(2,0)作x軸垂線，過點(5,3)作與3C垂直的線，

兩線的交點即為。點坐標(biāo)，

￡>(2,0),

故答案為：(2,0)；

(2)連接/C,

?.?/(0,4),8(4,4),C(6,2),

AD=2^/5,CD=2V5,^C=2Vw,

vAC2=AD2+CD2,

ZADC=90°,

的長=!*2/><2退=囪萬，

4

?.?扇形ZMC是一個圓錐的側(cè)面展開圖,

垂:兀=27ir,

V5

r=——，

2

故答案為：好

2

(3)設(shè)3C的中點為E,

￡(5,3)，

DE=3近，

:.S"x(CD2-。爐)=2",

二.線段掃過的面積是27.

【點評】本題考查圓錐的展開圖，垂徑定理，能夠由三點確定圓的圓心位置，理解圓錐展開

圖與圓錐各部位的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

14.(2021秋?尊城區(qū)校級期中)【初步探究】

(1)如圖1,在四邊形48CD中，ZS=ZC=90°,E是邊3C上一點，AB=EC,BE=CD,

連接/￡、DE.請判斷A4ED的形狀，并說明理由.

【問題解決】

(2)若設(shè)DE=c,CD=a,CE=b.試?yán)脠D1驗證勾股定理.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點/(2,0),點2(4,1),點C在第一象限內(nèi)，若AABC

為等腰直角三角形，求點C的坐標(biāo).

【考點】四邊形綜合題

【分析】(1)證明ZUBEMAEC。(S/S),由全等三角形的性質(zhì)即可求解;

(2)根據(jù)四邊形/3CD的面積的兩種不同表示方式，即可得至1」/+加=。2.

(3)分NC4B=9Q°、ZABC=90°>ZACB=90°,三種情況求解即可.

【解答】解：(1)A4即是等腰直角三角形,

證明：?.?在AAftE1和AECD中,

AB=CE

<ZB=ZC=90°,

BE=CD

KABE=AECD(SAS),

AE=DE,NAEB=NEDC,

?.?在RtAEDC中，ZC=90°,

ZEDC+ZDEC=90°,

NAEB+/DEC=90°,

-,?ZAEB+NDEC+ZAED=180°,

ZAED=90°,

A4m是等腰直角三角形；

(2)由(1)可知A4E。是等腰直角三角形，AE=DE=c,CD=BE=a,CE=AB=b,

;B、E、C在同一條直線上，MZC=Z5=ZAED=90°,

四邊形ABCD是直角梯形，

'''smniABCD=^(BA+DCyCB=^(a+b)(a+b),

又S四邊形/BCD=2X,

111

-[b++b)=2x—+—c2,

即a1+b2=c2.

(3)如圖，當(dāng)/C/B=90。，=時，過點C作W_L/O于點尸，過點5作

于點￡,

???點4(2,0),點5(4,1),

/.BE=\,04=2,0￡=4,

AE=2,

?/ZCAB=90°,BE1AO,

NCAF+ZBAE=90°,ZBAE+NABE=90°,

ZCAF=ZABE,

?;AC=AB,ZAFC=ZAEB=90°,

AACF=ABAE(AAS),

CF=AE=2,AF=BE=\,

OF=OA-AF=\,

.?.點C坐標(biāo)為(1,2),

如圖，當(dāng)445C=90。，45=5。時，過點5作5￡_LO4,過點。作CF_LBE,

???NABC=90°,BELOA,

NABE+ZCBF=90°,/ABE+ZBAE=90°,

ZBAE=/CBF,

?;BC=AB,/AEB=NCFB=90。，

\BCF=AABE(AAS),

BE=CF=\,AE=BF=2,

EF=3,

.?.點。坐標(biāo)為(3,3),

如圖，當(dāng)/4C5=90。，C4=8。時，過點C作。。_LCM于點。，過點B作_LC。于點尸，

?/ZACD+ZBCF=90°,ZACD+ZCAD=90°,

ABCF=ZCAD,

vAC=BC,ZCDA=ZCFB,

:.\ACD=\CBF{AAS),

CF=AD,BF=CD=DE,

??,AD+DE=AE=2,

2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1,

/.DA=—i

2

35

:.CD=~,OD=~,

22

.?.點c坐標(biāo)c1,,

綜上所述：點C坐標(biāo)為：(1,2)、(3,3)、(|,1).

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰

直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、尺規(guī)作圖以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練

掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

15.(2021秋?孝南區(qū)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/(a,0)是x軸上一點，點3(0,6)

是y軸上一點，且滿足/+5〃-4尤-66+9=0.

(1)求出4,2兩點坐標(biāo)；

(2)連接A4,以線段A4為直角邊，在氏4右側(cè)作等腰直角三角形R4N,點/為直角頂點,

連接CW,求ACMN的面積；

(3)點尸是x軸上一動點，點。為y軸上一動點，若尸、0各自同時從原點出發(fā)沿x軸正

半軸、y軸正半軸運動，點P運動的速度是每秒1個單位，點。運動的速度每秒2個單位;

【分析】(1)由題意得出(a-2b)2+(6-3)2=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出6的值即可得

出答案；

(2)過點N作NCLx軸于點C,證明AA^C=AASO(44S),由全等三角形的性質(zhì)得出

NC=CM=6,根據(jù)三角形的面積公式可得出答案；

(3)設(shè)經(jīng)過/秒時AOP0的面積正好是(2)中ACMN的面積的;，由題意得OP=f,OQ=2t,

根據(jù)三角形面積公式可列出方程求出t的值.

【解答】解：(1)Va2+5b2-4ab-6b+9=Q,

(a-2爐+(6-3)2=0,

a—2b=0,6—3=0,

a=6,6=3,

.?./(6,0),8(0,3)；

(2)過點N作軸于點C,

???/AOB=/BAN=ZACN=90°,

AOAB+AOBA=90°,ZOAB+ZNBC=90°,

AOBA=ANAC,

BA=AN,

:.\NAC=\ABO{AAS）,

/.NC=OA=6,

.,.%N="NC=；X6X6=18；

（3）設(shè)經(jīng)過/秒時AO尸0的面積正好是（2）中AO/N的面積的g,

由題意得。尸=/,OQ=2t,

:?S&op9=』t-2t=t：

2

1

/.t?=—x18=9,

2

:.t=3（負(fù)值舍去），

3秒時△。尸。的面積正好是（2）中A6UN的面積的g.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

16.（2021秋?荔城區(qū)校級期中）等腰RtAABC中，Z8/C=90。，點/、點8分別是x軸、

y軸兩個動點，直角邊/C交x軸于點D,斜邊交y軸于點￡.

(2)如圖(2),當(dāng)?shù)妊黂tAABC運動到使點。恰為/C中點時，連接。￡,求證：

BD=AE+DE；

(3)如圖(3),在等腰RtAABC不斷運動的過程中，若滿足始終是N/8C的平分線，

試探究：線段。/、OD、3。三者之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若有，請直接寫出結(jié)論;

若沒有，請說明理由.

【考點】三角形綜合題

【分析】(1)過點C作軸于點尸，證明A4C尸=A480(44S),由全等三角形的性質(zhì)

得出CF=O/=2,AF=OB=3,求得OF的值，就可以求出。的坐標(biāo)；

(2)過點C作CGLNC交y軸于點G,先證明A4CG=A48。，由全等三角形的性質(zhì)得出

CG=AD=CD,AG=BD,再證明AZ)CE三AGCE就可以得出結(jié)論DE=GE;

(3)在08上截取O/f=0D,連接/〃，由對稱性得=ZADH=ZAHD,可證

ZAHD=ZADH=NBAO=ZBEO,再證明KACE=ABAH就可以得出結(jié)論.

【解答】(1)解：過點C作軸于點/，

NAFC=90°,

:.ZCAF+ZACF=90°.

???A4BC是等腰直角三角形，ABAC=90°,

/.AC=BC,

-ZCAF+ZBAO=90°fZAFC=ABAC,

/.ZACF=ZBAO.

在AACF和\ABO中,

'/AFC=ABAC

</ACF=/BAO,

AC=AB

:.MCF=NABO(AAS),

CF=OA=2fAF=OB=3,

，=3—2=1,

/.C(-2,-l)；

(2)證明：過點。作CGLZC交》軸于點G,

?(2)

:.ZACG=ZBAC=90°f

ZAGC+ZGAC=90°.

vZCAG+ZBAO=90°f

ZAGC=ZBAO.

vZADO+ZDAO=90°,ZDAO+ZBAO=90°,

ZADO=/BAO,

ZAGC=ZADO.

在A4CG和AABD中，

ZAGC=ZADO

<ZACG=ABAC,

AC=AB

:.\ACG=AABD(AAS),

CG=AD=CD,AG=BD,

-ZACB=ZABC=45°,

ZDCE=NGCE=45°,

在ADCE和\GCE中,

DC=GC

<ZDCE=ZGCE,

CE=CE

,匣)CE=NGCE0AS),

DE=GE,

BD=AG—AE+EG—AE+DE,

^BD=AE+DE；

(3)解：結(jié)論：BD=2(OA+OD).

理由如下：在05上截取O〃=OD,連接

CL^\E

圖(3)

由對稱性得AD=AH,ZADH=NAHD.

ZADH=ZBAO,

NBAO=ZAHD,

???即是/45C的平分線，

ZABO=ZEBO,

???NAOB=ZEOB=90°,

在\AOB和\EOB中,

AABO=/EBO

<OB—OB,

ZAOB=ZEOB

\AOBtAEOB(ASA),

/.AB=EB,AO-EO，

ZBAO=NBEO,

ZAHD=ZADH=/BAO=ZBEO.

NAEC=ZBHA.

在NAEC和NBHA中,

NAEC=ZBHA

<ZCAE=NABO,

AC=AB

:.AACE=ABAH(AAS),

AE=BH=204,

DH=2OD,

:.BD=2(OA+OD).

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的

性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵.

17.(2021秋?瑞安市月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4-4,0),C(3,0),￡>(0,4),

/6，。。于點6,交y軸于點8.

(1)求證：\AOB=ADOC.

(2)點E在線段45上，作OF_LOE交于點尸，連結(jié)EP.

①若￡是的中點，求AOE》的面積.

②連結(jié)當(dāng)AZ5斯是以為腰的等腰三角形時，求B的長.

【考點】三角形綜合題

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出NA4O=/ODC,根據(jù)44s可證出A4O8=ADOC;

(2)①證明=廠(NS4),由全等三角形的性質(zhì)得出?！?。/，由勾股定理求出

CD=5,求出OE的長，由三角形面積公式可得出答案；

②分兩種情況：當(dāng)。￡月時，當(dāng)?！?跖時，由三角形的面積和勾股定理可求出答案.

【解答】(1)證明：???/(一4,0),C(3,0),2)(0,4),

OA=OD=4,

■：AGLCD,ODLAC,

NAOB=ZDOC=ZAGC=90°,

...ZBAO+ZACG=/ACG+ZODC=90°,

NBAO=NODC,

在A4O5和NDOC中，

ZBAO=ZODC

<ZAOB=/DOC,

OA=OD

:.AAOB=ADOC(ASA)；

(2)①解：vOE1OF,

即ZEOF=90°,

NAOE+ZEOB=ZEOB+/DOF=90°,

ZAOE=/DOF,

由(1)可知CM=OD,ZEAO=ZFDO,

\AOE=ADOF(ASA),

OE=OF,

?.?00=4,OC=3,

:.CD=yj0D2+OC2=V42+32=5,

,\OE=OF=-CD=-,

22

01八廠八廠15525

由22228

②解：當(dāng)Z)￡=D尸時，

OE=OF,OD=OD,

ADOE=NDOF(SSS),

ZDOF=ZDOE=45°,

:.OF平分ZCOD,

過點尸作W_LCO于點〃，F(xiàn)N1OD于■點、N,則&0=KV,

&-OD-FN04

S/^DOF_2_OD_4

S'COFIoc.PM℃3

2

S^DOF_DF_4

■方一家

當(dāng)=M時，則。G=FG.

?.-Si.X./Lci^nu=2-ACOD2=-AGCD,

ACOD7x428

z.AG=----------=------=——,

214

，DG=CD-CG=5——

55

4417

:.CF=CD-DG-FG=5=—.

555

綜合以上可得CF的長為"或”.

75

【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

18.(2021秋?諸暨市期中)【了解概念】

在凸四邊形中(內(nèi)角度數(shù)都小于180。)，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個內(nèi)角相等，則稱

該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個四邊形的鄰等邊.

【理解應(yīng)用】

(1)鄰等四邊形/3CD中，NN=30。，ZB=70°,則NC的度數(shù)=130。:

(2)如圖，四邊形48CD為鄰等四邊形，為鄰等邊，且乙4=/DPC,求證：AADP^ABPC;

【拓展提升】

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形NBCO的鄰等邊，且邊與x軸重合，己知

4(2,0),C(m,2^3),。(5,3人)，若在邊上使NDPC=NBAD的點尸有且只有1個，求

m的值.

C

D

ApB

【考點】相似形綜合題

【分析】（1）分三種情況考慮：①由8C為鄰等邊，②由ND為鄰等邊，③由CD為鄰等邊,

根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；

（3）分兩種情況：①若點2在點/右側(cè)，如圖1,過點。作DGLx軸于點G,過點C作

C7f_Lx軸于點〃，由48為鄰等邊，則有ND48=N/8C=ND尸C,可證人4。尸6.尸。，

可得32="，設(shè)點尸（%0）,由三角函數(shù)可求Z8/D=60。，可求3、C橫坐標(biāo)之差為2,

BCBP

3（機+2,0）,將/尸，BP,AD,BC,代入得：w2-（m+4）M+2（m+14）=0,由于在邊48

上使48C=/A4D的點尸有且只有1個，即上述方程有且只有1個實數(shù)根，運用根的判別

式即可求得答案；

②若點B在點/左側(cè)，如圖2,過點。作DGLx軸于點G,過點C作軸于點X,

根據(jù)A/tPQsASCP,可得迎=絲，同①方法即可求得答案.

BCBP

【解答】解：（1）①若為鄰等邊，貝!]/。=/8=70。，

ND=360°-ZA-ZB-ZC=190°

不為凸四邊形，所以舍去；

②若40為鄰等邊，則/。=44=30。，

ZC=360°-Z^-Z5-ZC=230°（舍）；

③若CQ為鄰等邊，則NC=N。，

ZC=ZD=（360°-ZA-ZB）^2=130°,

二.ZC=130°.

故答案為：130；

（2）證明：???四邊形/BCD為鄰等四邊形，45為鄰等邊，

/A=NB,

?.?/A=NDPC,

/A=NB=ZDPC,

?/+ZADP+ZAPD=180°,ZAPD+ZDPC+ABPC=180°,

ZADP=ZBPC,

AADP^ABPC；

(3)①若點B在點/右側(cè)，如圖1,過點。作。軸于點G,過點。作軸于點

H,

vAB為鄰等邊，

ABAD=NABC,

ZDPC=/BAD,

ABAD=/ABC=ZDPC,

???ABAD+NADP+ZAPD=180。，ZAPD+ZDPC+ZBPC=180。，

/ADP=ZBPC,

MDP^ABPC,

.AP_AD

"拓一而‘

設(shè)點尸(〃,0),

?.?4(2,0),。(5,3百)，

/.G(5,0),

:.DG=364G=3,

NDAG=60°,

ZDPC=/BAD=60°,

AD=

sinZDAGsin60°

由(2)知，NADPsNgpc,

/CBP=/PAD=60°，

'：C(m,25/3)，

CH=2y[3,

...BH=

tanZCBPtan60°sinZCBPsin60°

BP=m+2—n,AP=n—2,

..AP_AD

,前一而‘

n-2_6

..—f

4m+2-n

n2—(rn+4)n+2(m+14)=0,

???在邊45上使/。尸。=NA4。的點尸有且只有1個，即上述方程有且只有1個實數(shù)根，

/.△=[-(m+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4A/6,

???點8在點/右側(cè)，

/.m=4A/6；

②若點5在點4左側(cè)，如圖2,過點。作。G，工軸于點G,過點。作CH軸于點〃,

???4(2,0),。(5,3折,

ZDAG=60°,

NDAB=ZCBA=ZCPD=120°,

???ZDAB+NAPD+ZADP=180。，ZAPD+ZCPD+/CPB=180。，

ZADP=NCPB,

\APD^\BCP,

.AP_AD

"拓一而‘

由①得：8(冽+2,0),C(m,2V3),尸(%0),

AP=2—n,BP=n—m—2,AD=6，BC=4,

2-n_6

..--,

4n-m-2

n1—(m+4)n+2(m+14)=0，

???在邊45上使=的點尸有且只有1個，即上述方程有且只有1個實數(shù)根，

.?.△=[—(加+4)了—4x1x20+14)=0,

/.m=±4^/6,

???點5在點4左側(cè)，

m=-4A/6；

綜上所述，m=±4>/6.

【點評】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會驗證

新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一元二次方程根的判別式，利用相

似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵