2025年中考數(shù)學(xué)技巧專項(xiàng)突破：圓的綜合（27類題型）（解析版）

專題3-6圓的綜合（27類題型）

題型?解讀/

圓的綜合問題常用的規(guī)律方法

模塊一圓中常見輔助線

【題型1］遇到弦時(shí)

【題型2】遇到有直徑時(shí)

【題型3］遇到有切線時(shí)

【題型4】遇到兩相交切線時(shí)

【題型5】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

【題型6】遇到三角形的外接圓時(shí)

模塊二切線證明

類型1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直

【題型7】特殊角計(jì)算證垂直

【題型8】勾股定理逆定理證垂直

【題型9】通過平行線代換證垂直

【題型10】利用等角代換法證明垂直

【題型11】利用三角形全等證明垂直

類型2無公共點(diǎn)：作垂直，證半徑

【題型12】角平分線的性質(zhì)證半徑

【題型13］特殊角計(jì)算證垂直

模塊三圓中求線段長(zhǎng)度

【題型14］結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)

【題型15］結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng)

【題型16］結(jié)合相似求線段長(zhǎng)

【題型17］利用旋轉(zhuǎn)變換求線段長(zhǎng)

模塊四以圓為背景的陰影部分面積問題

【題型18】和差法（割補(bǔ)）

【題型19］拼接法（等積變形）

模塊五其它類型

【題型20】與圓錐的相關(guān)計(jì)算

【題型21］圓內(nèi)接四邊形

【題型22］圓與相似綜合1：等積式相關(guān)證明

【題型23］圓與相似綜合2:線段積問題

【題型24】圓中線段間的數(shù)量關(guān)系（和差倍分）

【題型25】選填壓軸以圓為背景的多結(jié)論判斷問題

【題型26】求圓周角的三角函數(shù)值

【題型27］圓中的翻折

MR/滿分?技巧/

圓的綜合問題常用的規(guī)律方法:

技法01:第一問?？伎键c(diǎn)——切線，對(duì)應(yīng)規(guī)律

①切線的判定：常用方法

有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！

無切點(diǎn)，作垂直，證半徑！

☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的，故有“想證_L,先找J_

②切線的性質(zhì)：常用方法T見切點(diǎn)，連半徑，得垂直！

因切線所得結(jié)論必為J_,故常以直角三角形來展開后續(xù)問題

技法02:考題常見結(jié)合考點(diǎn)

角平分線'

①知2得1：平行線知2得In常用于第1問關(guān)聯(lián)“切線”

等腰△

一△相似'

常因相似得對(duì)應(yīng)邊成比例

②三角形相似:/字、8字相似結(jié)合的可能性最大n

進(jìn)而求長(zhǎng)度

母子△相似

③三角函數(shù)：相似三角形與三角函數(shù)不分家，所以應(yīng)用方法類似;

特殊之處是：給三角函數(shù)，必“找"RtA

④特殊角及其轉(zhuǎn)化：

’15。T■推30。、75。、75。的等腰4

也回國(guó)有4，30。—推等邊△（圓心角為60。亦可得）

當(dāng)圓周角為V

45。.推等腰及△（圓心角為90。亦可得）

60。-＞推1:1：力型等腰△（圓心角為120。亦可得）

技法03:常見輔助線

①連半徑----有關(guān)切線時(shí)，連接的是過切點(diǎn)的半徑

②作弦心距——構(gòu)造RtZ\,進(jìn)而用知2得3

----或做兩條弦心距，構(gòu)造矩形或正方形

③連接弦——使直徑所對(duì)的圓周角=90°,進(jìn)而在Rt△中展開問題

技法04:圓中等積式證明(三角形相似)

圓中的等積式證明主要有下面幾種形式：

(1)BEEF=DE-AE

(2)CF~=CGCE

(3)CE2=kDEBO

(4)MN-MC=a(證a為定值)

BEAECFCE

其中第(1)(2)的形式屬最簡(jiǎn)單的形式，只需要將線段乘積寫成比例的形式(----=,=)

DEEFCGCF

然后找到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形相似即可，稍復(fù)雜的題目還會(huì)有將等積式中的線段替換為其他相等的線

段情況;

第(3)種形式和第(2)種類似，建議先寫成線段比例的形式，然后再考慮數(shù)字的歸屬問題，將系

數(shù)分配給某一線段；

MN()

第(4)種情況難度最大，題目中只給兩條線段，另外兩條需要自己找，建議寫成(-=布的形式,

括號(hào)內(nèi)的一般填入的是題中可求值的線段，再根據(jù)題中條件具體分析即可。

【圓中的相似模型】

(1)圓周角定理推論(直徑所對(duì)圓周角為90。;同弧所對(duì)圓周角相等)

(2)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)(通常是圓內(nèi)外兩個(gè)三角形相似)

(3)已知線段比例關(guān)系，利用公共角及兩邊對(duì)應(yīng)成比例證相似

技法05:求陰影部分面積

求陰影部分面積主要有2種形式：①割補(bǔ)法，②等級(jí)變形(拼接)

核心?題型/

模塊一圓中常見輔助線

【題型1］遇到弦時(shí)

處理方式：常添加弦心距

1.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，如

圖1.唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道“水能利物，輪乃曲成”.如圖2,己知圓心。在水面上方,

且。。被水面截得弦4B長(zhǎng)為8米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦4B所在直線的距離

是2,則。。的半徑長(zhǎng)為米.

RII

【答案】5

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直

角三角形解決問題.連接。C交力B于點(diǎn)￡.利用垂徑定理得ZE=4,再利用勾股定理即可求出半徑.

【詳解】解：連接。C交4B于點(diǎn)E.設(shè)。4=。。=r,

由題意0C1AB,

：.AE=BE=^AB=4(米),

VCE=2,

：.0E=r-2,

在Rt△AEO中，r2=42+(r—2)2,

.?.丁=5米，

故答案為：5.

2.如圖，O。的半徑為10V2,弦力B的長(zhǎng)為16vLp是弦力B上一動(dòng)點(diǎn)，則線段0P長(zhǎng)的最小值為（）

【答案】D

【分析】過O點(diǎn)作。H1AB于連接。B,如圖，根據(jù)垂徑定理得到4"==8,再利用勾股定

理計(jì)算出。然后根據(jù)垂線段最短求解.

【詳解】解：過。點(diǎn)作OH_L48于〃，連接。B,如圖，

在Rt△BOH中，?？?VOS2-BH2=J（1OV2）2-（8V2）2=6五,

二線段。P長(zhǎng)的最小值為6V2.

3.（2022?安徽中考）已知。。的半徑為7,48是。O的弦，點(diǎn)尸在弦48上.若巴4=4,尸2=6,

則OP=（）

A.V14B.4C.V23D.5

【答案】D

【分析】連接CM,過點(diǎn)。作OCL/B于點(diǎn)C,如圖所示，先利用垂徑定理求得NC=3C=；/8=5,

然后在中求得℃=2幾，再在放APOC中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接04,過點(diǎn)。作OC_L43于點(diǎn)C,如圖所示，

則NC=8C=g/8,CM=7,

"PA=A,PB=6,

Z8=P/+P8=4+6=10,

/.AC=BC=^AB=5,

2

：.PC^AC-PA=5-4=\,

在RtAAOC中，QC=yjoA2-AC2=A/72-52=2屈，

在RtNPOC中，OP=A/(9C2+PC2=J(2網(wǎng)2+F=5,

故選：D

4.如圖，4B是。。的直徑，弦CD交力B于點(diǎn)P,N4PC=30。，點(diǎn)P是。力的中點(diǎn)，且ZP=2,則

【分析】本題主要考查了圓的垂徑定理，勾股定理和含30。角的直角三角形的性質(zhì).如圖，作。H_LCD

于H,連接。C,根據(jù)垂徑定理得HC=HD,由題意得OP=2,。4=4,在RtAOPH中，根據(jù)含30。

的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出。"=OP=1,然后在RtAOHC中，利用勾股定理計(jì)算得到C"=小，

即CD=2CH=2位.解此題的關(guān)鍵在于作輔助線得到直角三角形，再合理利用各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.

:.HC=HD,則CD=2CH,

?：AP=2,點(diǎn)P是。4的中點(diǎn)，

：.AP=OP=2,則。4=。3=4,

：.AB=8,則。C=4,

VOW1CD,^APC=30°,則NOPH=30°,

1

：.OH=-OP=1,

2，

在RtAOHC中，

VOC=4,OH=1,

/.CH=VOC2-OH2=V15,

ACD=2CH=2V15

5.已知。。的半徑是5cm,弦48||CD,AB=6cm,CD=8cm,貝與CD的距離是（）

A.7cmB.7cni或lcmC.5cm或2cmD.lcm

【答案】B

【分析】有兩種情況，需分類討論，即力B,CD在圓心。的同側(cè)或兩側(cè)兩種情況.

【詳解】解：如圖①，過。作。FJ.4B于F交CD于E,連接04，0C,

???AB||CD,

0E±CD;

由垂徑定理得4F=FB=^AB=3,CE=DE=；CD=4,

OF=VOX2-AF2=4,OE=VOC2-CE2=3,

①

如圖②，過。作。于F交。。于E,連接。4,0C,

-AB||CD,

???OE1CD;

同理可得。F=4cm,OE=3cm,

當(dāng)49,CO在圓心。的兩側(cè)時(shí)，

EF=OF+OE=7（cm）,

AB與CD的距離為7cm或lcm.

故選B.

6.如圖，已知。。的直徑為26,弦ZB=24,動(dòng)點(diǎn)P、Q在。。上，弦PQ=10,若點(diǎn)M、N分別是

弦ZB、PQ的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）

A.7<MN<17B.14WMNW34C.7<MN<17D.6<MN<16

【答案】A

【分析】連接。M、ON、。力、OP,由垂徑定理得到，。M_L48,ON1PQ,AM=^AB=12,PN=gPQ=

5,由勾股定理得到。M=5,ON=12,當(dāng)4BIIPQ時(shí)，M、O、N三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)48、PQ位于點(diǎn)。

的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短，當(dāng)4B、PQ位于點(diǎn)。的兩側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，分別求解即

可.

【詳解】解：連接。M、ON、。4OP,如圖所示，

■,?O。的直徑為26,

:.OA=OP=13,

■:點(diǎn)M、N分別是弦力B、PQ的中點(diǎn)，AB=24,PQ=10,

:.OMLAB,ON1PQ,力M=[AB=12,PN=*Q=5,

.■.OM=V132-122=5,ON=V132-52=12,

當(dāng)4BIIPQ時(shí)，M.O、N三點(diǎn)共線，

當(dāng)月B、PQ位于點(diǎn)。的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短=OM—ON=12—5=7,

當(dāng)4B、PQ位于點(diǎn)。的兩側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)=OM+ON=12+5=17,

二線段MN的長(zhǎng)度的取值范圍是7<MN<17

【題型2】遇到直徑時(shí)

處理方式：常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直南三角形。

7.如圖，在△ABC^,AB=AC,NC=70°,以4B為直徑的。。交BC于點(diǎn)，則BD的度數(shù)為

【分析】連接4。，OD,根據(jù)4。是o。的直徑，可得乙408=90。，再根據(jù)NC=70。，可

得NB的值，然后求得Z￡MB,從而求出ADOB即可.本題考察圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確添加輔

助線，并熟知一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半.

【詳解】解：連接AD,OD,如圖所示：

是。。的直徑，

：.^ADB=90°,

"：AB=AC,ZC=70°,

:.乙B="=70°,

"DAB=20°,

:.乙DOB=40°,

麗的度數(shù)為40°.

8.如圖，點(diǎn)力、B、C、。均在O0上，AB為直徑,BC=CD.若=50。，求NB的度數(shù).

【答案】乙B=65°

［分析］本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，弦與圓周角的關(guān)系；根據(jù)已知可得ABAC=I乙BAD=

25°,根據(jù)48為直徑，可得乙4cB=90。，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖，連接4C.

'：BC=CD,ABAD=50°,

：.^BAC^-Z.BAD=25。，

???/8為直徑，

：.^ACB=90°,

AZB=90°-ABAC=90°-25°=65°.

9.如圖，在△48。中，AB=AD,以A8為直徑作。。，交線段BD于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CF1AD于點(diǎn)E.

(1)求證：CF是。。的切線.

(2)當(dāng)乙D=30°,CE=舊時(shí)，求應(yīng)1的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)|兀

【分析】(1)連接。C,根據(jù)等邊對(duì)等角得出NB=N。，再結(jié)合圓的基本性質(zhì)得NO=NOCB,從而得

到。CIIAD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)連接力C,由等腰三角形的性質(zhì)得CD=2CE=2百，NB=ZD=3O。，再根據(jù)圓周角定理得出

^AOC=2ZB=60°,設(shè)力C=x,根據(jù)勾股定理求出半徑，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

CF1AD,

：.ACED=90°,

"：AB=AD,

:,乙B=Z.D,

?：OB=OC,

Z-B=(OCB,

Z.D=Z.OCB,

：.OC||AD,

：./-OCE=乙CED=90°,

：.OClCFf

又?.?OC為。。的半徑，

???CF是。。的切線；

(2)解：如圖，連接ZC,

VCF1.AD,ND=30。，CE=V3,

ACD=2CE=2V3,

??ZB為直徑，

：.AC1BD,

5LU：AB=AD,

：.BC=DC=2V3,LB=LD=30°,

???乙4。。=248=60。，

??,在RMZBC中，43=30。，

：.AB=2AC,

設(shè)ZC=x,則48=2%,

由勾股定理，^AB2=AC2+BC2,即（2x）2=/+（2遮），

解得x=2或x=—2（舍去），

：.AC=2,

：.AB=4,

AOA=2,

【題型3］遇到有切線時(shí)

處理方式：添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）

10.如圖，CD切。。于2,若NC=30。，則N4BD的度數(shù)是

【答案】60°

【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，連接。B,由切線的性質(zhì)知△OBC是直角三角形，可求出NCOB的

度數(shù)，由于NC08是等腰△AOB的夕卜角，由此可求出N0B4的度數(shù)，已知NOB力和44BD互余，即可得

解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)及其應(yīng)用.

【詳解】如圖，連接。B,

:CD與。。相切于8,

：.^OBC=90°;

在RtACOB中,乙C=30°,

:?乙COB=9O°-ZC=60°,

VOA=OB,

：.^0BA=Z.0AB=-/.COB=30°,

2

：.^ABD=90°-乙OBA=60°

11.如圖，在o。中，AB切。。于點(diǎn)4連接。B交。。于點(diǎn)C.過點(diǎn)4作力DII0B交。。于點(diǎn)D,連接

A.21°B.24°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理.連接04,

如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到N04B=90。，則利用互余可計(jì)算出乙4。8=42。，再利用圓周角定理得

到N4DC=21°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N0CD的度數(shù).

【詳解】解：連接。力，如圖，

???4B切。。于點(diǎn)力，

???OA1AB,

???^OAB=90°,

1.,Z.B=48°,

.-.Z.AOB=90°-48°=42°,

.-.Z.ADC^-/.AOB=21。，

-AD||OB,

???2L0CD=AADC=21°.

12.如圖，半圓。。的圓心在BC上，力C、分別與。。相切于點(diǎn)C、D,半圓。。交BC于另一點(diǎn)E.連

接困A0,求證：DE||A0.

【答案】見解析

【分析】本題考查圓的切線的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接證明出

乙40C=ZDE。或乙4。。=NODE即可利用同位角相等，兩直線平行，或內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證

明出結(jié)論

【詳解】連接0D,

AC,4B分別為。。的切線，

'.AC=AD,/.OCA=^ODA=90°,

在Rt△。4C和Rt△OAD中，

(OA=OA

VAC=AD'

：.RtAOACmRt△OAD(HL),

：.Z.AOC=Z.AOD,

；OD=OE,

:."DE=乙OED,

:4COD=乙ODE+乙OED,

：.^AOC=AOED,

：.DE||AO

【題型4】遇到兩相交切線時(shí)

處理方式：常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)（切線長(zhǎng)定理）

13.如圖，PA,PB分別與。。相切于點(diǎn)4、B,連接力B.若力B=PB,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)（異于4、B）,

則"CB=度.

【答案】60?；?20°

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)及圓周南定理，分當(dāng)點(diǎn)C在劣弧力B上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧力B上時(shí)兩種

情況進(jìn)行討論，根據(jù)圓周角定理計(jì)算乙4cB的度數(shù)，掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：②當(dāng)點(diǎn)C在劣弧48上時(shí)，如圖所示，連接。4、OB,

,：PA.PB分別與。。相切于4、B兩點(diǎn),

：.OA1PA,OB1PB,PA=PB,

：.^OAP=乙OBP=90°,

'：AB=PB,

：.PA=PB=AB,

."P=60°,

：.^AOB=180°一乙P=180°-60°=120°,

J.Z.ACB=g(360。—120°)=1x240°=120°；

②當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧上時(shí)，如圖所示，連接。力，OB,同②可得NP=60。，^AOB=120°,

故答案為：60°或120°.

14.如圖，從點(diǎn)P向。。引兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,8,作直徑BC,連接AC,若NP=60°,PB=2,

則AC=

p

【分析】根據(jù)PA、PB是切線，4P=60°,判斷出AABP是正三角形，根據(jù)CB1BP,判斷出NCBP=

90°,進(jìn)而得出乙4BC=30°,再利用勾股定理求出4c的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，連接48,

PA,PB是O。的切線，

:.乙OBP=90°,PA=PB,

又；乙P=60°,

.?.△4PB是等邊三角形，

???AB=PB=2,乙PBA=60°,

???Z4BC=30°,

???BC是。。的直徑，

:.乙BAC=90°,

■.AC^^BC,

設(shè)4C=%(%>0),則BC=2x,

222

vAC+AB=BCf

x2+22=(2%)2,

.?.X=—2V3,

即ac的長(zhǎng)度為苑.

3

15.如圖，PZ、尸8是。。的切線，兒B為切點(diǎn),2LOAB=30°.

A

⑴求乙4PB的度數(shù)；

(2)當(dāng)月P=3時(shí)，求。。的半徑.

【答案】⑴乙4PB=60°;

(2)0。的半徑為百.

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角可得4。48=/。84=30。，根據(jù)圓切線的性質(zhì)可得NP4。=

APB0=90°,從而得到NP4B=NPB4=60。，求得△P力B是等邊三角形，據(jù)此求解即可；

(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到乙4P。=NBP。=30°,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理

計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：=OB,

：./.OAB=Z.OBA=30。，

'：PA,PB是。。的切線，

."P力。=乙PBO=90°,

：.^PAB=APBA=60°,

...△P4B是等邊三角形，

C.^APB=60°;

(2)解：連接OP,

"：PA,PB是。。的切線,

，OP平分乙4PB,

：.^APO=乙BPO=30°,

：.OP=2OA,

'：AP=3,OP2=OA2+AP2,

：.(20A)2=OA2+32,

AOA=V3,

...O。的半徑為四.

【題型5】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

處理方式：連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得①內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線;

②內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。

16.（2023?湖北天門中考）如圖，在“8C中，ZACB=70°,△4BC的內(nèi)切圓。。與ZB8c分別

相切于點(diǎn)。，E,連接。E,/。的延長(zhǎng)線交?！暧邳c(diǎn)尸，則//陽(yáng)=.

C

【答案】35°

【分析】如圖所示，連接?！?OD,OB,設(shè)OB、DE交于H,由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定

理求出//。3=125°,再由切線長(zhǎng)定理得到,進(jìn)而推出08是。E的垂直平分線，即

ZOHF=90°,則/4FD=/4OH-/OHF=35。.

【詳解】解：如圖所示，連接OE,OD,OB,設(shè)08、DE交于H,

'：QO是^ABC的內(nèi)切圓，

OA.分別是NG4B、NCR4的角平分線，

ZOAB=-Z.CAB,AOBA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

ZCAB+ZCBA=180°-Z^CS=110°,

ZOAB+ZOBA=-Z.CBA+-ZCAB=55°,

22

ZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=125°,

；OO與AB,BC分別相切于點(diǎn)D,E,

：.BD=BE,

又：OD=OE,

.?.08是。E的垂直平分線，

：.OBLDE,即NO"/=90。，

AAFD=ZAOH-ZOHF=35°,

故答案為：35°.

17.如圖，在一張Rt△4BC紙片中，乙4cB=90。，BC=5,AC=12,。。是它的內(nèi)切圓.小明用

剪刀沿著。。的切線DE剪下一塊三角形力DE,則△力DE的周長(zhǎng)為（）

A.19B.17C.22D.20

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線

的性質(zhì).設(shè)△力BC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F,H,G,連接。F,OH,OG,得四邊形。HCG是正方形，由

切線長(zhǎng)定理可知4F=AG,根據(jù)DE是。。的切線，可得MD=MF,EM=EG,根據(jù)勾股定理可得48=

13,再求出內(nèi)切圓的半徑：Q4C+BC—4B）=2,進(jìn)而可得AADE的周長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F、H、G,連接OF、OH、OG,

...四邊形。HCG是正方形，

由切線長(zhǎng)定理可知4F=AG,

「DE是。。的切線，

：.MD=DF,EM=EG,

"：^ACB=90°,BC=5,AC=12,

：.AB=yjAC2+BC2=13,

：o。是△ABC的內(nèi)切圓，

1

內(nèi)切圓的半徑+=2,

ACG=2,

：.AG=AC-CG=12-2=10,

：.AF=AG=10,

???ZL40E的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=10+10=20.

18.已知：如圖，。。是At△48。的內(nèi)切圓，ZC=9O°.若AC=12CTH,BC=9cm,求。。的半徑

r；若AC=b,BC=a,AB—c,求。。的半徑r.

【答案】r=3;r=|(a+b—c)

【分析】連接。D,OF,證明四邊形。FCD是正方形，由切線長(zhǎng)定理得：AD=AE,CD=CF,BE=BF,

求出r=CD=CF=g(4C+8C—48),然后可得答案.

【詳解】解：在Rt△力BC,NC=90°,AC=12cm,BC=9cm,

根據(jù)勾股定理得：AB='AC?+BC2="22+92=15cm;

連接。D,OF,

'：o。是Rt△ABC^J內(nèi)切圓，

:.“DC=乙OFC=90°,

在四邊形。FC。中，OD=OF,4ODC=4OFC=KC=9?！?

...四邊形。FCD是正方形；

：.0D=CD,

由切線長(zhǎng)定理得：AD=AE,CD=CF,BE=BF,

則CD=CF=^AC+BC-AB),

，r=：x(12+9-15)=3,

若力C=b,BC-a,AB=c,

由以上可得：r=1(a+b—c).

【題型6】遇到三角形的外接圓時(shí)

處理方式：連結(jié)外心和各頂點(diǎn)

作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等(角平分線交點(diǎn))

19.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，AB=AC,連接40.

⑴求證：AO1BC；

(2)若。A=5,BC=8,求AB的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)475

【分析】(1)如圖，連接。8、0C,由△ABC內(nèi)接于。。，可知。A=OB=OC,進(jìn)而可知4。是線段BC

的垂直平分線，進(jìn)而結(jié)論得證；

(2)如圖2,延長(zhǎng)力。交BC于D,由(1)知，AD1BC,OB=OA=5,由垂徑定理可得，BD=^BC=4,

由勾股定理得，0D='OB2一BD2=3,則力。=8,由勾股定理得，AB=y/AD2+BD2,計(jì)算求解

即可.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接。8、0C,

圖I

?.?△ABC內(nèi)接于。。，

AOA=0B=0C,

"：AB=AC,

到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上,

；.力。是線段BC的垂直平分線，

：.A01BC-,

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)4。交BC于D,

圖2

由(1)知，AD1BC,。8=。4=5,

由垂徑定理可得，BD=；-1BC=4,

由勾股定理得，0D=VOB2-BD2=3,

：.AD=8,

由勾股定理得，AB=<AD2+BD2=4V5,

.?.4B的長(zhǎng)為4V5.

20.如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長(zhǎng)為80CM,腰長(zhǎng)為50cm.

(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：

(2)用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少cm?

(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離.

【答案】喈cm

(2)40cm

(3)25cm

【分析】(1)由于三角形ABC是等腰三角形，過力作4D1BC于D,根據(jù)勾股定理得到力D=30,又從

這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)內(nèi)切圓的圓心的性質(zhì)知道其圓心在力。上，分別

連接力。、BO,CO,然后利用三角形的面積公式即可求解；

(2)由于一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個(gè)圓是三個(gè)三角形的外接圓，設(shè)覆蓋圓的半徑為R,根據(jù)

垂徑定理和勾股定理即可求解

⑶根據(jù)⑴和⑵再利用線段之間的等量關(guān)系即可求得.

【詳解】(1)解：如圖，過4作于D

AB=AC=50,BC=80

根據(jù)等腰三角形和圓的對(duì)稱性可得：4、。、。三點(diǎn)共線

：.BD=CD=40,

：-AD=y/AB2-BD2=30

設(shè)最大圓半徑為T,

則SfBC=S^ABO+S^BOC+S.。。，

11

**.S>ABC=5xBCxAD="(<AB+BC4-CA}T

80x30=^(50+80+50)r

解得：r=與cm;

(2)設(shè)覆蓋圓的半徑為R,圓心為。'，

「△ABC是等腰三角形，過力作4DJ.BC于D,

：.BD=CD=40,AD=V502-402=30,

二?！?。直線上，連接。￡,

在Rt△。力C中，

2

由R2=40+(R-30)2,

.?.R=竽；

若以BD長(zhǎng)為半徑為40cni,也可以覆蓋，

最小為40cm.

(3)如圖，。。'即為內(nèi)心與外心的距離.

。。'=4。—。=苧*=25cm,

故這個(gè)等腰三角形的內(nèi)心與外心的距離為25cm.

模塊二切線證明

根據(jù)條件確定是否有明確交點(diǎn)

根據(jù)有無交點(diǎn)作出相應(yīng)的輔助線

解題模板：

利用切線的判定方法進(jìn)行證明

推導(dǎo)證明

類型1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直

【題型7】特殊角計(jì)算證垂直

21.如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，AC=CD=DB,DELAC.

求證：是。。的切線.

A

11

【分析】連接0D,根據(jù)已知條件得到NBOD=jx180°=60°,求得NE4D=4DAB=j^BOD=30°,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NADO=NDAB=30°,求得NEZX4=60。，根據(jù)切線的判定定理即可得

到結(jié)論.

【解答】證明：連接。。，

"：AC=CD=DB,

1

:,乙BOD=^義180°=60°,

,:麗=DB,

1

：.￡.EAD=乙DAB=RBOD=30°,

9

：OA=ODf

：.ZADO=ZDAB=30°,

9：DE1.AC,

AZE=90°,

：?NEAD+NEDA=90。,

：.^EDA=60°f

：.NEDO=NED4+N4DO=90。,

IODIDE,

???。。是。。的半徑，

:?DE是OO的切線.

22.如圖，4C是。。的直徑，5在。。上，BD平分NABC交OO于點(diǎn)、D,過點(diǎn)。作QE〃/。交

BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

求證：?！晔?。。的切線.

【分析】連接。，根據(jù)圓周角定理的推論得到N4?C=90。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NQ5E=45。,

根據(jù)圓周角定理得到N。。。，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N8￡=90。，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論;

【解答】證明：連接。。，

??ZC是。。的直徑，

???ZABC=90°f

:BD平分N4BC,

；?NDBE=45。,

：.NDOC=2NDBE=90。,

9：DE//AC,

：?/ODE=NDOC=9。。,

：.DE是OO的切線；

23.如圖，在。。中，A8為OO的直徑，4c為弦,0C=4,

ZOAC=60°.

（1）求//O。的度數(shù)；

（2）在圖（1）中，尸為直徑氏4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且SAP4c=4四，求證：尸。為。。的切線;

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形中有一角為60度時(shí)是等邊三角形得到A/C。是等邊三角形，則N/OC

=60°;

（2）由等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出CD的長(zhǎng)，再利用三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的

性質(zhì)得出NPd=30°,進(jìn)而得出答案；

【解答】（1）解：在ACMC中，

?.Q=OC=4,NCMC=60°,

...△GUC是等邊三角形，

N4OC=60°;

（2）證明：過點(diǎn)C作CD_LN。于點(diǎn)，

「△/OC是等邊三角形，CD-LAO,

1

：.AD=DO=^OA=2,ZACO=60°,

??CD=VOC2—OD2=V42-22=2V3,

,?'S△切°=4\氏

1

???一E4?CQ=4H,

2

：.PA=A,

：.PA=AC,

1

NP=NPCA=*NO4C=30。，

JNPCO=ZPCA+ZACO=30°+60°=90°,

???OC-LPC,

???OC是。。的半徑，

???尸。為。。的切線.

c

DO

24.已知：在O。中，力B是O。的直徑，AC是弦，ND=60。，點(diǎn)P是力B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP=AC.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若P8=*,求。。的直徑.

【答案】(1)見解析

(2)275

【分析】(1)連接。C,BC,根據(jù)圓周角定理得到乙4BC=60。，乙4cB=90。，從而得到4a4c=30。,

再根據(jù)等邊對(duì)等角得到NP=4BAC=30。，推出乙4cp=120。，利用半徑相等證明=30。，從

而可得NOCP=90°,即可證明結(jié)論；

(2)證明BP=BC,得到NBCP,根據(jù)NOCP的度數(shù)求出NOCB,再證明△OCB是等邊三角形，得到。B

的長(zhǎng)，可得直徑.

【詳解】(1)解：連接。C,BC,

：.^ABC=60°,

：力8是直徑，

C.^ACB=90°,

：.^BAC=30°,

'：AC=CP,

：.LP=Z.BAC=30°,

J./.ACP=120°,

VOA=OC,

J./.OAC=/.OCA=30°,

J.Z.OCP=90°,即PC是。。的切線;

(2)YOC=OB,

：.AOCB=乙OBC=60°,

:.乙BCP=30°=",

:.BP=FC=V5,

'：OC=OB,A.OBC=60°,

；.△OBC是等邊三角形，

：.OB=BC=BP=底

.??O。的直徑為2代.

【題型8】勾股定理逆定理證垂直

25.如圖，C是。O上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長(zhǎng)線上，。。的半徑為6,PB=4,PC=8.求證:

PC是。O的切線；

【分析】可以證明OC2+PC2=OP2得AOCP是直角三角形，即OC_LPC,PC是。0的切線;

【解答】解：如圖，連接OC、BC,

:。O的半徑為6,PB=4,PC=8.

/.OC=OB=6,OP=OB+BP=6+4=10,

.".OC2+PC2=62+82=100,OP2=102=100,

.,.OC2+PC2=OP2,

AOCP是直角三角形，

.,.OC±PC,

/.PC是。o的切線

26.如圖，。是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。在直徑力B的延長(zhǎng)線上，。。的半徑為6,DB=4,DC=8.求證:

DC是O。的切線.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了切線的判定定理，勾股定理的逆定理，連接。C,根據(jù)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，證明出

來△OCD為直角三角形，即。C1CD,掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：連接。C,如圖所示：

：。。的半徑為6,

0C=0B=6,

"DB=4,

：.0D=OB+DB=6+4=10,

'：DC=8,

：.0C2+DC2=OD2,

；.△OCD為直角三角形，

：.0C1CD,

是。。的切線.

27.如圖，AD,BD是。。的弦，AD1BD,且BD=2AD=8，點(diǎn)C是BD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD=2,

求證：AC是。。的切線.

【分析】先由勾股定理的逆定理證明垂直，再由切線的判斷進(jìn)行解答即可.

【解答】證明:連接AB,

VAD±BD,且BD=2AD=8,

AAB為直徑,AB2=82+42=80,

VCD=2,AD=4,

AAC2=22+42=20,

CD=2,BD=8,

.*.BC=102=100,

.".AC2+AB2=CB2,

AZBAC=90°,

AAC是。。的切線

28.如圖，AD,AD是。。的弦，ADLBD,且AD=2/D=8,點(diǎn)C是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD

=2,求證：/C是。。的切線.

【分析】先根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，再利用勾股定理計(jì)算出/2、AC,接著利用勾股

定理的逆定理證明△/3C為直角三角形，N3/C=90°,所以然后根據(jù)切線的判定定理得

到結(jié)論.

【解答】證明：

NADB=90。,

:.AB為?0的直徑，

,:BD=2AD=8,

：.AD=4,

在RtAADB中,AB2=AD1+BD2=42+82=80,

在ViLADC中，AC^^AD^+CD1=42+22=20,

'：BC2=（2+8）2=10,

:.AC2+AB2=BC2,

...△/8C為直角三角形，NBAC=90°,

：.AC.LAB,

；AB為直徑，

二/C是的切線.

【題型91通過平行線代換證垂直

29.己知：48是。。的直徑，AD是。。的弦，延長(zhǎng)3。到點(diǎn)C,使連結(jié)/C,過點(diǎn)。作

DELAC,垂足為E.求證：為。。的切線.

CD^~-----f

【分析】連接?！辏?根據(jù)。4=。2,CD=BD,得出OD〃ZC,NODE=NCED,再根據(jù)OE_L/C,

即可證出ODLDE,從而得出答案.

【解答】證明：如圖，連接?！?gt;.

CDB

是。。的直徑，

NADB=90°,

;AB=AC,

:.CD=BD,

?：OA=OB,

：.OD//AC.

：.NODE=NCED.

"DE^-AC,

NCEO=90。.

ZODE=90°,

：.OD±DE,

,：OD是。。的半徑,

:.DE是?O的切線.

30.如圖，四邊形48CD內(nèi)接于。。,48為。O的直徑，過點(diǎn)C作CE_LAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)EC,4B交于點(diǎn)F,ZECD=ZBCF.

求證：CE為。。的切線；

【分析】連接OC,BD,可推出既〃3D,進(jìn)而可證前=就，進(jìn)而得出CE為。。的切線;

【解答】證明：如圖1,

圖1

連接OC,BD,

\'AB是。。的直徑，

NADB=90°,

；CELAE,

：.NE=90°,

：.NE=NADB,

：.EF//BD,

：.ZECD=ZCDB,ZBCF=ZCBD,

NECD=NBCF,

：.NCDB=NCBD,

：.CD=BC,

半徑OC-LEF,

:.CE為0)0的切線

31.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作DE1AC于點(diǎn)

E.

\H

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若NC4B=120。，。。的半徑等于5,求線段DE的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

⑵DE=|百

【分析】本題考查了切線的判定、等腰三角形三線合一、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，

解題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線.

(1)連接。。、AD.由直徑AB可知4B￡M=Z_C￡M=90°,再由AB=4C可知BD=CD,再結(jié)合。4=。8

可知。。是△力BC的中位線，則。D||AC,X￡)F1AC,因此NODE=NCED=90°,故可證DE是切線.

(2)由已知條件可知4B=10,由等腰三角形△ABC三線合一可知NC4D=ABAD=60°,解RtA/WB

可得BD=CD=5V3,最后解含30。的RtACDE可得DE==|V3.

【詳解】(1)解：如下圖所示，連接。。、AD.

是直徑，

：.^BDA^CDA=90°,

5L-：AB^AC,

：.BD=CD,

,：OA=OB,

，。￡)是△力BC的中位線，

：.OD||AC,

?：DE1AC,

"ODE=乙CED=90°,

；.DE是。。的切線；

(2);。。半徑是5,

：.AB=10,

ABC是等腰三角形，SLAD1BC,Z.CAB=120°,

：.ACAD=ABAD=60°,zC=AABD=30°,

.?.在Rt△ADB中，AD=^AB=5,CD=BD=y/AB2-AD2=5侃

?.?在RtACDE中，ZC=30°,

.\DE=-CD=-s/3.

22

【題型101利用等角代換法證明垂直

32.如圖，48是0O的直徑，點(diǎn)。在直徑4B上（。與/,3不重合），CDLAB,且CD=/8,連

接C2,與。。交于點(diǎn)凡在CD上取一點(diǎn)E,使得跖=EC.

求證：M是。。的切線；

【分析】連接OF,根據(jù)垂直定義可得NCDB=90°,從而可得NB+NC=90°,然后利用等腰三角形

的性質(zhì)可得NB=NOFB,NC=NEFC,從而可得NOFB+NEFC=90°,最后利用平角定義可得N

OFE=90°,即可解答；

【解答】證明：連接OF,

ZCDB=90°,

NB+NC=90°,

：OB=OF,EF=EC,

NB=NOFB,NC=NEFC,

NOFB+NEFC=90°,

AZOFE=180°-(ZOFB+ZEFC)=90。，

VOF是。O的半徑，

AEF是。O的切線

33.如圖，力B是O。的弦，ODL0B,交AB于E,且AD=ED,求證：力。是。。的切線.

B

【答案】見解析

【分析】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)。。_L0B可得+=90。，根據(jù)

等邊對(duì)等角，可得N0BE=404E,^AED=2LEAD,結(jié)合對(duì)頂角相等，通過等量代換可得404E+

/-EAD=4。40=90°,即可證明40是。。的切線.

【詳解】證明：如圖，連接。4

0A=OB,AD=ED,

???Z-0BE=Z-0AE,Z.AED=Z.EAD,

???乙0EB=Z-AED,

Z.0EB=Z-EAD,

v0D10B,

???(BOE=90°,

???乙OBE+乙OEB=90。，

??.AOAE+^EAD=90°,

??.Z.OAD=90°,

又??,。4是。。的半徑，

???AD是。。的切線.

34.如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，點(diǎn)。在力C邊上，以AD為直徑作O。交于點(diǎn)E,連接CE,

且CB=CE.求證：CE是。。的切線.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)，連接。E、DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

和直徑所對(duì)圓周角是直角得NOEC=90。，即可得到結(jié)論，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：如圖，連接。E、DE,

???乙4+48=90°,

???4）是0。的直徑，

：.^AED=乙DEB=90°,

工乙DEC+乙CEB=90。，

VCE=BC,

:,乙B=Z.CEB,

."DEC+ZLB=90°,

Z-A=乙DEC,

9：OE=OD,

：.Z.OED=“DE,

???乙4+乙4OE=90。，

：.￡.DEC+/-OED=90°,

即NOEC=90°,

：.OE1CE,

TOE是。。的半徑，

二?CE是。。的切線.

35.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，CDL/3于點(diǎn)。，點(diǎn)E是圓外一點(diǎn)，C4平分N

ECD.求證：CE是。。的切線.

【分析】利用切線的