2025年中考數(shù)學復(fù)習之實數(shù)（原卷版）

專題02實數(shù)

【專題目錄】

技巧1:實數(shù)大小比較的七種技巧

技巧2：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

技巧3：非負數(shù)應(yīng)用的常見題型

【題型】一、求算術(shù)平方根【題型】二、求平方根

【題型】三、求立方根【題型】四、實數(shù)與數(shù)軸

【題型】五、實數(shù)比較大小

【題型】六、無理數(shù)的估值

【題型】七、非負數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

【題型】八、實數(shù)的運算

【考綱要求】

1、知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).

2、了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.

3、熟練掌握實數(shù)的運算，會用各種方法比較兩個實數(shù)的大小.

【考點總結(jié)】一、實數(shù)的分類

有理數(shù)整數(shù)

實分數(shù)

按定義分

數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)

的負無理數(shù)

分正實數(shù)

類按正負分0

負實數(shù)

【考點總結(jié)】二、平方根、算術(shù)平方根、立方根

無理數(shù)無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)

①如果一個數(shù)的平方等于°,那么這個數(shù)叫做。的平方根，記作土

實平方根

②性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.

數(shù)

①如果一個正數(shù)的平方等于4,即7=4,那么這個數(shù)％叫做〃的算術(shù)平方根，

的

記作4a.

相算術(shù)平方根

關(guān)②非負性：>0),=同

概

①如果一個數(shù)的立方等于那么這個數(shù)就叫做a的立方根，記作后.

念

立方根②性質(zhì)：正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根.

(3)Vfl3=a\[--a--\[a

零指數(shù)，負=l(aw0).a~n——(aw0)

'an

指數(shù)幕

1.常見的三種非負數(shù)：|a|>0,a2>0,7壯0(壯0).

2.非負數(shù)的性質(zhì)：

非負數(shù)①非負數(shù)有最小值是零；

②任意幾個非負數(shù)的和仍為非負數(shù)；

③幾個非負數(shù)的和為0,則每個非負數(shù)都等于0.

【考點總結(jié)】三、實數(shù)的運算

同號兩數(shù)相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。

加法

異號兩數(shù)相加，取絕對儲較大的加數(shù)的符號,并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。

實

減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)

數(shù)

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘

的

幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當

運乘法

負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負

算

〃個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積為0.

除法兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除

0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0

幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，記作0"(存0,〃為正整數(shù))開方與乘方互為逆運

乘方

算

分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三

運算順序二一、(如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行

運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算)

【考點總結(jié)】五、實數(shù)的大小比較

1.在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.

2.正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小.

3.取差比較法

(1)Q—6>0U>Q>b；(2)a—b=0^^a=b；(3)Q-6Vo㈡>。<瓦

4.倒數(shù)比較法

若。>0,6>0,則a<B.

ab

5.平方法：因為由。>6>0,可得族,協(xié)，所以我們可以把，與g的大小問題轉(zhuǎn)化成比較。和6的大小問

題.

【注意】

1.比較實數(shù)大小的五種方法

(1)絕對值比較法：兩個負數(shù)比較大小，絕大值大的反而小

(2)數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大

(3)平方比較法：先將要平方的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)Q>0力>0時，可由次得到。金來比較大小。

(4)取近以值法：首先對要比較的兩個數(shù)取近以值通過比較其近似值來比較兩個數(shù)的大小，

(5)差值比較法

2.無理數(shù)常見的四種類型

(1)開不盡的數(shù)，如J5,V6

JI

(2)含有兀的絕大部分數(shù)，如71,—

(3)具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.10100000(兩個1之間依次增加1個0)

(4)三角函數(shù)數(shù)中的一些數(shù)，如sin60°,cos20°,tan60°.

【技巧歸納】

技巧1:實數(shù)大小比較的七種技巧

【類型】一、比較絕對值法

1.比較一砧一2.與一曲一2的大小.

【類型】二、開方法

2.比較71與近的大小.

2

【類型】三、平方法或立方法

3.比較一舊和一71■的大小.

【類型】四、取近似值法

4.比較弱+2與4.3的大小.

【類型】五、放縮法

5.比較#+2與國一2的大小.

【類型】六、作差法

6.比較且皂和3的大小.

22

【類型】七、特殊值法

7.已知一l<x<0,將xJ,N,朱按從小到大的順序排列為

X

技巧2：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

【類型】一、利用數(shù)軸上的點表示實數(shù)

1.已知d=3,那么在數(shù)軸上X對應(yīng)的點（如圖）可能是（

-3-2*-1,0*1*23?

A.點尸1B.點R

C.點尸2或點尸3D.點尸I或點尸4

2.如圖，在數(shù)軸上表示標的點可能是（）

PQMN

01234"

A.點尸B.點。C.點〃D.點N

【類型】二、利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小

3.實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，把一a,~b,0按照從小到大的順序排列，正確的是（）

____III?

a0b

A.—a<O<—J）B.0<~a<—b

C.-b<O<—aD.0<—b<—a

4.表示實數(shù)a,6的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，貝Ua0,b0,同______一6.（填“>”

或“<”）

___.■?A

ba0

【類型】三、利用實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系進行計算

5.實數(shù)a,6在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：（―b）2—\a—\l3\—\^3—b\+\a-b\.

-2-io12

技巧3：非負數(shù)應(yīng)用的常見題型

【類型】一、絕對值的非負性

1.如果一個數(shù)的絕對值為。，那么數(shù)。在數(shù)軸上（如圖）對應(yīng)的點不可能是（）

A.點MB.點。C.點PD.點N

2.如果|a—2|+以=0,那么a,b的值為（）

A.a=l,b=\B.a=~\,6=3

C.a=2,b=0D.a=0,b=2

【類型】二、偶次方的非負性

3.若（x+3）2=0—2,則a的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

4.若N+⑶一4）4=0,求M的值.

【類型】三、算術(shù)平方根的非負性

一、心中被開方數(shù)a>0的應(yīng)用

5.如果A/1二a=6,那么a的取值范圍是（）

A.a>\B.a<\C.a=\D.a<\

6.已知x,歹都是有理數(shù)，且y=Nx—3+3—x+8,求x+3y的立方根.

二、齒》0的應(yīng)用

7.已知x,y是有理數(shù)，且[3x+4+[y—3|=0,則xy的值是（）

99

A.4B.-4C.-D.--

44

8.已知■'^P5+42y—4=0,求（x+y）2。18的值.

三、算術(shù)平方根的雙重非負性的應(yīng)用

9.當x為何值時，42x+l+6有最小值，最小值為多少？

10.若求4而的值.

【題型講解】

【題型】一、求算術(shù)平方根

例1、若一個正方形的面積是12,則它的邊長是()

A.273B.3C.3VID.4

【題型】二、求平方根

例、卜也|

2的平方是（）

A.-V2B.V2C.-2D.2

【題型】三、求立方根

例3、8的相反數(shù)的立方根是（)

11

A.2B.一C.-2D.——

22

【題型】四、實數(shù)與數(shù)軸

例4、實數(shù)。、6在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子成立的是（）

1a1卜1

-2-1012

a八

A.a>bB.。＜力C.a+b>0D.-<0

b

【題型】五、實數(shù)比較大小

例5、在下列四個實數(shù)中，最小的數(shù)是（)

1

A.-2B.一C.0D.V3

3

【題型】六、無理數(shù)的估值

例6、估計（2百+3收卜??；的值應(yīng)在（

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【題型】七、非負數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

例7、若實數(shù)x,y滿足＞2+（3—y）2=0,則代數(shù)式xy一9的值為.

【題型】八、實數(shù)的運算

例8、計算：（I）4cos30°sin600+（-2）-1(72019-2008)°；

（2）W-|-2+V3tan45°|+/2-1.41)°,

實數(shù)（達標訓練）

一、單選題

1.（2022?湖南?邵陽縣教育科學研究室模擬預(yù)測）如圖，實數(shù)收在數(shù)軸上的對應(yīng)點可能是（）

DCBA

-4-3-2-101234

A.A點、B.B點C.。點D.。點

2.（2022?廣東?深圳市寶安第一外國語學校三模）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

「1

A.3B.V3C.--D.攵

3.（2022?陜西師大附中模擬預(yù)測）4的算術(shù)平方根是（）

A.±2B.±72C.2D.V2

4.（2022?廣東北江實驗學校三模）下列說法不正確的是（）

A.［的平方根是±（B.（-0.1）2的平方根是±0.1

C.-9是網(wǎng)的算術(shù)平方根D.^=27=-3

5.（2022?浙江麗水?一模）與指最接近的整數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

6.（2022?浙江金華?一模）如圖所示，數(shù)軸上表示1,G的點分別為4,B,且C4=2/3（C在/的左側(cè)）,

則點C所表示的數(shù)是.

,C,d尸，.

0~~2

三、解答題

8.（2022?遼寧沈陽?二模）計算：2x（-3）-4+卜7|+[曰.

9.（2022?廣東?深圳市南山外國語學校三模）計算：-;+&力^+4+（亞>.

實數(shù)（提升測評）

一、單選題

1.（2022?河北唐山?一模）估計病x《+點的值應(yīng)在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

2.（2022?河北?一模）已知y=工工+18,則代數(shù)式石的值為（）

A.-V2B.->/3C.72D.V3

3.（2022?山東臨沂?二模）實數(shù)。力在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（