新教材2025版高中數(shù)學第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)課后提能訓練新人教A版選擇性必修第二冊

4．2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2024年河北模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，則a7＝ ()A．－12 B．－13C．12 D．13【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13.2．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，全部奇數(shù)項之和為15，全部偶數(shù)項之和為25，則這個數(shù)列的項數(shù)為 ()A．10 B．20C．30 D．40【答案】A【解析】設(shè)這個數(shù)列有2n項，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即數(shù)列的項數(shù)為10.3．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為 ()A．0 B．1C．2 D．1或2【答案】D【解析】因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.4．(2024年河南聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a9＝11，a4＋a10＝14，則a6＋a11＝ ()A．15 B．16C．17 D．25【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2＋a9＋a6＋a11＝(a2＋a6)＋(a9＋a11)＝2a4＋2a10＝2(a4＋a10)，∴11＋a6＋a11＝2×14，即a6＋a11＝17.5．設(shè){an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于 ()A．0 B．37 C．100 D．－37【答案】C【解析】設(shè)cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{cn}也是等差數(shù)列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.6．(多選)(2024年佛山期末)下列命題中錯誤的是 ()A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a－3，b－3，c－3成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】若a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，由b＝eq\f(a＋c,2)得b－3＝eq\f(a＋c,2)－3＝eq\f(1,2)(a－3＋c－3)，所以a－3，b－3，c－3成等差數(shù)列，故A正確；由b＝eq\f(a＋c,2)得b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)(a2＋2ac＋c2)≠eq\f(1,2)(a2＋c2)，故B錯誤；由b＝eq\f(a＋c,2)得2b＝2eq\s\up6(\f(a＋c,2))≠eq\f(2a＋2c,2)，故C錯誤；由b＝eq\f(a＋c,2)得log2b＝log2(a＋c)－1≠eq\f(1,2)(log2a＋log2c)，故D錯誤．故選BCD.7．(2024年浙江模擬)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)))是等差數(shù)列，則 ()A．a(chǎn)3＋a6＝2a4 B．a(chǎn)3＋a6＝a4＋a5C．eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a6)＝eq\f(2,a4) D．eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a6)＝eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)【答案】C【解析】設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)))的公差為d，由題意得eq\f(4,a4)＝eq\f(3,a3)＋d，eq\f(5,a5)＝eq\f(3,a3)＋2d，eq\f(6,a6)＝eq\f(3,a3)＋3d，所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a6)＝eq\f(1,a3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a3)＋\f(1,2)d))＝eq\f(1,2)×eq\f(4,a4)＝eq\f(2,a4)，C正確；a6＝eq\f(2a3,da3＋1)，a4＝eq\f(4a3,da3＋3)，不滿意a3＋a6＝2a4，A錯誤；a5＝eq\f(5a3,2a3d＋3)，a3＋a6≠a4＋a5，B錯誤；eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a6)＝eq\f(3,2a3)＋eq\f(1,2)d，eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＝eq\f(27,20a3)＋eq\f(13d,20)，故D錯誤．故選C.8．若正項等差數(shù)列{an}滿意a3a5＝4，則a4的最小值為________．【答案】2【解析】∵an>0，∴a3a5≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3＋a5,2)))eq\s\up12(2)＝a42(當且僅當a3＝a5＝2時取等號)，即a42≥4，解得a4≥2，即a4的最小值為2.9．(2024年甘肅開學考試)《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是________升．【答案】eq\f(67,66)【解析】設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列為{an}，其公差為d，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))所以a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66)，即第5節(jié)竹子的容積為eq\f(67,66)升．10．已知四個數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94，第一個數(shù)與第四個數(shù)的積比其次個數(shù)與第三個數(shù)的積少18，求此四個數(shù)．解：設(shè)四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94，,(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋10d2＝47，,8d2＝18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝±\f(7,2)，,d＝±\f(3,2)．))故所求四數(shù)為8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.B級——實力提升練11．在等差數(shù)列{an}中，若a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝ ()A．10 B．20C．40 D．2＋log25【答案】B【解析】∵在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.12．(多選)(2024年山東二模)我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是根據(jù)日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).二十四節(jié)氣及晷長改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量相同，周而復始．已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則下列說法正確的是 ()A．相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量為一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．立冬的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長短【答案】ABC【解析】設(shè)從冬至到夏至的晷長為等差數(shù)列{an}，公差為d，則a1＝135，a13＝15，解得d＝－10，∴相鄰兩個節(jié)氣晷長削減的量為一尺，故A正確；春分的晷長為a7＝75，由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)知，秋分的晷長為75，春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故B正確；立冬和立春的晷長相同，為a4＝105，即為一丈五寸，故C正確；立春的晷長為a4＝105，立秋的晷長和立夏的相等，即為a10＝45，故D不正確．13．(2024年上海模擬)假如有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿意條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，則稱其為“對稱”數(shù)列．例如數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，4，8都是“對稱”數(shù)列．已知21項的“對稱”數(shù)列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝________．【答案】19【解析】因為c11，c12，…，c21是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又因為{cn}為21項的“對稱”數(shù)列，所以c2＝c20＝19.14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知角A，B，C成等差數(shù)列，且sinA＝3sinC，則角B的值為________，tanC的值為________．【答案】eq\f(π,3)eq\f(\r(3),5)【解析】因為角A，B，C成等差數(shù)列，可知A＋C＝2B，由A＋B＋C＝π得B＝eq\f(π,3).因為B＝eq\f(π,3)，所以A＋C＝eq\f(2π,3).因為sinA＝3sinC，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－C))＝3sinC，即eq\f(\r(3),2)·cosC＋eq\f(1,2)sinC＝3sinC，即eq\f(\r(3),2)cosC＝eq\f(5,2)sinC，得tanC＝eq\f(\r(3),5).15．已知五個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為eq\f(85,9)，求這5個數(shù)．解：設(shè)第三個數(shù)為a，公差為d，則這5個數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5，,(a－2d)2＋(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＋(a＋2d)2＝\f(85,9)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9)，))解得a＝1，d＝±eq\f(2,3).當d＝eq\f(2,3)