閱讀學(xué)案01　向量的由來及應(yīng)用 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第二冊

山東省高一年級閱讀學(xué)案山東省高一年級閱讀學(xué)案編號：01編制人：審批：----------銜接教材必修二第六章《平面向量初步》閱讀目標(biāo)1.通過閱讀材料，知道向量的由來及與物理的密切聯(lián)系。2.通過閱讀材料，能用向量知識解決物理問題和幾何問題閱讀內(nèi)容向量早在19世紀(jì)就已成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的對象，我國在1996年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中引入了向量。向量具有豐富的物理背景，向量既是幾何的研究對象，又是代數(shù)的研究對象，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁，是重要的數(shù)學(xué)模型。1.何為向量？向量從何而來？在數(shù)學(xué)中，通常用點(diǎn)表示位置，用射線表示方向。在平面內(nèi)，從任一點(diǎn)出發(fā)的所有射線，可以分別用來表示平面內(nèi)的各個方向。向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作|a|。長度為0的向量叫做零向量，記作0．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到?！跋蛄俊币辉~來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段，最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓。在物理中，向量就是矢量，是物理學(xué)中最重要的物理量。物理中的矢量是向量的原型，向量及其運(yùn)算是物理中矢量及其運(yùn)算的抽象。因此，向量在物理中有廣泛應(yīng)用是不言而喻的。向量與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動學(xué)等有著天然的聯(lián)系。很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。將向量這一工具應(yīng)用到物理中，可以使物理問題的解決更簡捷、更清晰，并且向量知識不僅是解決物理許多問題的有利工具，而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象，研究相關(guān)物理問題，可使我們對物理問題認(rèn)識更深刻。2.為什么“向量是自由的”?向量刻畫了現(xiàn)實事物的兩個最基本屬性大小和方向,兩個向量如果方向相同,那么它們平行,而平行具有可傳遞性,所以向量可以“自由平移”.自由的向量才有力量!例如,如果向量不自由,那么“三角形法則”和“平行四邊形法則”就無法統(tǒng)一.由向量“自由性”,我們可以把向量平移:使所有向量的起點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，這就可以使向量進(jìn)一步代數(shù)化,將給問題的討論帶來方便。3.向量基本定理“基本”在哪里?在中學(xué)數(shù)學(xué)里,冠以“基本”的定理不多見，足見這一定理的重要性.如前所述,因為這一定理給出了用向量表示平面上任意一點(diǎn)的充要條件，所以從理論上講,我們就可以憑借它將平面圖形的基本元素作出向量表示,這樣就可以通過向量運(yùn)算解決任何幾何問題.利用向量表示空間基本元素,將空間的性質(zhì)和基本定理的運(yùn)用轉(zhuǎn)化成為向量運(yùn)算律的系統(tǒng)運(yùn)用,其要點(diǎn)是:點(diǎn)—---根據(jù)向量的自由性,選平面內(nèi)的一個點(diǎn)О為“基準(zhǔn)點(diǎn)”,以O(shè)為向量的起點(diǎn),這時就可以建立起向量的終點(diǎn)與平面內(nèi)的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系.當(dāng)然﹐這個對應(yīng)與О點(diǎn)的選取有關(guān)﹐如圖6:直線----一個點(diǎn)A、一個方向a就定性刻畫了一條直線.引進(jìn)數(shù)乘向量ka,那么直線上任意一個點(diǎn)就可以用實數(shù)定量表示,進(jìn)而得到一維向量的坐標(biāo)表示.平面---一個點(diǎn)A、兩個不平行(非0)向量a,b在“原則”上確定了平面(定性刻畫,這與“兩條相交直線確定一個平面”有異曲同工之效),因此把{a,b}叫做平面的一個基底.引入向量的加法a＋b,結(jié)合數(shù)乘向量(向量伸縮),平面上的任意一點(diǎn)X就可以表示為λa＋μb,從而成為可定量運(yùn)算的對象.4.為什么要研究向量的坐標(biāo)表示?一個明顯而主要的理由是﹐利用向量的坐標(biāo)表示,可以把向量的運(yùn)算化歸為其分量的運(yùn)算,這樣就實現(xiàn)了用向量表示幾何基本元素﹐通過實數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形和圖形的關(guān)系,從而也就徹底實現(xiàn)了幾何對象的代數(shù)化.用代數(shù)方法刻畫幾何對象﹐進(jìn)而用代數(shù)方法論證幾何關(guān)系,其中間橋梁就是向