2023-2024學(xué)年廣東省深圳市富源學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023年秋季學(xué)期富源學(xué)校高二年級期中考試數(shù)學(xué)2023.11（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓的圓心為（）．A. B. C. D.2.經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.3.過點(diǎn)和點(diǎn)的斜率是（）A. B. C. D.4.直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或15.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.6.古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子按照實(shí)際面積定價(jià)，每平方米元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價(jià)格約為（）A.元 B.元 C.元 D.元7.若直線與直線交于點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為（）A B. C. D.8.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且平面，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.直線的方程為：，則（

）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線斜率必定存在C.時(shí)直線的傾斜角為D.時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為10.給出下列命題正確是（）A.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直B.直線a，b方向向量，，若，，則直線a，b相交C.無論m取何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)D.平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則，11.已知直線和圓，則下列說法正確的是（）A.存在，使得直線與圓相切B.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為C.對任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D.當(dāng)時(shí)，對任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)12.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）．在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，其軌跡為曲線，則（）A.曲線的方程為 B.曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱C.面積的最大值為2 D.的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則________.14.已知圓：與圓：相離，則整數(shù)m一個(gè)取值可以是______．15.在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)到直線的距離為______.16.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓．現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17已知，；（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求的坐標(biāo)．18.某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時(shí)，每隔3m需要一個(gè)支柱支撐，求支柱的長（精確到0.01m）．19.如圖，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與所成二面角的正弦值．20.已知圓C：．（1）過點(diǎn)向圓C作切線l，求切線l的方程；（2）若Q為直線m：上的動點(diǎn)，過Q向圓C作切線，切點(diǎn)為M，求的最小值．21.四棱錐底面為平行四邊形，且，平面.（1）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面.若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.（2）求直線與平面所成角的正弦值.22.阿基米德(公元前287年公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.2023年秋季學(xué)期富源學(xué)校高二年級期中考試數(shù)學(xué)2023.11（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓的圓心為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出其圓心坐標(biāo).【詳解】由，得，所以圓心為，故選：A2.經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程即可求解.【詳解】當(dāng)經(jīng)過、的直線不與軸平行時(shí)，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項(xiàng)C滿足包括與軸平行的直線.故選:C3.過點(diǎn)和點(diǎn)的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)斜率公式計(jì)算可得；【詳解】解：過點(diǎn)和點(diǎn)的斜率故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】，即，解得或.故選：C.5.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量，再求直線與面所成角的正弦值.【詳解】因?yàn)槠矫?，面，底面為矩形，所以兩兩垂直，設(shè)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，所以取，直線與面所成角的正弦值為.故選：A6.古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子按照實(shí)際面積定價(jià)，每平方米元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價(jià)格約為（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，將乘以橢圓的面積，即可得出結(jié)果.詳解】由題意可得，解得，所以，小張要買的鏡子的價(jià)格為（元），故選：B.7.若直線與直線交于點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】兩直線均過定點(diǎn)且垂直，則交點(diǎn)P在以兩定點(diǎn)為直徑的圓上，由數(shù)形結(jié)合可求最值.【詳解】兩直線滿足，所以兩直線垂直，由得，過定點(diǎn)，由得，過定點(diǎn)，故交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上，其中，如圖所示，則線段OP的最大值為.故選：B8.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且平面，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)?，所以平面，?因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是推得H為線段FG上的點(diǎn)，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.直線的方程為：，則（

）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線斜率必定存在C.時(shí)直線的傾斜角為D.時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為【答案】AD【解析】【分析】對于，把點(diǎn)代入直線方程驗(yàn)證即可；對于，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，故錯(cuò)誤；對于，根據(jù)解析式，求出斜率，即可求得傾斜角；對于，求出直線在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，即可計(jì)算三角形的面積.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為：，把代入得，恒成立，故正確；當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線的斜率不存在，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，傾斜角為，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線方程為，則與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故正確，故選：10.給出下列命題正確的是（）A.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直B.直線a，b的方向向量，，若，，則直線a，b相交C.無論m取何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)D.平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則，【答案】ACD【解析】【分析】由即可判斷AB，由直線方程即可判斷C，由向量是平面的法向量，即可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A：，所以，即l與m垂直，故A正確；對于選項(xiàng)B：，夾角為鈍角，可能是相交也可能是異面，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：直線可化簡為：，顯然無論m取何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)橄蛄渴瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以有，又，所以有，∴，，故D正確.故選：ACD.11.已知直線和圓，則下列說法正確的是（）A.存在，使得直線與圓相切B.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為C.對任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D.當(dāng)時(shí)，對任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷A不正確；根據(jù)圓心到直線的距離的最大值求出的最小值，可判斷B正確；根據(jù)圓心到直線的距離，可判斷C正確；將曲線的方程化為，可判斷D正確.【詳解】對于A，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以不存在，使得直線與圓相切，故A不正確；對于B，因?yàn)閳A心到直線的距離的最大值為，所以的最小值為，故B正確；對于C，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，所以對任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，直線，曲線，即就是過直線與圓的交點(diǎn)的曲線方程，故D正確.故選：BCD.12.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）．在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，其軌跡為曲線，則（）A.曲線的方程為 B.曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱C.面積的最大值為2 D.的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)化簡得到A正確，根據(jù)對稱性得到B正確，計(jì)算，得到面積的最大值為，錯(cuò)誤，確定，，D正確，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：設(shè)，則，即，整理得到，即，正確；對選項(xiàng)B：當(dāng)點(diǎn)在曲線，即，則也在曲線，正確；對選項(xiàng)C：設(shè)，，則，故，面積的最大值為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：，解得，，故，正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則________.【答案】【解析】【分析】求出，，，利用空間向量夾角公式列方程，解方程即可求解【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，所以，整理可得：，所以，所以，解得：，故答案為?4.已知圓：與圓：相離，則整數(shù)m的一個(gè)取值可以是______．【答案】2##3##4【解析】【分析】寫出兩圓的圓心及半徑，利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式求出圓心的距離，利用兩圓相離的關(guān)系列出不等式，求出整數(shù)m的值.【詳解】解：由題意在圓：與圓：中，圓的圓心為，圓的圓心為，圓的半徑為3，圓的半徑為，∴兩圓圓心的距離為．∴，解得，∴整數(shù)m的取值可能是2，3，4．故答案為：2或3或4.15.在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】【解析】【分析】先求出直線的單位方向向量，然后利用點(diǎn)到直線距離的向量公式求解即可.【詳解】取，,則，,所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：16.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓．現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由于該杯子中所盛水的體積為玻璃杯容積的一半，所以當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，此時(shí)橢圓的長軸端點(diǎn)分別位于杯底及杯口，根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求出離心率的最大值，從而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，此時(shí)橢圓長軸長為（厘米），短軸長為6厘米，∴橢圓離心率，∴.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，；（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用，即可計(jì)算求解.（2）由已知，可設(shè)，根據(jù)，列方程即可求出.【小問1詳解】由已知得，，得，解得【小問2詳解】設(shè)，由，可得，得到，求得，，則或18.某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時(shí)，每隔3m需要一個(gè)支柱支撐，求支柱的長（精確到0.01m）．【答案】5.39m【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓的一般方程并利用待定系數(shù)法求出圓方程，代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出支柱的長.【詳解】以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，易知點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為，，．設(shè)圓拱所在的圓的方程是．因?yàn)辄c(diǎn)A，B，P在所求的圓上，所以，解得．故圓拱所在的圓的方程是．將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入上述方程，解得（負(fù)值舍去）；即支柱的長約為5.39m．19.如圖，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與所成二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，，，即且，令，則，是平面的一個(gè)法向量，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角的大小為，由，得，故平面與平面夾角的正弦值為．20.已知圓C：．（1）過點(diǎn)向圓C作切線l，求切線l的方程；（2）若Q為直線m：上的動點(diǎn)，過Q向圓C作切線，切點(diǎn)為M，求的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在兩種情形分類求解，斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑求得參數(shù)值；（2）確定直線與圓相離，由切線長公式最小即可，只要求得圓心到直線的距離（為最小值）即可得切線長的最小值．【小問1詳解】若切線l的斜率不存在，則切線l的方程為．若切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為，即．因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心到l的距離為2，即，解得，所以切線l的方程為，即．綜上，切線l的方程為或．【小問2詳解】圓心到直線的距離為，直線m與圓C相離，因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，有最小值．當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，所以的最小值為．21.四棱錐底面為平行四邊形，且，平面.（1）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面.若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）存在點(diǎn)，且，理由