新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系4.1直線與圓錐曲線的交點(diǎn)課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊(cè)

§4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系4.1直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A組1.函數(shù)y=ax2+1的圖象與直線y=x相切,則a=().A.18 B.14 C.2.直線y=bax+3與雙曲線x2a2-y2A.1 B.2 C.1或2 D.03.設(shè)F1,F2分別為橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),過(guò)橢圓中心任作始終線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)四邊形PF1QF2的面積最大時(shí),PF1·A.0 B.2 C.4 D.-24.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+A.3 B.2 C.5 D.65.已知直線y=12x與雙曲線x29-y24=1交于A,B兩點(diǎn),P為雙曲線上不同于A,B的點(diǎn),當(dāng)直線PA,PB的斜率kPA,kPB存在時(shí),kPA·A.49 B.C.23 D.與P6.(多選題)雙曲線x29-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若直線上存在點(diǎn)P,使|PF2|=|PF1|+A.5x-3y=0 B.x-y-4=0C.5x-3y-52=0 D.4x-3y+15=07.直線y=kx+1與曲線mx2+5y2=5m(m>0)恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是.

8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e,直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)9.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為(1)求雙曲線C的方程和其漸近線方程;(2)若直線l:y=kx+2與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求全部滿意條件的k的取值.B組1.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與直線y=2A.(1,5) B.(1,5]C.(5,+∞) D.[5,+∞)2.過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線().A.有且只有一條 B.有且只有兩條C.有且只有三條 D.有且只有四條3.若直線ax+by-3=0與圓x2+y2=3沒(méi)有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),則過(guò)點(diǎn)P的一條直線與橢圓x24+y23=A.0 B.1 C.2 D.1或24.(多選題)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓交x軸于M,N兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q.若拋物線C上存在一點(diǎn)E(t,2)到焦點(diǎn)F的距離等于3,則下列說(shuō)法正確的是().A.拋物線的方程是x2=2yB.拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1C.sin∠QMN的最小值是1D.|AB|的最小值是65.直線l:y=x+3與曲線y29-x|x|A.0 B.1 C.2 D.36.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A,B兩點(diǎn),則|AF||7.已知雙曲線C1:x2-y24=(1)求與雙曲線C1有相同的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P(4,3)的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線l:y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn).當(dāng)OA·OB=3時(shí),求實(shí)數(shù)m8.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若右焦點(diǎn)到直線x-y+22=0的距離為3.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點(diǎn)M,N,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,使|AM|=|AN|?若存在,求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.

參考答案§4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系4.1直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A組1.B∵函數(shù)y=ax2+1的圖象與直線y=x相切,∴它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn).由y=ax2+1,y=x,得x=ax∴Δ=1-4a=0,解得a=142.A因?yàn)橹本€y=bax+3與雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線3.D由題意得c=a2-b2=3,又S四邊形PF1QF2=2S△PF1F2=所以當(dāng)h=b=1時(shí),S四邊形PF1QF2取最大值,此時(shí)∠所以PF1·PF2=|PF1|·|P4.C雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=bax,代入拋物線方程整理得ax2-bx+a=0,因漸近線與拋物線相切,故Δ=0,即b2-4a2=0,c2=a2+b5.A設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則由y=12x,x29-y24=1得y2-367=0,則y1+y2=0,y1y2=-367由于kPA·kPB=y1-y0x1-x0·y2-6.BD因?yàn)閤29-y216=1,所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5.由雙曲線的定義,可知雙曲線上隨意一點(diǎn)P滿意||PF2|-|PF當(dāng)直線上存在點(diǎn)P滿意|PF2|-|PF1|=6時(shí),說(shuō)明直線與雙曲線的左支有公共點(diǎn).由已知得雙曲線的漸近線方程為y=±43x,A,C兩直線的斜率均為5故A,C均與雙曲線左支無(wú)公共點(diǎn),閱歷證B,D表示的直線與雙曲線有公共點(diǎn).7.[1,+∞)將y=kx+1代入mx2+5y2=5m,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,該式對(duì)k∈R,總有實(shí)數(shù)解.所以Δ=20m(m-1+5k2)≥0對(duì)k∈R恒成立.因?yàn)閙>0,所以m≥1-5k2恒成立,所以m≥1.即m的取值范圍為[1,+∞).8.5-12由于直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,所以A-ae,0,B(0,a由y=ex+a,x2a2+y2所以M(-c,a-ec).由題知,|AM|=e|AB|,由圖知(圖略),AM=eAB,即-c+ae,a-ec=eae,a,所以a-ec=ae,即1-e2=e,解得e=5-12或e=-59.解(1)由題意可知,雙曲線的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),所以c2=a2+b2=4.將(-3,26)代入x2a2-y2b2=1中,可得a=1,所以a2=1,b2=3.所以所求雙曲線C的方程為x2-y(2)由y=kx+2,x2-y23=1,得(3①當(dāng)3-k2=0,即k=±3時(shí),直線l與雙曲線C相交于一個(gè)公共點(diǎn),符合題意;②當(dāng)3-k2≠0,即k≠±3時(shí),由Δ=0得k=±7,此時(shí)直線l與雙曲線C相切于一個(gè)公共點(diǎn),符合題意,綜上所述,符合題意的k的全部取值為3,-3,7,-B組1.C因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=bax,所以ba>2,所以e=2.B若直線AB的斜率不存在,則橫坐標(biāo)之和為1,不符合題意.若直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=kx-12,代入拋物線方程y2=2x,得k2x2-(k2+2)x+14k2=0.因?yàn)锳,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2,所以k=±2.所以這樣的直線有兩條.3.C由題意得,圓心(0,0)到直線ax+by-3=0的距離3a2+b2>3,則又因?yàn)閍,b不同時(shí)為零,所以0<a2+b2<3.由0<a2+b2<3,可知|a|<3,|b|<3,由橢圓的方程知其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為3,所以P(a,b)在橢圓內(nèi)部,所以過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓x24+y23=1的公共點(diǎn)有4.BC由拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F0,p2,得拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-p2,由點(diǎn)E(t,2)到焦點(diǎn)F的距離等于3,可得2+p2=3,解得p=則拋物線C的方程為x2=4y,故A不正確;拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1,故B正確;由題知直線l的斜率存在,F(0,1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=kx+1,由y=kx+1,x2=4y,消去y則x1+x2=4k,x1x2=-4,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2k,2k2+1),|AB|=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4,所以圓Q的半徑r=2k2+2,在等腰三角形QMN中,sin∠QMN=|yQ|r=2k2當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào).所以sin∠QMN的最小值為12,故C正確|AB|=y1+y2+2=4k2+4≥4,故D不正確.5.D如圖,當(dāng)x≤0時(shí),曲線方程可化為y29+x24=1,即橢圓位于y軸左側(cè)部分;當(dāng)x>0時(shí),曲線方程可化為y29-x24=(第5題)6.3設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由直線l的傾斜角為60°,得直線l的方程為y-0=3x-p2,即y=3x-32p,聯(lián)立拋物線方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,則x1=32p,x2=16p,則|AF7.解(1)雙曲線C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),(-5,0),設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2則a2+故雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y2=(2)雙曲線C1的漸近線方程為y=2x,y=-2x.設(shè)A(x1,2x1),B(x2,-2x2).因?yàn)辄c(diǎn)A,B在直線l上,所以2x1于是OA·OB=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2=m2=3,解得m=±8.解(1)依題意可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2=1,右焦點(diǎn)為F,則F(由題設(shè)|a2-1+22|故所求橢圓的方程為x23+y2=(2)不存在實(shí)數(shù)