2017-2018學年吉林省松原市寧江區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷含答案解析

2017-2018學年吉林省松原市寧江區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共6小題，每小題2分，滿分12分）1．（2分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各式屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列事件是必然事件的是（）A．乘坐公共汽車恰好有空座 B．同位角相等C．打開手機就有未接電話 D．三角形內(nèi)角和等于180°4．（2分）△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個小正方形邊長為1），AD⊥BC于D，下列四個選項中，錯誤的是（）A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=15．（2分）把一拋物線向上平移3個單位，再向左平移1個單位得到的解析式為y=2x2，則原拋物線的解析式為（）A．y=2（x﹣1）2+3 B．y=2（x+1）2+3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+36．（2分）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）7．（3分）已知，那么的值為．8．（3分）當時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．9．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m的值是．10．（3分）在某一時刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時測得一棟建筑物的影長為12m，那么這棟建筑物的高度為m．11．（3分）如圖，已知反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點A，過A點作AB⊥x軸，垂足為B．若△AOB的面積為1，則k=．12．（3分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，過點C作⊙O的切線交OA的延長線于點D，則∠D的大小為．13．（3分）如圖，直線a、b垂直相交于點O，曲線C關(guān)于點O成中心對稱，點A的對稱點是點A'，AB⊥a于點B，A'D⊥b于點D．若OB=3，OD=2，則陰影部分的面積之和為．14．（3分）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，在下列說法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3③a+b+c＞0④當x＞1時，y隨x的增大而增大．正確的說法有．三、解答題（共4小題，滿分20分）15．（5分）計算：．16．（5分）解方程：（x﹣1）2=3（x﹣1）．17．（5分）在一個不透明的袋子中，裝有2個紅球和1個白球，這些球除了顏色外都相同．如果第一次隨機摸出一個小球（不放回），充分攪勻后，第二次再從剩余的兩球中隨機摸出一個小球，求兩次都摸到紅球的概率．（用樹狀圖或列表法求解）18．（5分）如圖，一寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當刻度尺的一邊與圓相切于點C時，另一邊與圓兩個交點A和B的讀數(shù)恰好為“2”和“8”（單位：cm）求該圓的半徑．四、解答題（共4小題，滿分28分）19．（7分）在4×4的方格紙中的三個頂點都在格點上．（1）在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形（畫出一個即可）；（2）將圖2中的△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形．20．（7分）已知函數(shù)y=﹣x2+mx+（m+1）（m為常數(shù)）（1）該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是A.0B.1C.2D.1或2（2）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上．21．（7分）如圖，一枚運載火箭從距雷達站C處5km的地面O處發(fā)射，當火箭到達點A，B時，在雷達站C處測得點A，B的仰角分別為34°，45°，其中點O，A，B在同一條直線上．求A，B兩點間的距離（結(jié)果精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）22．（7分）如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，已知∠CAB=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）點C的坐標是；（2）將△ABC沿x軸正方向平移得到△A′B′C′，且B，C兩點的對應(yīng)點B′，C′恰好落在反比例函數(shù)y=的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式．五、解答題（共2小題，滿分16分）23．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．24．（8分）某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m．設(shè)飼養(yǎng)室長為x（m），占地面積為y（m2）．（1）如圖1，問飼養(yǎng)室長x為多少時，占地面積y最大？（2）如圖2，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大，小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比（1）中的長多2m就行了．”請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確．六、解答題（共2小題，滿分20分）25．（10分）將兩個全等的Rt△ABC和Rt△DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③．你認為（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．26．（10分）如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M（﹣2，﹣4），與x軸交于A、B兩點，且A（﹣6，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求△ABC的面積；（3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P，使△APC的面積最大？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

2017-2018學年吉林省松原市寧江區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題2分，滿分12分）1．（2分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選：B．2．（2分）下列各式屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、含有能開方的因式，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；B、符合最簡二次根式的定義，故本選項正確；C、含有能開方的因式，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；D、被開方數(shù)含分母，故本選項錯誤；故選B．3．（2分）下列事件是必然事件的是（）A．乘坐公共汽車恰好有空座 B．同位角相等C．打開手機就有未接電話 D．三角形內(nèi)角和等于180°【解答】解：A．乘坐公共汽車恰好有空座，是隨機事件；B．同位角相等，是隨機事件；C．打開手機就有未接電話，是隨機事件；D．三角形內(nèi)角和等于180°，是必然事件．故選D．4．（2分）△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個小正方形邊長為1），AD⊥BC于D，下列四個選項中，錯誤的是（）A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1【解答】解：觀察圖象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，∴sinα=cosα=，故A正確，tanC==2，故B正確，tanα=1，故D正確，∵sinβ==，cosβ=，∴sinβ≠cosβ，故C錯誤．故選C．5．（2分）把一拋物線向上平移3個單位，再向左平移1個單位得到的解析式為y=2x2，則原拋物線的解析式為（）A．y=2（x﹣1）2+3 B．y=2（x+1）2+3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3【解答】解：將拋物線y=2x2向下平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，所得拋物線的函數(shù)解析式為y=2（x﹣1）2﹣3，故選C．6．（2分）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確．D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；故選C．二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）7．（3分）已知，那么的值為．【解答】解：∵，∴a=2b，∴==，故答案為：．8．（3分）當x≤時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．【解答】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴2﹣3x≥0，解得：x≤．故答案為：x≤．9．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m的值是2．【解答】解：把m代入方程x2﹣x﹣2=0，得到m2﹣m﹣2=0，所以m2﹣m=2．故本題答案為2．10．（3分）在某一時刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時測得一棟建筑物的影長為12m，那么這棟建筑物的高度為24m．【解答】解：設(shè)這棟建筑物的高度為xm，由題意得，=，解得x=24，即這棟建筑物的高度為24m．故答案為：24．11．（3分）如圖，已知反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點A，過A點作AB⊥x軸，垂足為B．若△AOB的面積為1，則k=﹣2．【解答】解：依據(jù)比例系數(shù)k的幾何意義可得兩個三角形的面積都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案為：﹣2．12．（3分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，過點C作⊙O的切線交OA的延長線于點D，則∠D的大小為32°．【解答】解：作直徑B′C，交⊙O于B′，連接AB′，則∠AB′C=∠ABC=29°，∵OA=OB′，∴∠AB′C=∠OAB′=29°．∴∠DOC=∠AB′C+∠OAB′=58°．∵CD是⊙的切線，∴∠OCD=90°．∴∠D=90°﹣58°=32°．故答案為：32°13．（3分）如圖，直線a、b垂直相交于點O，曲線C關(guān)于點O成中心對稱，點A的對稱點是點A'，AB⊥a于點B，A'D⊥b于點D．若OB=3，OD=2，則陰影部分的面積之和為6．【解答】解：∵直線a、b垂直相交于點O，曲線C關(guān)于點O成中心對稱，點A的對稱點是點A'，AB⊥a于點B，A'D⊥b于點D，OB=3，OD=2，∴AB=2，∴陰影部分的面積之和為3×2=6．故答案為：6．14．（3分）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，在下列說法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3③a+b+c＞0④當x＞1時，y隨x的增大而增大．正確的說法有①②③．【解答】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵與y軸的交點為在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴ac＜0，故①正確；∵對稱軸為x=1，拋物線與x軸的一個交點為（3，0），∴另一個交點為（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3，故②正確；當x=1時，y=a+b+c＞0，故③正確；∴a、b異號，即b＜0，當x＞1時，y隨x的增大而減小，故④錯誤．∴其中正確的說法有①②③；故答案為：①②③．三、解答題（共4小題，滿分20分）15．（5分）計算：．【解答】解：原式=1﹣2+4+﹣1=4﹣．16．（5分）解方程：（x﹣1）2=3（x﹣1）．【解答】解：方程整理得：（x﹣1）2﹣3（x﹣1）=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣4）=0，解得：x1=1，x2=4．17．（5分）在一個不透明的袋子中，裝有2個紅球和1個白球，這些球除了顏色外都相同．如果第一次隨機摸出一個小球（不放回），充分攪勻后，第二次再從剩余的兩球中隨機摸出一個小球，求兩次都摸到紅球的概率．（用樹狀圖或列表法求解）【解答】解：畫樹狀圖如下：∵共有6種等可能的結(jié)果，兩次都摸到紅球的有2種情況，∴兩次都摸到紅球的概率為=．18．（5分）如圖，一寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當刻度尺的一邊與圓相切于點C時，另一邊與圓兩個交點A和B的讀數(shù)恰好為“2”和“8”（單位：cm）求該圓的半徑．【解答】解：作OE垂直AB于E，交⊙O于D，設(shè)OB=r，∵AB=8﹣2=6cm，OE⊥AB，∴BE=AB=×6=3cm，∴（r﹣2）2+9=r2，解得r=，∴該圓的半徑為cm．四、解答題（共4小題，滿分28分）19．（7分）在4×4的方格紙中的三個頂點都在格點上．（1）在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形（畫出一個即可）；（2）將圖2中的△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形．【解答】解：（1）如圖所示，△AB′C即為所求；（2）如圖所示，△A′B′C即為所求．20．（7分）已知函數(shù)y=﹣x2+mx+（m+1）（m為常數(shù)）（1）該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是DA.0B.1C.2D.1或2（2）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上．【解答】解：（1）∵函數(shù)y=﹣x2+mx+（m+1）（m為常數(shù)），∴△=m2+4（m+1）=（m+2）2≥0，則該函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)是1或2，故選：D；（2）y=﹣x2+mx+（m+1）=﹣（x﹣）2+（+1）2，該函數(shù)的圖象的頂點[，（+1）2]，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2，則不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上．21．（7分）如圖，一枚運載火箭從距雷達站C處5km的地面O處發(fā)射，當火箭到達點A，B時，在雷達站C處測得點A，B的仰角分別為34°，45°，其中點O，A，B在同一條直線上．求A，B兩點間的距離（結(jié)果精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）【解答】解：由題意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt△AOC中，∵tan34°=，∴OA=OC?tan34°=5×0.67=3.35km，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴OB=OC=5km，∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，答：A，B兩點間的距離約為1.7km．22．（7分）如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，已知∠CAB=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）點C的坐標是（﹣3，2）；（2）將△ABC沿x軸正方向平移得到△A′B′C′，且B，C兩點的對應(yīng)點B′，C′恰好落在反比例函數(shù)y=的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）作CN⊥x軸于點N，∵A（﹣2，0）B（0，1）．∴OB=1，AO=2，在Rt△CAN和Rt△AOB，∵，∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，又∵點C在第二象限，∴C（﹣3，2）；故答案為（﹣3，2）；（2）設(shè)△ABC沿x軸的正方向平移c個單位，則C′（﹣3+c，2），則B′（c，1）又點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，∴k=2（﹣3+c）=c，即﹣6+2c=c，解得c=6，即反比例函數(shù)解析式為y=．五、解答題（共2小題，滿分16分）23．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【解答】解：（1）BC與⊙O相切．證明：連接OD．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．又∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA．∴∠CAD=∠ODA．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵BC過半徑OD的外端點D，∴BC與⊙O相切．（2）設(shè)OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2，根據(jù)勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，解得：x=2，即OD=OF=2，∴OB=2+2=4，∵Rt△ODB中，OD=OB，∴∠B=30°，∴∠DOB=60°，∴S扇形DOF==，則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣．故陰影部分的面積為2﹣．24．（8分）某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m．設(shè)飼養(yǎng)室長為x（m），占地面積為y（m2）．（1）如圖1，問飼養(yǎng)室長x為多少時，占地面積y最大？（2）如圖2，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大，小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比（1）中的長多2m就行了．”請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確．【解答】解：（1）∵y=x?=﹣（x﹣25）2+，∴當x=25時，占地面積最大，即飼養(yǎng)室長x為25m時，占地面積y最大；（2）∵y=x?=﹣（x﹣26）2+338，∴當x=26時，占地面積最大，即飼養(yǎng)室長x為26m時，占地面積y最大；∵26﹣25=1≠2，∴小敏的說法不正確．六、解答題（共2小題，滿分20分）25．（10分）將兩個全等的Rt△ABC和Rt△DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③．你認為（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：如圖①所示，連接BF，∵BC=BE，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF+EF=AC=DE；（2