自動控制原理 課件 5.4 頻率穩(wěn)定判據(jù)

5.4頻率穩(wěn)定判據(jù)

頻率穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線來判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。常用的頻率穩(wěn)定判據(jù)有奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)兩種，其理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。5.4.1幅角原理設(shè)

是一個復(fù)變函數(shù)，若其有m個零點

，n個極點

，則

可以表示成對于s平面上的任意一點s，根據(jù)映射關(guān)系，在

平面上可以確定對應(yīng)的象

。若在s平面上任作一條不通過

任一零點和極點的閉合曲線

，當(dāng)s從

曲線上某點A開始順時針沿

轉(zhuǎn)動一周回到點A，那么在

平面上對應(yīng)的象

亦從

開始形成一條閉合曲線

回到

，如圖所示。（a）s平面（b）

平面

s平面和

平面的映射關(guān)系設(shè)s沿閉合曲線

順時針轉(zhuǎn)動時，

的幅角變化為

。則有當(dāng)s沿閉合曲線

順時針轉(zhuǎn)動一周時，被

包圍的零點向量

和極點向量

的幅角變化均為

（逆時針轉(zhuǎn)動為正），即而不被

包圍的零點向量和極點向量的幅角變化均為0。若有

個零點和

個極點被

包圍，則有表明：在

平面上閉合曲線

逆時針繞原點

圈。幅角原理:設(shè)在s平面上閉合曲線不通過的任何零點和極點且包圍的個零點和個極點，則當(dāng)s沿順時針轉(zhuǎn)動一周時，在平面上閉合曲線逆時針繞原點的圈數(shù)滿足

5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。幅角原理應(yīng)用于控制系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，需要選取合適的輔助函數(shù)

。1.輔助函數(shù)

的選取設(shè)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則閉環(huán)傳遞函數(shù)為令輔助函數(shù)

為可見：輔助函數(shù)

是閉環(huán)特征多項式與開環(huán)特征多項式之比。

具有如下特點：（1）

的零點和極點分別是系統(tǒng)的閉環(huán)極點和開環(huán)極點。因此，要使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，

的所有零點都必須位于左半s平面上。（2）若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式階次分別為

和

，通常

，則

的零點數(shù)和極點數(shù)相同，均為

個。（3）

與開環(huán)傳遞函數(shù)

之間只相差常數(shù)1，所以

平面上的坐標原點就是

平面上的

點。當(dāng)s沿閉合曲線

順時針轉(zhuǎn)動一周時，在

平面上形成的閉合曲線

逆時針繞原點的圈數(shù)

就等于在

平面上形成的閉合曲線

逆時針繞點

的圈數(shù)。為了確定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，就要確定是否有閉環(huán)極點（即

的零點）在右半s平面上。根據(jù)幅角原理，可以在s平面上選取一條包圍整個右半s平面的閉合曲線

，將

的所有右零點（設(shè)有

個）和右極點（設(shè)有

個）包圍在內(nèi)；同時，在

平面上繪制閉合曲線

并確定

逆時針繞點

的圈數(shù)

。則有若，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。分兩種情況討論。2.閉合曲線

的選取和閉合曲線

的繪制（1）

無虛軸上極點

如圖所示，閉合曲線

由三部分組成。對應(yīng)的，

平面上閉合曲線

也由三部分組成。①正虛軸

，

從

變化。對應(yīng)的，在

平面上是系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

。③負虛軸

，

從

變化。對應(yīng)的，在

平面上是系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

關(guān)于實軸的鏡像。

實際系統(tǒng)分析中，只繪制

從

變化時系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

，如此得到的曲線稱為半閉合曲線，仍用

表示。不難得到，若半閉合曲線

逆時針繞

點的圈數(shù)為

，則②半徑無窮大的右半圓

，

從

變化。對應(yīng)的，在

平面上是原點（

時）或

點（

時），

為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。此點不影響

的確定，所以確定圈數(shù)

時不考慮。（2）

在虛軸上有極點以

含有積分環(huán)節(jié)為例進行說明。

如圖所示，閉合曲線在（1）的基礎(chǔ)上略作修改，即在原點附近取以原點為圓心、半徑為無窮小的右半圓

，

從

變化。同樣只繪制

從

變化時的半閉合曲線

，此時s取值需要先從

繞半徑無窮小的圓弧逆時針轉(zhuǎn)

到

，然后再沿虛軸到

。這樣需要補充

從

變化時小圓弧所對應(yīng)的半閉合曲線部分。當(dāng)s沿著無窮小圓弧從

逆時針轉(zhuǎn)動到

時，有

，對應(yīng)

平面上的曲線為可見：當(dāng)s沿著無窮小圓弧從

變化到

時，

角沿逆時針方向從

變化到

，對應(yīng)

平面上的曲線從

開始沿半徑無窮大圓弧順時針轉(zhuǎn)過

角度到

，也可以說，

平面上的曲線從

開始沿半徑無窮大圓弧逆時針轉(zhuǎn)過

角度到

。上述分析表明，半閉合曲線

由開環(huán)幅相特性曲線和根據(jù)積分環(huán)節(jié)個數(shù)所補作的無窮大半徑的虛圓弧兩部分組成。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：3.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

若開環(huán)傳遞函數(shù)

在s右半平面有

個極點，閉環(huán)傳遞函數(shù)

在

s右半平面有

個極點，當(dāng)頻率

從

變化時，半閉合曲線

不穿過

點且逆時針包圍

點的圈數(shù)為

，則有那么系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是

；否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。其中，可通過半閉合曲線

穿越

點左側(cè)負實軸的次數(shù)來確定。

：正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）

：負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），注意，若

由上向下起于或止于

點左側(cè)的負實軸，則為半次正穿越；若

由下向上起于或止于

點左側(cè)的負實軸，則為半次負穿越。當(dāng)半閉合曲線

穿過

點時，表明閉環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定，稱

為臨界點。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的步驟：

（1）由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定

和

；（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線；

（3）若

，補全半封閉曲線

。補線原則：從

點處開始逆時針作半徑無窮大、圓心角為

的圓弧；例5-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖所示。（3）由于，所以無需補線。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可知，隨

增大，

點自上向下起于

點左側(cè)負實軸，所以為半次正穿越，即

，而

，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。例5-15已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。若系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，指出其在右半平面的極點數(shù)。解：（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖中實線所示。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（3）由于，所以需補全半封閉曲線：從點處開始逆時針作半徑無窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線所示。由圖可知，隨

增大，A點自下向上穿越

點左側(cè)負實軸，即

，而

，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)在

右半平面有2個極點。該例題的分析表明，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開環(huán)增益

）無關(guān)，即無論系數(shù)如何變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，此系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。例5-16單位負反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中

。試利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與系統(tǒng)開環(huán)總增益的關(guān)系，并確定臨界穩(wěn)定時的開環(huán)總增益。解：根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖中實線所示。（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（3）由于，所以需補全半封閉曲線：從點處開始逆時針作半徑無窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線所示。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可知，隨

增大，

點自下向上穿越負實軸，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：該例題的分析表明，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開環(huán)增益

）有關(guān)，當(dāng)系數(shù)改變時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生變化，此系統(tǒng)為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)

即

時，

點穿越

點右側(cè)負實軸，所以

而

，因此

，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)

即

時，

點穿越

點左側(cè)負實軸，所以

而

，因此

，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個極點；當(dāng)

即

時，

點穿過

點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。5.4.3對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由于系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線與開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線存在一定的對應(yīng)關(guān)系，所以將奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)推廣運用，即可得到對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。1.開環(huán)幅相特性曲線與開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的對應(yīng)關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線（Nyquist圖）和開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）有如下對應(yīng)關(guān)系。（1）Nyquist圖的單位圓（

）對應(yīng)Bode圖的0dB線（

），單位圓的外部（

）對應(yīng)0dB線以上的部分（

），單位圓的內(nèi)部（

）對應(yīng)0dB線以下的部分（

）；（2）Nyquist圖的負實軸對應(yīng)Bode圖的（3）Nyquist圖的

點對應(yīng)Bode圖的

且

的點；

點的左側(cè)負實軸對應(yīng)Bode圖的

且的區(qū)域；

點的右側(cè)負實軸對應(yīng)Bode圖的

且的區(qū)域。（4）Nyquist圖的半封閉曲線

與Bode圖的對數(shù)幅頻特性曲線

和對數(shù)相頻特性曲線

的對應(yīng)關(guān)系。①若在

虛軸上無極點，

是系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。對應(yīng)地，

是開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

，

是開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

。

②若

含有

個積分環(huán)節(jié)，

在系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線的基礎(chǔ)上，需從

點起逆時針作半徑無窮大、圓心角為

的虛圓弧。對應(yīng)地，

仍是開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

，而

在開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

的基礎(chǔ)上，需從

點處向上補作

的虛直線。（5）Nyquist圖和Bode圖的正負穿越次數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。

①正穿越一次：Nyquist圖的半閉合曲線

從上向下穿越

點左側(cè)負實軸一次，對應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線從下向上穿越

線一次。

②負穿越一次：Nyquist圖的半閉合曲線

從下向上穿越

點左側(cè)負實軸一次，對應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線從上向下穿越

線一次。

③正穿越半次：Nyquist圖的半閉合曲線

從上向下起于或止于

點左側(cè)負實軸一次，對應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線從下向上起于或止于

線。

④負穿越半次：Nyquist圖的半閉合曲線

從下向上起于或止于

點左側(cè)負實軸一次，對應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線從上向下起于或止于

線。2.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)設(shè)

時，滿足

：截止頻率對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

若系統(tǒng)有

個s右半平面的開環(huán)極點，

個s右半平面的閉環(huán)極點，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)頻率

從

變化時，

且在

的范圍內(nèi)，

曲線穿越

線的次數(shù)滿足對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的步驟：

（1）由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定

和

；（4）依據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

和開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

；

（3）若

，補畫相頻特性曲線

。補線原則：從

點處向上補作

的虛直線；例5-17已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試利用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖中實線所示。（4）依據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（3）由于，所以需補畫相頻特性曲線：從點處向上補作的虛直線，如圖中虛線所示。因此該系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個極點。

由圖可知，隨

增大，在

的范圍內(nèi)，A點自上向下穿越

線，即

，而

，所以解：MATLAB程序如下：例5-18已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clearnum=[2,4];den=conv([1,1],[1,2,-3]);sys=tf(num,den);pzmap(sys);試繪制系統(tǒng)的Nyquist圖，并利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.4MATLAB實現(xiàn)1.利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)