自動控制原理 課件 第4章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析

第4章控制系統(tǒng)的根軌跡分析自動控制原理第4章控制系統(tǒng)的根軌跡分析4.1根軌跡法的基本概念4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.3廣義根軌跡4.4利用根軌跡分析系統(tǒng)性能4.5習題⑴掌握根軌跡的基本概念，理解根軌跡方程，能運用模值方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。⑵掌握繪制根軌跡的規(guī)則，能熟練運用根軌跡規(guī)則繪制系統(tǒng)根軌跡。⑶理解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。⑷理解閉環(huán)零、極點分布和階躍響應的定性關系，掌握運用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。學習目標：⑴根軌跡的基本概念和根軌跡方程。⑵繪制根軌跡的基本規(guī)則。⑶廣義根軌跡的繪制。⑷根據(jù)根軌跡分析系統(tǒng)的性能。本章重點：4.1根軌跡法的基本概念通過前面的分析可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性主要由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）決定。因此，研究閉環(huán)特征根在平面的分布可以間接分析控制系統(tǒng)的性能。對于高階系統(tǒng)而言，直接求解特征根非常困難。因此，有必要探索不解高次代數(shù)方程也能求出系統(tǒng)閉環(huán)特征根，進而分析控制系統(tǒng)性能的有效方法。WalterRichardEvans（1920-1999）1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根軌跡法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設計中得到廣泛的應用。這是一種由開環(huán)傳遞函數(shù)間接判斷閉環(huán)特征根的概略圖解法，從而避免了直接求解系統(tǒng)閉環(huán)特征根的困難。4.1.1根軌跡的定義根軌跡簡稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上變化的軌跡。7例子如圖4-1-1所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-1-1）開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點p1=0、p2=-2，沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征根

閉環(huán)傳遞函數(shù)（4-1-2）如果令開環(huán)增益K:0→∞，可以用解析的方法求出閉環(huán)極點的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標注在s平面上，并連成光滑的粗實線，如圖4-1-2所示。圖上，粗實線就稱為系統(tǒng)的根軌跡，根軌跡上的箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢，而標注的數(shù)值則代表與閉環(huán)極點位置相應的開環(huán)增益K的數(shù)值。利用圖4-1-2所示的系統(tǒng)根軌跡圖能方便地分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)K變化的規(guī)律。穩(wěn)定性：當K由0→∞變化時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點s1，s2均在s平面的左半平面，因此，系統(tǒng)對所有的K值均是穩(wěn)定的。動態(tài)性能：當0<K<0.5時，閉環(huán)極點s1，s2為兩個不相等的負實極點，系統(tǒng)過阻尼；當K=0.5時，閉環(huán)極點為兩個相等的負實極點，系統(tǒng)臨界阻尼；當K>0.5時，閉環(huán)極點為一對具有相同負實部的共軛復數(shù)極點，系統(tǒng)欠阻尼。穩(wěn)態(tài)性能：系統(tǒng)在坐標原點有一個開環(huán)極點，系統(tǒng)屬于Ⅰ型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。根軌跡與系統(tǒng)的特性有著密切的關系。有了系統(tǒng)的根軌跡，就可以了解系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的情況。4.1.2根軌跡方程系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)控制系統(tǒng)一般可用圖4-1-3所示的結構圖來描述。圖4-1-3閉環(huán)控制系統(tǒng)結構圖（4-1-2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-1-3）式中，K*是根軌跡增益，從零到無窮大變化；zi、pj分別是開環(huán)零點、開環(huán)極點。并假定n≥m。閉環(huán)特征方程即將式（4-1-3）帶入式（4-1-4），得

（4-1-5）滿足式（4-1-5）的點，必定是根軌跡上的點，稱式（4-1-5）為根軌跡方程。不難看出，式子為關于s的復數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。（4-1-4）模值方程相角方程（4-1-6）（4-1-7）方程（4-1-6）和（4-1-7）是根軌跡上的點同時滿足的兩個條件。根據(jù)這兩個條件，可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上對應的K*值。由式（4-1-7）可知，相角條件與根軌跡增益K*無關，因此，相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，而模值條件可以作為確定根軌跡上各點的K*值的依據(jù)。例4-1已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試判斷是否在根軌跡上。解：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點p1=0，p2=-2，p3=-5，無開環(huán)零點。將開環(huán)零、極點及K*同時標注在復平面上，如圖4-1-4所示。點s1若在根軌跡上，必須滿足相角條件。將p1、p2、p3帶入式(4-1-7)，得顯然，點s1不滿足相角條件，所以點s1不在根軌跡上。例4-2已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，確定根軌跡上點所對應的K*值。解：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-5，無開環(huán)零點。將根軌跡上點

代入式(4-1-6)，得得到根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復平面上的分布，即根軌跡。上面兩個例子說明如何應用根軌跡方程確定復平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應的K*值。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.2.1繪制根軌跡的基本規(guī)則通過根軌跡的繪制規(guī)則可用來求取根軌跡的起點和終點，根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性，實軸上的根軌跡，根軌跡的分離點和匯合點，根軌跡的漸近線，根軌跡的出射角和入射角，根軌跡與虛軸的交點等信息。特別指出是，用這些基本規(guī)則繪出的根軌跡，其相角遵循(2k+1)π條件，因此稱為180°根軌跡，以下的8條繪制規(guī)則稱為180°根軌跡的繪制規(guī)則。規(guī)則1根軌跡的起點與終點根軌跡始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。由根軌跡方程有：（4-2-1）→→

起點→→終點當n≥m時，有m條根軌跡趨向于開環(huán)零點（有限零點），另外n-m條根軌跡將趨于無窮遠處（無限零點）。證明：依據(jù)定義，根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上的變化軌跡，由閉環(huán)特征方程可知，其根的數(shù)目即為開環(huán)極點數(shù)，因而根軌跡的分支數(shù)必與開環(huán)極點數(shù)n相等。當K*從零到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)特征方程的某些系數(shù)也隨之連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然是連續(xù)的。因為特征方程的根為實數(shù)或為共軛復數(shù)，所以根軌跡必對稱于實軸。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)n相等，根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸。規(guī)則3實軸上某區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。證明：設一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。在實軸上任取一試驗點s0代入相角方程，則因為p4、p5為共軛復數(shù)極點，因而θ4=

θ5

，所以上式滿足相角條件，于是實軸上的點s0在根軌跡上。例4－3設一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=2。⑵系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點p1=0，p2=-5，一個開環(huán)零點z1=-1。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點p1和p2，一條終止于有限零點z1，另一條趨于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]和(-∞,-5]。繪制根軌跡如圖4-2-2所示。圖4-2-2例4-3的根軌跡規(guī)則4根軌跡的漸近線若開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則有(n-m)條根軌跡沿著一組直線趨于無窮遠，這些直線稱為根軌跡的漸近線。漸近線與實軸的交點為漸近線與正實軸方向的夾角（傾角）為例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2=-2，p3=-4，無開環(huán)零點，則有3條根軌跡沿漸近線趨于無窮遠處。漸近線與實軸的交點為漸近線與正實軸方向的夾角為

繪制根軌跡漸近線如圖4-2-3所示。圖4-2-3例4-4根軌跡漸近線

規(guī)則5根軌跡的分離點（或會合點）和分離角（或會合角）兩條或兩條以上根軌跡在s平面上相遇而又分開（或分開后又相遇）的點，稱為根軌跡的分離點（或會合點）。分離點（或會合點）的坐標d是下列方程的解。根軌跡進入分離點切線方向與離開分離點切線方向之間的夾角，稱為分離角（或會合角）。分離角（或會合角）可由(2k+1)π/l決定，l為趨向或離開實軸的根軌跡的分支數(shù)。（4-2-6）設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式（4-2-7）中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根軌跡在s平面相遇，說明根軌跡的分離點（或會合點）是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的重根，設重根為d，特征方程有重根的條件為另外，將式（4-2-8）和式（4-2-9）交叉相乘可得由式（4-2-10）也可以求出分離點。（4-2-7）（4-2-8）（4-2-9）（4-2-10）如何判斷在s平面上的根軌跡是否有分離點，及分離點可能產(chǎn)生的大概位置？根軌跡的分離點或位于實軸上，或以共軛形式成對出現(xiàn)在復平面中。一般情況下，常見的根軌跡分離點是位于實軸上的兩條根軌跡的分離點。⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次m=2，有2條根軌跡，1條漸近線。⑵系統(tǒng)有2個開環(huán)極點p1=0，p2=-1，一個開環(huán)零點z1=-2。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點p1和p2，一條終止于有限零點z1，另一條趨于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]和(-∞,-2]。⑷漸近線與實軸的交點為例4-5已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制概略根軌跡。解：漸近線與正實軸方向的夾角為⑸根軌跡分離點（或會合點）d1=-0.586，d2=-3.414。d1即為所求的根軌跡的分離點（或會合點），d2不在實軸根軌跡區(qū)間內(nèi)，則舍棄。⑹分離點（會合點）的分離角（會合角）均為±90°。繪制根軌跡如圖4-2-4所示。

規(guī)則6根軌跡的出射角和入射角根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角稱為出射角，記為。根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角稱為入射角，記為。根據(jù)根軌跡的相角條件可求出（4-2-11）（4-2-12）例4-6已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試繪制概略根軌跡。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=3，分母的階次n=4，有4條根軌跡，1條漸近線。⑵系統(tǒng)有4個開環(huán)極點p1=0，p2,3=-0.5±j1.5，p4=-2.5，3個開環(huán)零點z1=-1.5，z2,3=-2±j。4條根軌跡分別始于4個開環(huán)極點p1、p2、p3和p4，終止于開環(huán)零點z1、z2、z3和無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-2.5]和[-1.5,0]。⑷根軌跡的出射角和入射角根軌跡在p2處的出射角根據(jù)對稱性，則根軌跡在z2處的入射角根據(jù)對稱性，則根軌跡的出射角和入射角如圖4-2-5所示，繪制根軌跡如圖4-2-6所示。規(guī)則7根軌跡與虛軸的交點若根軌跡與虛軸相交，則交點處的K*和對應的ω值可用勞斯判據(jù)求得，或者令閉環(huán)特征方程中的s=jω，然后分別使其實部和虛部為零求得。根軌跡和虛軸交點表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時K*稱為臨界根軌跡增益。例4-7已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試繪制概略根軌跡。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3，有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2,3=-1±j，無開環(huán)零點。3條根軌跡分別始于3個開環(huán)極點p1、p2和p3，終止于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,0]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡無分離點（或會合點）。⑹根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則⑺根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為方法一列勞斯表為根據(jù)勞斯表可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為0<K*<4，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時K*=4，將其帶入輔助方程F(s)=2s2+K*=0求得。因此，根軌跡與虛軸交點為，對應的K*=4為臨界根軌跡增益。方法二令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程得根據(jù)顯然，兩種方法的計算結果一致。繪制根軌跡如圖4-2-7所示。規(guī)則8根之和與根之積若系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可以表示如下式（4-2-13）中，zi、pj分別為開環(huán)零、極點；sj為閉環(huán)極點，則有如下結論：⑴閉環(huán)特征根的負值之和，等于閉環(huán)特征方程式的第二項系數(shù)a1。若(n-m)≥2，根之和與開環(huán)根軌跡增益K*無關。⑵閉環(huán)特征根之積乘以(-1)n，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項an。（4-2-13）上述的結論可以表示為

式（4-2-14）表明，當K*由0→∞變化時，若一部分閉環(huán)極點在復平面向左移動，另外一部分必然向右移動，使其根之和保持不變。另外，當根軌跡增益K*為確定值時，若已知某些閉環(huán)極點，則應用根之和與根之積的關系可以確定出其他閉環(huán)極點。（4-2-14）例4-8已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試繪制概略根軌跡，并求臨界根軌跡增益及該增益對應的閉環(huán)極點。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3。有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2=-1

，p3=-10

，無開環(huán)零點。三條根軌跡分別始于3個開環(huán)極點p1、p2和p3，終止于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]，(-∞,-10]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點（或會合點）解得d1=-0.49,d2=-6.85（舍去）。由于滿足(n-m)≥2，閉環(huán)根之和為常數(shù)。當K*增大時，若一只根軌跡向左移動，則另外兩支根軌跡應該向右移動，因此分離點│d│<0.5是合理的。⑹根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程得根據(jù)可得，因此，根軌跡與虛軸交點為，對應的K*=110。當0<K*<110時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，K*=110為臨界根軌跡增益。求得。因此，根軌跡增益K*對應的3個閉環(huán)極點為和。根軌跡與虛軸的交點為對應的兩個閉環(huán)極點，第3個閉環(huán)極點可由根之和規(guī)則求得，即繪制根軌跡如圖4-2-8所示。例4-9已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制概略根軌跡。解：

⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=4。有4條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有4個開環(huán)極點p1=0，p2=1，，1個開環(huán)零點z1=-1。4條根軌跡分別始于4個開環(huán)極點p1、p2、p3和p4，終止于開環(huán)零點z1和無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-1],[0,1]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點（或會合點）解得

（舍去）⑹根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則⑺根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

令s1行的元素全為零，即

求得將其帶入輔助方程求得根軌跡與虛軸交點和繪制根軌跡如圖4-2-10所示。

4.2.2MATLAB實現(xiàn)根軌跡法是分析和設計控制系統(tǒng)的一種圖解方法，依據(jù)根軌跡規(guī)則可以較為簡便地手工繪制概略根軌跡，應用MATLAB軟件可以繪制精確的根軌跡圖。常見的繪制根軌跡函數(shù)包括rlocus、rlocfind和sgrid等。rlocus:繪制系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)rlocfind:計算與根軌跡上極點相對應的根軌跡增益函數(shù)sgrid:為連續(xù)時間系統(tǒng)的根軌跡添加網(wǎng)格線，包括等阻尼比線和等自然頻率線函數(shù)1.函數(shù)rlocus()在MATLAB中，提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)rlocus()，其調(diào)用格式如下。rlocus(sys)%繪制系統(tǒng)sys的根軌跡rlocus(sys,k)%增益向量k由用戶指定rlocus(sys1,sys2,…)%在同一個繪圖窗口中繪制模型sys1,sys2,…的根軌跡[r,k]=rlocus(sys)%計算sys的根軌跡數(shù)據(jù)值，返回值k為增益向量，r為閉環(huán)極點向量，但不繪制根軌跡r=rlocus(sys,k)%計算sys的根軌跡數(shù)據(jù)值，增益向量k由用戶指定2.函數(shù)rlocfind()在MATLAB中，提供了計算與根軌跡上極點相對應的根軌跡增益函數(shù)rlocfind()，其調(diào)用格式如下。[k,poles]=rlocfind(sys)%求取根軌跡上指定點的增益k，并將顯示%該增益下所有的閉環(huán)極點poles。[k,poles]=rlocfind(sys,p)%對給定p計算返回對應的增益k和k所

%對應的全部極點poles。3.函數(shù)sgrid()在MATLAB中，提供了為連續(xù)時間系統(tǒng)的根軌跡添加網(wǎng)格線，包括等阻尼比線和等自然頻率線函數(shù)sgrid()，其調(diào)用格式如下。sgrid%為根軌跡添加網(wǎng)格線sgrid(z,wn)%為根軌跡添加網(wǎng)格線，等阻尼比范圍和等自然頻率%范圍分別由向量z和wn指定。說明：缺省情況下，等阻尼比步長為0.1，范圍0-1。等自然頻率步長為1，范圍為0-10，也可以由向量z和wn分別指定其范圍。例4-10已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。clc;clearnum=[124];den=conv(conv([140],[16]),[11.41]);G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡p=pole(G)%開環(huán)系統(tǒng)的極點z=zero(G)%開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的零點%計算漸近線與實軸的交點sigma=(sum(p)-sum(z))/(length(p)-length(z))解：輸入以下MATLAB命令p=0-6.0000-4.0000-0.7000+0.7141i-0.7000-0.7141iz=-1.0000+1.7321i-1.0000-1.7321isigma=-3.1333Kc=15.615367.5209163.5431wc=1.21322.15103.7551%%計算臨界穩(wěn)定點的根軌跡增益與虛軸的交點AG=allmargin(G);%臨界根軌跡增益Kc=AG.GainMargin%根軌跡與虛軸的交點頻率wc=AG.GMFrequency程序運行結果如圖4-2-10所示。由根軌跡圖可知，當和范圍時，系統(tǒng)穩(wěn)定。4.3廣義根軌跡180°根軌跡繪制規(guī)則，通常也稱為常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，是基于負反饋條件下根軌跡增益K*變化時的根軌跡繪制方法。當系統(tǒng)是基于正反饋條件下，或者其他參數(shù)作為變量（開環(huán)零、極點，時間常數(shù)，反饋系數(shù)等）時的根軌跡（包括參數(shù)根軌跡和零度根軌跡），稱為廣義根軌跡。4.3.1參數(shù)根軌跡以非根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的規(guī)則與繪制常規(guī)根軌跡的規(guī)則完全相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有規(guī)則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。假設負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為討論以參數(shù)β變化的根軌跡，將式（4-3-1）進行等效變換，即根據(jù)式（4-3-2）得等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由式（4-3-3）可以繪制系統(tǒng)可變參數(shù)β的根軌跡。特別指出，等效開環(huán)傳遞函數(shù)是根據(jù)式（4-3-1）得來的。等效的含義僅在于其閉環(huán)極點相同，而閉環(huán)零點通常是不同的。因此，根據(jù)閉環(huán)零、極點分布分析系統(tǒng)的性能時，可以采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點，但必須采用原來閉環(huán)系統(tǒng)的零點。（4-3-1）（4-3-2）（4-3-3）例4-11已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求K=0.25時，參數(shù)α變化時的根軌跡。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為將上式整理后，得

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

當K=0.25時,

⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3。有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2,3=-0.5，無開環(huán)零點。3條根軌跡分別始于3個開環(huán)極點p1、p2和p3，終止于無窮遠處。解：⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是（-∞,0]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點（或會合點）解得分離點坐標為

⑹根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

令s1行的元素全為零，得到系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時а=1，將其帶入輔助方程求得s1,2=±j0.5。繪制根軌跡如圖4-3-1所示。圖4-3-1例題4-11參量a的根軌跡4.3.2零度根軌跡開環(huán)零、極點有位于s右半平面的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)可能出現(xiàn)在有局部正反饋環(huán)節(jié)存在的情況。研究非最小相位系統(tǒng)有時不能采用180°根軌跡繪制規(guī)則來繪制系統(tǒng)的根軌跡，因為其相角遵循條件，而不是條件，故一般稱為零度根軌跡。設某正反饋控制系統(tǒng)如圖4-3-2所示。圖4-3-2正反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

根軌跡方程（閉環(huán)系統(tǒng)特征方程）為

即式（4-3-5）可以寫為

把式（4-3-6）稱為零度根軌跡方程。式（4-3-6）還可寫成模值方程和相角方程。（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）模值方程相角方程（4-3-8）（4-3-7）將式（4-3-7）和式（4-3-8）與常規(guī)根軌跡的式（4-1-6）和式（4-1-7）相比，僅相角方程不同。因此，應用常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則繪制零度根軌跡，對于與相角方程有關的一些規(guī)則需要進行適當調(diào)整，應修改的規(guī)則如下。規(guī)則3實軸上的根軌跡實軸上某區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。規(guī)則4根軌跡的漸近線若開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則(n-m)條漸近線與正實軸方向的夾角（傾角）為（4-3-9）規(guī)則6根軌跡的出射角和入射角除上述3個規(guī)則，其他規(guī)則不變。（4-3-10）（4-3-11）根據(jù)零度根軌跡的相角條件可求出、分別為例4-12已知單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分別畫出正反饋和負反饋系統(tǒng)的根軌跡圖，并指出它們的穩(wěn)定性有何不同。系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=-3，p2,3=-1±j，1個開環(huán)零點z1=-2。⑴正反饋系統(tǒng)

①實軸上，根軌跡區(qū)間是。②漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為解：③根軌跡分離點（或會合點）

解得，④根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則。（舍去）⑤根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為0<K*<3，根軌跡與虛軸的交點s=0。繪制根軌跡如圖4-3-3(a)所示。⑵負反饋系統(tǒng)

①實軸上，根軌跡區(qū)間是。②漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為③根軌跡無分離點（或會合點）。④根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則⑤根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為K*>0，根軌跡與虛軸無交點。繪制根軌跡如圖4-3-3(b)所示。綜上，對于正反饋系統(tǒng)，當0<K*<3時，系統(tǒng)穩(wěn)定；對于負反饋系統(tǒng)，當K*

>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)正反饋系統(tǒng)(b)負反饋系統(tǒng)圖4-3-3例4-12的根軌跡例4-13已知單位負反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)⑴利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。⑵判斷是否在根軌跡上。⑶由根軌跡求出使系統(tǒng)阻尼比時的a值。4.3.2MATLAB實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

解：輸入以下MATLAB命令：clc;clearnum=[10];den=[1016];G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡%%計算阻尼比為0.707對應參數(shù)asgrid(0.707,[])a=rlocfind(G)程序運行結果如圖4-3-4所示。⑴繪制系統(tǒng)的根軌跡根據(jù)圖4-3-4可知，系統(tǒng)根軌跡是以開環(huán)零點為圓心，半徑為4的一個半圓。根軌跡的分離點d=-4，對應的參數(shù)a=8。根軌跡與虛軸的交點為±j4，對應參數(shù)a=0。因此系統(tǒng)穩(wěn)定條件為a>0。由圖4-3-4可知，點到原點的距離為2，沒在半圓上，所以不是根軌跡上的點。⑶由根軌跡求出使系統(tǒng)阻尼比ζ=0.707時的a值。閉環(huán)特征方程為

對應求出ωn=4rad/s，a=5.656。⑵判斷是否在根軌跡上。Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-2.8221+2.8236ia=5.6553由程序運行結果可知，

ζ=0.707時，a=5.6553。例4-14已知單位正反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：輸入以下MATLAB命令clc;clearnum=[-1-1];den=conv(conv([100],[12]),[14]);G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)根軌跡%%開環(huán)系統(tǒng)的極點p=pole(G);%%開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的零點z=zero(G);%%計算漸近線與實軸的交點sigma=(sum(p)-sum(z))/(length(p)-length(z))程序運行結果如圖4-3-5所示。sigma=-1.6667綜上，系統(tǒng)有4個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點。漸近線與實軸交點為-1.667，漸近線傾角為0°、±120°。根軌跡的分離點d=-0.38，對應根軌跡增益為K*=4.53。由于有1條根軌跡始終在s右半平面，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.4利用根軌跡分析系統(tǒng)性能應用根軌跡法，可以確定系統(tǒng)在根軌跡增益或其他參數(shù)變化時閉環(huán)極點的位置，從而得到相應的閉環(huán)傳遞函數(shù)，定性地分析系統(tǒng)性能，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。1.用根軌跡分析系統(tǒng)階躍響應利用根軌跡法可以確定系統(tǒng)中參數(shù)變化時閉環(huán)極點的分布規(guī)律，以及對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。下面通過例4-15說明如何應用根軌跡分析系統(tǒng)在階躍信號作用下的動態(tài)過程。4.4.1利用根軌跡分析系統(tǒng)性能例4-15已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)⑴繪制系統(tǒng)根軌跡;⑵試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍，并分析K*對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。將開環(huán)傳遞函數(shù)化為時間常數(shù)標準形式，得將上式整理后，得

解：⑴繪制系統(tǒng)根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=2，有兩條根軌跡，一條漸近線。②系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點p1=0，p2=3，一個開環(huán)零點z1=-1。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點p1和p2，一條終止于開環(huán)零點z1，另一條趨于無窮遠處。③實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-1]和[0,3]。④根軌跡分離點（或會合點）

解得分離點坐標為⑤根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程D(s)根據(jù)可得因此，根軌跡與虛軸交點為，對應的K*=3為臨界根軌跡增益。繪制根軌跡如圖1所示。⑵分析系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)過程由圖4-4-1可知，當根軌跡增益K*>3，相應開環(huán)增益K>1時，閉環(huán)特征根具有負實部，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。利用模值方程求得分離點d2=-3處對應的根軌跡增益為

此時，對應的開環(huán)增益由圖4-4-1可見，當K≥3時，閉環(huán)特征根有兩個不相等的負實根或者兩個相等的負實根，此時，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應中無振蕩分量，但有超調(diào)；當1<K<3時，特征根有一對實部為負的共軛復根，系統(tǒng)的響應為衰減振蕩；當K=1時，特征根有一對共軛虛根，系統(tǒng)的響應為等幅振蕩；當0<K<1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。⑶K*=10時系統(tǒng)的閉環(huán)極點和單位階躍響應當K*=10時，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)閉環(huán)極點為s1=-2，s2=-5。系統(tǒng)單位階躍響應的拉普拉斯變換為

進行拉普拉斯反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應為由此可見，當K*=10時，系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的響應無振蕩分量，但有超調(diào)。若令，得峰值時間此時超調(diào)量為可見，利用根軌跡可以很方便地分析根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

2.用閉環(huán)主導極點估算系統(tǒng)的性能指標如果高階系統(tǒng)閉環(huán)極點滿足具有閉環(huán)主導極點的分布規(guī)律，就可以忽略非主導極點及偶極子的影響，將高階系統(tǒng)近似看作一、二階系統(tǒng)，可以較為簡便地計算（或估算）出系統(tǒng)的各項性能指標。例4-16已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為⑴試繪制系統(tǒng)根軌跡。⑵試計算阻尼比ζ=0.5時的系統(tǒng)動態(tài)性能指標。⑶計算此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時間常數(shù)形式，得

⑴繪制根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3，有3條根軌跡，3條漸近線。②系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2，無開環(huán)零點。3條根軌跡始于開環(huán)極點，趨于無窮遠處。③實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-2]和[-1,0]。④漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑤根軌跡分離點（或會合點）

解得（舍去）⑥根軌跡與虛軸的交點閉環(huán)特征方程為

令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程根據(jù)可得因此，根軌跡與虛軸的交點為，對應的K*=6為臨界根軌跡增益。繪制根軌跡如圖4-4-2所示。

⑵計算ζ=0.5時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為了滿足阻尼比ζ=0.5的條件，首先作出ζ=0.5的等阻尼線，它與負實軸的夾角，如圖4-4-2所示。等阻尼線與根軌跡的交點坐標為s1和s2。設復數(shù)極點s1,2=σ±jω，從根軌跡上可得交點s1的坐標滿足求得，則。設第3個閉環(huán)極點為s3，由根之和條件可得即

閉環(huán)特征方程為

比較系數(shù)有因此，當ζ=0.5時，解得閉環(huán)極點s1,2=-0.333±j0.577，s3=-2.334，對應K*=1.037。當K*=1.037時系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由s1,2=-0.333±j0.577和s3=-2.334可見，s3至虛軸的距離是s1（或s2）至虛軸的距離的7倍，滿足閉環(huán)主導極點的條件。因此，s1,2可認為是系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點，可以根據(jù)閉環(huán)主導極點來估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為二階系統(tǒng)的形式，即由此可得二階系統(tǒng)阻尼比ζ=0.5，無阻尼振蕩頻率ωn=0.666rad/s。在單位階躍信號作用下二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為⑶計算ζ=0.5時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為

系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為3.用根軌跡計算系統(tǒng)的參數(shù)利用根軌跡法可以計算在一定性能指標下的系統(tǒng)參數(shù)。這里通過例4-17來討論如何根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標來確定系統(tǒng)的參數(shù)。例4-17已知單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

⑴試確定系統(tǒng)響應為等幅振蕩K的取值及振蕩頻率。⑵若要求閉環(huán)系統(tǒng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)增益K的范圍。⑶能否通過選擇K滿足調(diào)節(jié)時間的要求？⑷能否通過選擇K滿足誤差系數(shù)的要求？解：將開環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點標準形式，得

⑴繪制系統(tǒng)根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=4。有4條根軌跡，4條漸近線。②系統(tǒng)有4個開環(huán)極點p1,2,3,4=-2，無開環(huán)零點。4條根軌跡趨于無窮遠處。③實軸上無根軌跡。④漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為⑥根軌跡的出射角

得⑦根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時K*=64，將其帶入輔助方程

即得s1,2=±j2繪制根軌跡如圖4-4-3所示。系統(tǒng)響應為等幅振蕩，即根軌跡與虛軸相交，臨界根軌跡增益K*=64，對應的開環(huán)增益K=4，振蕩頻率ω=2rad/s。

⑵由根軌跡可見，系統(tǒng)存在一對閉環(huán)主導極點，系統(tǒng)的性能可以由二階系統(tǒng)性能指標公式近似估算。根據(jù)解得ζ=0.5，等阻尼角，如圖4-4-3所示。設閉環(huán)極點s1,2=-α±jω，由根軌跡圖可知交點是s1的坐標滿足求得α=0.732，ω=1.268,則s1,2=-0.732±j1.268?？稍O另外兩個閉環(huán)極點為s3,4=-γ±jω,由根之和條件可得γ=3.268，則s3,4=-3.268±j1.268

顯然s3,4至虛軸的距離約是s1,2至虛軸的距離的5倍，滿足閉環(huán)主導極點的條件。因此，s1,2可認為是系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點。當ζ=0.5時對應的K*值可由模值方程求出，即將s1代入模值方程可得

得到K*=10.34，相應K=0.646。綜上所述，當開環(huán)增益取K≤0.646時，最大超調(diào)量滿足σ%≤16.3%。⑶要求

，即。表明閉環(huán)主導極點必須位于s平面左半部分，且距離虛軸大于(0.75-1)，即可滿足要求。由圖4-4-3可知，在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，閉環(huán)主導極點的實部絕對值均小于2，所以能通過選擇K滿足ts≤4s的要求。⑷由于臨界穩(wěn)定根軌跡增益為K*=64，所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的位置誤差系數(shù)應滿足故不能通過選擇K滿足誤差系數(shù)的要求。

4.4.2開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)特性與根軌跡的形狀密切相關，而開環(huán)零、極點的分布決定著根軌跡的形狀。因此，在系統(tǒng)中適當?shù)卦黾娱_環(huán)零、極點或者改變開環(huán)零、極點在s平面的位置，可以改變根軌跡的形狀，從而改善系統(tǒng)的性能。1.開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響通過例4-18來說明增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響。例4-18某單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為在該系統(tǒng)中分別增加開環(huán)零點z為，試分析增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響。解：4個系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及根軌跡如圖4-4-4所示。從圖4-4-4可以看出，增加開環(huán)零點可以減少漸近線的條數(shù)，改變漸近線傾角及與實軸的交點；一般使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，且開環(huán)零點越靠近虛軸，這種作用越顯著。因此，適當?shù)匾腴_環(huán)零點，可以對系統(tǒng)的性能有所改善。因此，適當?shù)匾敫郊恿泓c，可以對系統(tǒng)的性能有所改善。2.開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響通過例4-19來說明增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響。例4-19某單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，在該系統(tǒng)中分別增加開環(huán)極點p為，試分析增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響。解：4個系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及根軌跡如圖4-4-5所示。從圖4-4-5可以看出，增加開環(huán)極點改變了漸近線的條數(shù)、傾角及與實軸的交點；一般使根軌跡向右偏移，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，且附加極點離虛軸越近，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差，響應速度越慢。因此，在系統(tǒng)設計時一般不單獨增加開環(huán)極點。3.偶極子對系統(tǒng)性能的影響在控制系統(tǒng)的綜合設計中，偶極子的概念是十分有用的?？梢栽谙到y(tǒng)中加入適當?shù)牧泓c，以抵消對動態(tài)過程影響較大的不利極點，使系統(tǒng)的動態(tài)性能得以改善。附加偶極子對系統(tǒng)性能的影響通過例4-20來說明。例4-20已知某比例積分控制系統(tǒng)如圖4-4-6所示，利用根軌跡分析控制系統(tǒng)性能。解：當控制器為比例控制時，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，其單位階躍響應存在穩(wěn)態(tài)誤差，即穩(wěn)態(tài)誤差。當控制器為比例積分控制時，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其單位階躍響應穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中，z為開環(huán)零點。下面比較開環(huán)零點z分別為-4,-0.5,-1.2，阻尼比ζ=0.5時的系統(tǒng)性能。不加比例積分控制器（相當于）的原系統(tǒng)，加入比例積分控制器（相當于系統(tǒng)加入開環(huán)零點z分別為-4,-0.5,-1.2）的系統(tǒng)的根軌跡如圖4-4-7所示。設等阻尼線ζ=0.5(此時)與根軌跡的交點為s1則代入閉環(huán)特征方程

令其實部和虛部分