湖北省2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)診斷性考試試卷

Page31湖北省2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)診斷性考試試卷本試題卷共5頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上相應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.★?？荚図槷?dāng)★一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選、不選、多選均不得分.1.已知，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?，故設(shè)，此時(shí)，令，則的解，其中故為的兩個(gè)根，故，所以，解得，故選B.2.歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）是瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，是英國(guó)科學(xué)期刊《物理世界》評(píng)比出的十大最宏大的公式之一.依據(jù)歐拉公式可知，復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C. D.【答案】C【詳解】復(fù)數(shù)ii的虛部為．故選C．3.如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】依據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因?yàn)槭且訟C為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點(diǎn)，設(shè)為，設(shè)的外心為，中點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以必在連線上，則，即，因?yàn)閮善矫娼痪€為，為平面所在圓面中心，所以，，又因?yàn)槎娼堑拇笮?，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B4.已知是方程的兩根，有以下四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；丁：.假如其中只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，則甲：；丙：.若乙?丁都是真命題，則，所以，，兩個(gè)假命題，與題意不符，所以乙?丁一真一假，假設(shè)丁是假命題，由丙和甲得，所以，即，所以，與乙不符，假設(shè)不成立；假設(shè)乙是假命題，由丙和甲得，又，所以，即與丙相符，假設(shè)成立；故假命題是乙，故選：．5.如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動(dòng)點(diǎn)M從B1點(diǎn)動(dòng)身，在正方體表面沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后，再回到B1的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M與平面A1DC1的距離保持不變，運(yùn)動(dòng)的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿意函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】由于點(diǎn)M與平面A1DC1的距離保持不變，且從B1點(diǎn)動(dòng)身，因此點(diǎn)M沿著運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P為B1C的中點(diǎn)，當(dāng)M從B1到P時(shí)，如圖所示在平面A1B1CD內(nèi)，作點(diǎn)A1關(guān)于B1B的對(duì)稱點(diǎn)A′，則MA1+MD＝MA′+MD，由圖象可知，當(dāng)M從B1到P時(shí)，MA1+MD是減小的，MC1是由大變小的，所以當(dāng)M從B1到P時(shí)，l＝MA1+MC1+MD是漸漸減小的，故解除B，D；因?yàn)镻C1是定值，MC1，函數(shù)是減函數(shù)，類似雙曲線形式，所以C正確；故選：C6.若正實(shí)數(shù)a，b滿意，且，則下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)椋瑸閱握{(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还埽€是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕Y(jié)論得證，D正確故選：D7.已知，，．若，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【詳解】令，依題意，，而，則，因，則有點(diǎn)C在半徑為1，所含圓心角為的扇形的弧上，如圖，因，則表示直線上的點(diǎn)Q與直線上的點(diǎn)P間距離，、分別是點(diǎn)C到點(diǎn)Q，P的距離，因此，表示三點(diǎn)Q，P，C兩兩距離的和，作點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱點(diǎn)N，關(guān)于直線OB對(duì)稱點(diǎn)M，連MN交OA，OB分別于點(diǎn)F，E，連FC，EC，ON，OM，則有，令，則，，于是得，而，由余弦定理得，因此，，對(duì)于直線上隨意點(diǎn)Q、直線上隨意點(diǎn)P，連接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，則，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與F重合且點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)取“=”，從而得，所以的最小值為.故選：D8.對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由，∴時(shí),，∴，∴，時(shí)，也成立，∴，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，∵對(duì)隨意的恒成立，∴，即，即，即，即，即對(duì)隨意的恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，因?yàn)?，∴，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，，當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，因?yàn)椋?，所以，綜上可得：實(shí)數(shù)p的取值范圍為．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題意，全選得5分，漏選得2分，錯(cuò)選、不選均不得分.9.已知隨機(jī)變量的取值為不大于的非負(fù)整數(shù)，它的概率分布列為……其中滿意，且．定義由生成的函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，為隨機(jī)變量的期望．現(xiàn)有一枚質(zhì)地勻稱的正四面體型骰子，四個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4個(gè)點(diǎn)數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點(diǎn)數(shù)之和為，此時(shí)由生成的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】CD【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，，令時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；連續(xù)拋擲兩次骰子，向下點(diǎn)數(shù)之和為，則的分布列為：故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D正確.故選：CD.10.已知定義在上的函數(shù)滿意，則下列不等式肯定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【詳解】由，得，設(shè)，則,設(shè)，則在上為增函數(shù),且，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，故由，即，A正確；由，得，即，B錯(cuò)誤；與不在一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，C中算式無法比較大小，C錯(cuò)誤；由，得，即，D正確．故選：AD11.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則下列說法中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.線段長(zhǎng)度取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為D.設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為【答案】BC【解析】【詳解】因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、設(shè)點(diǎn)、，其中，.對(duì)于A選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得，且，，，解得，不合乎題意，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，其中、，即，即，可得，，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，則，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，如下圖所示：在直三棱柱中，四邊形為矩形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，且，同理且，且，所以，，故幾何體為三棱臺(tái)，，，，，因此，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，則點(diǎn)到直線的距離為，，則點(diǎn)到直線的距離為，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D錯(cuò).故選：BC.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn)（其中在的上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線于點(diǎn).則（）A.若，則直線的斜率為B.C.若是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為D.若不是線段的三等分點(diǎn)，則肯定有【答案】ABC【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，，，由得，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，則可得,且，，所以，即，且，解得，得，所以，且所以，故A正確,又因?yàn)?，，故直線方程為，又因?yàn)楣簿€，所以，，同理可得，，，所以，,即，故B正確.若是線段的三等分點(diǎn)，則,，，又，，，，所以，解得，，故C正確.由，得，即，所以，，又，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.正三角形中，為中點(diǎn)，為三角形內(nèi)滿意的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為______.【答案】【詳解】不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，，，即，點(diǎn)軌跡為：，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，令，則表示與連線的斜率，設(shè)直線與圓相切，則圓心到直線距離，解得：或，，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，；綜上所述：的最小值為.故答案為：.14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為___________.【答案】【詳解】雙曲線C與直線有交點(diǎn)，則，，解得，雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則點(diǎn)在右支上，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性，所以，所以，，所以，由得，所以，又中，，，所以，即，綜上，．故答案為：．15.已知集合，對(duì)于集合的兩個(gè)非空子集，，若，則稱為集合的一組“互斥子集”.記集合的全部“互斥子集”的組數(shù)為（視與為同一組“互斥子集”）.那么______.【答案】【詳解】依據(jù)題意，隨意一個(gè)元素只能在集合之一中，則這個(gè)元素在集合中，共有種；其中為空集種數(shù)為，為空集的種數(shù)為個(gè)，故可得均為非空子集的種數(shù)為，又因?yàn)榕c為同一組“互斥子集，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義，涉及排列組合的求解，屬綜合中檔題.16.已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【詳解】易知，將原不等式變形：，，可得，即，其中.設(shè)，則，原不等式等價(jià)于.當(dāng)時(shí)，原不等式明顯成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，恒成立，設(shè)，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿意.（1）求證：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.【小問2詳解】由（1）得，∴，，由（1），得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.18.如圖，在幾何體中，平面平面，.四邊形為矩形.在四邊形中，，，.（1）點(diǎn)在線段上，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為（2）【小問1詳解】解：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面不妨設(shè)，則.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過D與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，所以，.因?yàn)椋?，解?故存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為【小問2詳解】解：設(shè)平面的法向量，則，即，不妨取，則.設(shè)，，則，.直線與平面所成的角為，則.…令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.19.若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于隨意的，都有成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【小問1詳解】時(shí)，，且，解得，（舍去），，，化簡(jiǎn)可得時(shí)，，，，，，，累加可得，，又，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，又因?yàn)椋?，所以，，，時(shí)，適合該式，故.【小問2詳解】由（1）得，（此處不等關(guān)系是因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，故上式中等號(hào)取不到），，，因?yàn)椋?，即，所以，即，所以?shù)列是遞減數(shù)列，所以，因?yàn)椋加谐闪?，所?20.某企業(yè)安排新購(gòu)買100臺(tái)設(shè)備，并將購(gòu)買的設(shè)備安排給100名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益也不同.若用變量x表示不同技工的年齡，變量y為相應(yīng)的效益值（元），依據(jù)以往統(tǒng)計(jì)閱歷，他們的工作效益滿意最小二乘法，且y關(guān)于x的線性回來方程為.（1）試預(yù)料一名年齡為52歲的技工運(yùn)用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益；（2）試依據(jù)r的值推斷運(yùn)用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性不強(qiáng)）；（3）若這批設(shè)備有A，B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.【答案】（1）元（2）很強(qiáng)（3）萬元【解析】【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.所以預(yù)料一名年齡為歲的技工運(yùn)用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益為元【小問2詳解】由題得，所以，所以.因?yàn)?，所以與線性相關(guān)性很強(qiáng).所以運(yùn)用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng).【小問3詳解】設(shè)增加的生產(chǎn)成本為（萬元)，則的可能取值為，，，.，，，.所以（萬元)，所以這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望為萬元.21.已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過，故，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.22.已知函數(shù).（1）探討極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明:.【答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】,則,明顯不是的零點(diǎn),令,則,在單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)