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文檔簡介
課時(shí)作業(yè)40空間幾何體的表面積和體積[基礎(chǔ)落實(shí)練]一、選擇題1.如圖所示的扇形是某個(gè)圓錐的側(cè)面綻開圖,已知扇形所在圓的半徑R=eq\r(5),扇形弧長l=4π,則該圓錐的表面積為()A.2πB.(4+2eq\r(5))πC.(3+eq\r(5))πD.8π+eq\r(5)2.[2024·杭州市教學(xué)質(zhì)量檢測]某幾何體有三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.1B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)3.[2024·貴州高三測試]如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為16,當(dāng)細(xì)沙全部在上面的圓錐內(nèi)時(shí),其高度為圓錐高度的eq\f(1,2)(中間連接的細(xì)管長度忽視不計(jì)).當(dāng)細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此沙堆的側(cè)面積為()A.4eq\r(5)πB.8eq\r(5)πC.32eq\r(17)πD.16eq\r(17)π4.[2024·北京昌平區(qū)檢測]《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)著作,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:在屋內(nèi)墻角處堆放米,米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積及堆放的米各為多少?已知米堆所形成的幾何體的三視圖如圖所示,一斛米的體積約為1.62立方尺,由此估算出堆放的米約有()A.21斛B.34斛C.55斛D.63斛5.[2024·沂水縣第一中學(xué)高三模擬]阿基米德是古希臘宏大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家,是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人,和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,他在不知道球體積公式的狀況下得出了圓柱容球定理,即圓柱內(nèi)切球(與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球)的體積等于圓柱體積的三分之二.那么,圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)6.[2024·普寧市其次中學(xué)檢測]三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=30°,△APC的面積為3,則三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為()A.eq\f(32\r(3)π,3)B.eq\f(4\r(3)π,3)C.8eq\r(6)πD.32eq\r(6)π7.[2024·四川雅安市測試]在四面體ABCD中,已知平面ABD⊥平面ABC,且AB=AD=DB=AC=CB=4,其外接球表面積為()A.eq\f(40,3)πB.eq\f(80,3)πC.16πD.20π二、填空題8.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A,BC為圓錐底面圓O的直徑,點(diǎn)P為圓O上的一點(diǎn)(異于B、C),若BC=4eq\r(3),三棱錐A-PBC的外接球表面積為64π,則圓錐的體積為________.9.[2024·貴州省思南中學(xué)高三月考]我國古代有一種容器叫“方斗”,“方斗”的形態(tài)是一種上大下小的正四棱臺(tái)(兩個(gè)底面都是正方形的四棱臺(tái)),假如一個(gè)方斗上底邊長為4分米,下底邊長為2分米,高為3分米,則該方斗的外接球的表面積為________平方分米.10.如圖是一個(gè)以ABE為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體,截面為CDF,已知AD=4,BC=AE=BE=2,EF=3且∠AEB=90°,則所得的幾何體的體積為________.[素養(yǎng)提升練]11.[2024·河南省高考適應(yīng)性測試]棱長為4的正方體密閉容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球,小球可在正方體容器內(nèi)隨意運(yùn)動(dòng),則其不能到達(dá)的空間的體積為()A.32-eq\f(22,3)πB.48-12πC.28-eq\f(4,3)πC.20-eq\f(13,3)π12.[2024·長春市高三質(zhì)量監(jiān)測]“中國天眼”是我國具有自主學(xué)問產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡(如圖),已知“中國天眼”的形態(tài)為冠(球冠是球面被平面所截面剩下的曲面,截得的圓為底,垂直于圓面的直徑被截得的部分為高),設(shè)球冠底面圓的半徑為r,球冠的高為h,則球的半徑R=________.13.[2024·云南曲靖一中高三模擬]如圖,蹴鞠,又名“鞠球”“鞠圓”等,“蹴”有用腳蹴、踢的含義,“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng),類似今日的踢足球活動(dòng).已知各頂點(diǎn)都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面邊長為a,高為h,球的體積為36π,則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積的最大值為________.14.現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形態(tài)是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少?15.如圖所示,菱形ABCD的邊長為2,將△ACD沿對(duì)角線AC折起使平面ACD′⊥平面ACB,求此時(shí)空間四面體ABCD′體積的最大值.課時(shí)作業(yè)40空間幾何體的表面積和體積1.解析:設(shè)圓錐底面圓半徑為r,則2πr=4π,解得r=2,∴圓錐的表面積S表=S底面圓+S側(cè)=πr2+eq\f(1,2)lR=π×22+eq\f(1,2)×4π×eq\r(5)=(4+2eq\r(5))π.答案:B2.解析:由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)四棱錐,且其中一條側(cè)棱垂直于底面,所以其體積V=eq\f(1,3)×12×1=eq\f(1,3).答案:B3.解析:細(xì)沙在上部容器時(shí)的體積V=eq\f(1,3)×π×42×8=eq\f(128π,3),流入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設(shè)高為h1,則eq\f(1,3)×π×82·h1=eq\f(128π,3),所以h1=2,下部圓錐形沙堆的母線長l=eq\r(82+22)=2eq\r(17),故此沙堆的側(cè)面積S側(cè)=π×8×2eq\r(17)=16eq\r(17)π.答案:D4.解析:設(shè)圓錐的底面eq\f(1,4)圓的半徑為r,則eq\f(π,2)r=8,解得r=eq\f(16,π),故米堆的體積為eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×(eq\f(16,π))2×5=eq\f(320,3π)(立方尺).∵1斛米的體積約為1.62立方尺,∴eq\f(320,3π)÷1.62≈21(斛).答案:A5.解析:設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,則圓柱的表面積為S=2πR2+2πR·2R=6πR2,球的表面積為S球=4πR2.所以,圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為eq\f(4πR2,6πR2)=eq\f(2,3).答案:C6.解析:設(shè)AC=x,因?yàn)椤鰽PC的面積為3,所以PA=eq\f(6,x),∠ABC=30°,利用正弦定理得eq\f(AC,sin30°)=2x=2r,所以三角形ABC外接圓半徑為r=x,PA⊥平面ABC,所以球心O到平面ABC的距離為d=eq\f(1,2)PA=eq\f(3,x),設(shè)球O的半徑為R,則R=eq\r(r2+d2)=eq\r(x2+\f(9,x2))≥eq\r(2×3)=eq\r(6),當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\r(3)時(shí),等號(hào)成立,故三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為eq\f(4,3)π(eq\r(6))3=8eq\r(6)π.答案:C7.解析:四面體ABCD中,取AB的中點(diǎn)E,連CE,DE,如圖:因AB=AD=DB=AC=CB=4,則DE⊥AB,CE⊥AB,有AB⊥平面CDE,所以平面CDE⊥平面ABC,平面CDE⊥平面ABD,令正△ABD中心為O2,正△ABC中心為O1,在平面CDE內(nèi)分別過O1,O2作直線CE,DE的垂線,兩線交于點(diǎn)O,則有O1O⊥平面ABC,平面O2O⊥平面ABD,由球的截面小圓性質(zhì)知,四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上,即點(diǎn)O是球心,連OA,O1A,OA即為球O的半徑,因平面ABD⊥平面ABC,則∠CED=90°,而O1E=O2E=eq\f(1,3)CE=eq\f(2\r(3),3),O1A=O1C=eq\f(2,3)CE=eq\f(4\r(3),3),即有四邊形OO1EO2是正方形,則O1O=O1E=eq\f(2\r(3),3),Rt△OO1A中,∠OO1A=90°,則OA=eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))+O1A2)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2))=eq\f(2\r(15),3),所求外接球的表面積S=4π·OA2=4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(15),3)))eq\s\up12(2)=eq\f(80π,3).答案:B8.解析:設(shè)圓錐AO的外接球球心為M,則M在直線AO上,設(shè)球M的半徑為r,則4πr2=64π,解得r=4.由勾股定理得BM2=OM2+OB2,即42=(2eq\r(3))2+OM2,可得OM=2,即OM=|AO-r|=|AO-4|=2,解得AO=6或AO=2.當(dāng)AO=6時(shí),圓錐AO的體積為V=eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×6=24π;當(dāng)AO=2時(shí),圓錐AO的體積為V=eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2=8π.答案:24π或8π9.解析:由題意,方斗的示意圖如下:設(shè)棱臺(tái)上底面中心為O1,下底面中心為O2,由棱臺(tái)的性質(zhì)可知:外接球的球心O落在線段O1O2上,設(shè)外接球的半徑為R,|OO2|=h,則|OO1|=3-h(huán),因?yàn)镺1O2垂直于上下底面,所以|OO2|2+|O2B|2=R2即h2+(eq\r(2))2=R2,所以|OO1|2+|O1A|2=R2即(3-h(huán))2+(2eq\r(2))2=R2,聯(lián)立解得h=eq\f(5,2),R2=eq\f(25,4)+2=eq\f(33,4),所以該方斗的外接球的表面積為33π.答案:33π10.解析:如圖,延長BC至點(diǎn)M,使得CM=2,延長EF至點(diǎn)N,使得FN=1,連接DM,MN,DN,得到直三棱柱ABE-DMN,所以幾何體的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減去四棱錐D-CMNF的體積.因?yàn)閂ABE-DMN=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×4=8,VD-CMNF=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+2,2)×2))×2=2,所以幾何體的體積為VABE-DMN-VD-CMNF=8-2=6.答案:611.解析:由題意知,小球球心活動(dòng)的區(qū)域是棱長為2的正方體區(qū)域,小球在8個(gè)頂點(diǎn)處不能到達(dá)的空間相當(dāng)于棱長為2的正方體挖去一個(gè)半徑為1的球,其體積為8-eq\f(4,3)π,小球在12條棱剩余部分不能到達(dá)空間相當(dāng)于3個(gè)棱長為2的正方體分別挖去一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,其體積為3×(8-2π)=24-6π,所以小球不能到達(dá)的空間體積為8-eq\f(4,3)π+24-6π=32-eq\f(22,3)π.答案:A12.解析:依據(jù)題意,作出示意圖如圖,設(shè)O,O′分別為球心與底面圓的圓心,則O′O=eq\r(R2-r2),所以h=R-eq\r(R2-r2),得eq\r(R2-r2)=R-h(huán),所以R=eq\f(h2+r2,2h).答案:eq\f(h2+r2,2h)13.解析:設(shè)球的半徑為R,則eq\f(4,3)πR3=36π,解得:R=3.∵正四棱柱底面正方形外接圓半徑r=eq\f(1,2)eq\r(a2+a2)=eq\f(\r(2),2)a,又R2=r2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2),∴eq\f(h,2)=eq\r(R2-r2)=eq\r(9-\f(1,2)a2),解得:h=eq\r(36-2a2),∴正四棱柱側(cè)面積S=4ah=4aeq\r(36-2a2)=eq\r(16a2(36-2a2)),∵2a2(36-2a2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2+36-2a2,2)))eq\s\up12(2)=324(當(dāng)且僅當(dāng)2a2=36-2a2,即a=3時(shí)取等號(hào)),∴S≤eq\r(8×324)=36eq\r(2),即正四棱柱側(cè)面積的最大值為36eq\r(2).答案:36eq\r(2)14.解析:由PO1=2m,知O1O=4PO1=8m.因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))·PO1=eq\f(1,3)×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3),故倉庫的容積是312m3.15.解析:取AC中點(diǎn)O,連接D′O(
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