湖南省永州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page15Page15湖南省永州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題留意事項(xiàng)：1.全卷滿分150分，時量120分鐘.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.3.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.弧度等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)弧度制與角度制的互化即可得解.【詳解】解：.故選：C.2.若集合，則集合的全部子集個數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【詳解】依據(jù)題意，集合的全部子集個數(shù)，選3.若，則下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】選項(xiàng)A.依據(jù)不等式的基本性質(zhì)可推斷；選項(xiàng)B.當(dāng)為負(fù)數(shù)時，根式無意義可推斷；選項(xiàng)C.當(dāng)時的狀況可推斷；選項(xiàng)D.舉特例可推斷.【詳解】選項(xiàng)A.由，依據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得成立，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.當(dāng)為負(fù)數(shù)時，根式無意義，則不成立.故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.當(dāng)時，不成立.故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.取，明顯滿意，但不成立，故選項(xiàng)D不正確.故選：A4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)充分必要條件定義推斷．【詳解】解：由時，肯定有成立，故必要性成立；但時，不肯定有成立，如，故充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5.為了得到曲線，只需把曲線上全部的點(diǎn)（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律可得結(jié)論.【詳解】為了得到曲線，只需把曲線上全部的點(diǎn)向右平移個單位長度.故選：C.6.已知，，且，則的最小值為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.的最小值為9故選：A.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要留意其必需滿意的三個條件：（1）“一正”就各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必需驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯誤的地方.7.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別名.當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長與弧長之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，求出弦長，應(yīng)用弧長公式即可求解【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，如圖，取的中點(diǎn)圓心角為，則所以弦又弧長所以弦長與弧長之比為故選：C8.設(shè)函數(shù)，若對，不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先得出為偶函數(shù)，在推斷出在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)將問題化為，利用分別參數(shù)法結(jié)合均值不等式可得答案.【詳解】，所以為偶函數(shù).當(dāng)時，和在上都為單調(diào)遞減函數(shù).所以在上都為單調(diào)遞減函數(shù).由為偶函數(shù)，則,即當(dāng)時，恒成立，則當(dāng)時，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，即故選：D二、多項(xiàng)選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】CD【解析】【分析】分別推斷各個選項(xiàng)中的兩個函數(shù)的對應(yīng)法則和定義域是否相同，從而得出答案.【詳解】選項(xiàng)A.函數(shù)與的法則不同，故不是同一函數(shù).選項(xiàng)B.的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，他們的定義域不同，故不是同一函數(shù).選項(xiàng)C.函數(shù)與的對應(yīng)法則和定義域均相同所以他們表示同一函數(shù).選項(xiàng)D.函數(shù)與的對應(yīng)法則和定義域均相同，所以他們表示同一函數(shù).故選：CD10.已知函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：x12345y1.30.9下列區(qū)間中函數(shù)肯定有零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案，留意函數(shù)的定義域.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線，且，函數(shù)在區(qū)間和上肯定有零點(diǎn).故選：AC.11.定義在上的函數(shù)，對于家義域內(nèi)隨意的x，y都有，，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C. D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A.令即可推斷；選項(xiàng)B.令,求出，再令可推斷；選項(xiàng)C.由結(jié)合條件可推斷；選項(xiàng)D.由單調(diào)性證明的定義法結(jié)合條件可推斷.【詳解】因?yàn)?，令，則有，所以選項(xiàng)A正確.令，則有，則即令，可得，所以為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B不正確.由，則即，故選項(xiàng)C不正確.任取滿意，則，所以，即故在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D做正確.故選：AD12.若函數(shù)與，在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（）A.1 B.3 C.9 D.27【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，得，分函數(shù)與為增函數(shù)和函數(shù)與為減函數(shù)兩種狀況探討，求出的范圍，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的穩(wěn)定區(qū)間為，所以，當(dāng)函數(shù)與為增函數(shù)時，則，則，因?yàn)椋?，所以，?dāng)函數(shù)與為減函數(shù)時，則，則，因?yàn)?，所以，所以，此時不存在，綜上所述，.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)（且），若，則_________.【答案】2【解析】【分析】由已知函數(shù)的解析式，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)（且），，所以，解得，故答案為：2.14.寫出一個最小正周期為的函數(shù)______.（答案不唯一，寫出一個符合題意的即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依據(jù)題意可取函數(shù)，即可得解.【詳解】解：由函數(shù)的最小正周期為，可取函數(shù).故答案為：（答案不唯一）.15.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.【答案】##【解析】【分析】由已知條件知，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，代入函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】關(guān)于x的不等式的解集為，可得，方程的兩根為，所以，即，代入函數(shù)得，所以，開口向下，對稱軸方程為所以的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：（或?qū)懗桑?6.記號表示m，n中取較大的數(shù)，如，已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對隨意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】.【解析】【分析】首先將時，函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，由函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)的圖象，再依據(jù)圖象的平移建立不等式，求解即可.【詳解】解：當(dāng)時，，解得：，此時，令，解得，此時，所以時，函數(shù)，又因?yàn)榇藭r是定義在上的奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)的圖象如下圖所示，要使得，依據(jù)圖象的平移變換，由圖象分析可得且，解得且，即且.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)集合，集合.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，結(jié)合交集的定義即可求解結(jié)論，（2）結(jié)合并集以及補(bǔ)集的定義即可求解結(jié)論．【小問1詳解】解：集合，集合，；【小問2詳解】解：，．18.已知，且.（1）求值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先由條件得出角所在象限，然后由平方關(guān)系求出即可.(2)由（1）結(jié)合同角關(guān)系求出，，再由正切的和角公式可得答案.【小問1詳解】由，，則為其次象限的角所以【小問2詳解】由（1）可得又，且，則所以19.已知函數(shù)，若.（1）求a的值，并證明的奇偶性；（2）推斷函數(shù)的單調(diào)性（無需證明），并求不等式的解集.【答案】（1）；奇函數(shù)，證明見解析（2）增函數(shù)；【解析】【分析】（1）代入，解方程可得，再由奇偶性的定義和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由在內(nèi)為奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，將原不等式化為，解不等式可得所求解集．【小問1詳解】解：函數(shù)，則（1），解得，所以，由，且，解得，即定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為奇函數(shù)；【小問2詳解】解：由，得在內(nèi)為奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，不等式即為，則，解得，所以原不等式的解集為．20.新能源開發(fā)能夠有效地解決我國能源短缺和傳統(tǒng)能源運(yùn)用帶來的環(huán)境污染問題，國家激勵新能源企業(yè)發(fā)展，已知某新能源企業(yè)，年固定成本50萬元，每生產(chǎn)臺設(shè)備，另需投入生產(chǎn)成本y萬元，若該設(shè)備年產(chǎn)量不足20臺，則生產(chǎn)成本萬元；若年產(chǎn)量不小于20臺，則生產(chǎn)成本萬元，每臺設(shè)備售價50萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本；利潤=銷售總額-總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)所獲年利潤最大?【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為30臺時，該企業(yè)所獲年利潤最大【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，結(jié)合利潤銷售收入年固定成本產(chǎn)品生產(chǎn)成本的公式，分，兩種狀況探討，即可求解．（2）依據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，分別求解分段函數(shù)的最大值，再通過比較大小，即可求解．【小問1詳解】解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故；【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，的最大值為50，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，，故年產(chǎn)量為30臺時，該企業(yè)所獲年利潤最大，最大利潤為55萬元．21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的最大值.【答案】（1），；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）由余弦的二倍角公式得，令，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值.【小問1詳解】解：因函數(shù)，令，解得，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，令，則，所以設(shè)，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，的最大值