適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測一第六章計數(shù)原理新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE單元素養(yǎng)檢測(一)(第六章)(90分鐘120分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2024·大同高二檢測)某地有四個信箱,現(xiàn)有三封信須要郵寄出去,全部郵寄方式一共有 ()A.A43 B.C43 C.34 【解析】選D.每封信都有4種選擇,所以郵寄方式一共有43種.2.5位同學(xué)報名參與兩個課外活動,每位同學(xué)限報其中的一個活動,則不同的報名方法共有 ()A.10種 B.20種 C.25種 D.32種【解析】選D.因為5位同學(xué)報名參與兩個課外活動,每位同學(xué)限報其中的一個活動,都有2種方法,所以不同的報名方法共有25=32種.3.在1x-2A.-120 B.120 C.-160 D.160【解析】選C.1x-2x6綻開式的通項Tk+1=(-1)k2kC6kx2常數(shù)項T3+1=(-1)323C634.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有 ()A.1440種 B.960種C.720種 D.480種【解析】選B.5名志愿者先排成一排,有A55種方法,2位老人作一組插入其中,且兩位老人有左右依次,共有2·4·A5.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化學(xué)問;“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動,每“藝”支配一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必需排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課依次共有 ()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【解析】選C.由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的依次,有A22=2種,剩余的3門全排列,支配在剩下的3個位置,有所以“六藝”課程講座不同的排課依次共有3×2×6=36種不同的排法.6.(2024·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參與文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有 ()A.12種 B.24種C.36種 D.48種【解析】選B.因為丙丁要在一起,先把丙丁捆綁,看做一個元素,連同乙、戊看成三個元素排列,有3!種排列方式;為使甲不在兩端,必需且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2種插空方式;留意到丙丁兩人的依次可交換,有2種排列方式,故支配這5名同學(xué)共有:3!×2×2=24種不同的排列方式.7.四所高校同時向甲、乙、丙、丁四名學(xué)生發(fā)出錄用通知書,若這四名學(xué)生都情愿進(jìn)這四所高校的任一所就讀,則僅有兩名學(xué)生被錄用到同一所高校的就讀方式有 ()A.288種 B.144種 C.108種 D.72種【解析】選B.先把人分成2,1,1三組,有C42種方法,再給其支配學(xué)校有A438.埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎,它的奇妙遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人類的想象.在埃及金字塔內(nèi)有一組奇妙的數(shù)字142857,因為142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)覺:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若從這組奇妙數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x,剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y,若x+y=999,則全部可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個數(shù)為 ()A.48 B.60 C.96 D.120【解析】選A.因為1,4,2,8,5,7這六個數(shù)中,1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3組.要使六個數(shù)字中隨意取出3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x,剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y,且x+y=999,則從每組數(shù)字中抽取一個構(gòu)成x,所以x共有m=C61C41C21=48種狀況,x二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)9.下列等式中,成立的有 ()A.Anm=n!m! B.C.Cnm=Cnn-m 【解析】選BCD.Anm=n(n-1)…(n-m+1)=依據(jù)組合數(shù)性質(zhì)知B,C正確;Anm=n!(n-m10.關(guān)于x+1x-1(x-1)4的綻開式中下列結(jié)論正確的有 ()A.不含x-2項B.x3項的系數(shù)為6C.常數(shù)項為-1D.各項的系數(shù)和為0【解析】選AD.x+1x-1(x-1)4=x+1x-1(x4-4x3+6x2-4x+1)=x5-5x4+11x3-14x2+11x-5+1x;故綻開式中不含x-2項,故A正確;x3項系數(shù)為11,故B錯誤;常數(shù)項為-5,故C錯誤;各項系數(shù)和為0,故D正確.11.有四名男生,三名女生排隊照相,七個人排成一排,則下列說法正確的有 ()A.假如四名男生必需連排在一起,那么有720種不同排法B.假如三名女生必需連排在一起,那么有576種不同排法C.假如女生不能站在兩端,那么有1440種不同排法D.假如三個女生中任何兩個均不能排在一起,那么有1440種不同排法【解析】選CD.A中,假如四名男生必需連排在一起,將這四名男生捆綁,形成一個“大元素”,此時,共有A44AB中,假如三名女生必需連排在一起,將這三名女生捆綁,形成一個“大元素”,此時,共有A3C中,假如女生不能站在兩端,則兩端支配男生,其他位置的支配沒有限制,此時,共有A4D中,假如三個女生中任何兩個均不能排在一起,將女生插入四名男生所形成的5個空中,此時,共有A4412.現(xiàn)支配甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參與2024年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動,有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作可以支配,以下說法正確的是()A.每人都支配一項工作的不同方法數(shù)為45B.每人都支配一項工作,每項工作至少有一人參與,則不同的方法數(shù)為AC.假如司機(jī)工作擔(dān)心排,其余三項工作至少支配一人,則這5名同學(xué)全部被支配的不同方法數(shù)為(C53C2D.每人都支配一項工作,每項工作至少有一人參與,甲、乙不會開車但能從事其他三項工作,丙、丁、戊都能勝任四項工作,則不同支配方案的種數(shù)是C31【解析】選AD.①每人都支配一項工作的不同方法數(shù)為45,即選項A正確;②每項工作至少有一人參與,則不同的方法數(shù)為C5③假如司機(jī)工作擔(dān)心排,其余三項工作至少支配一人,則這5名同學(xué)全部被支配的不同方法數(shù)為C5④分兩種狀況:第一種,支配一人當(dāng)司機(jī),從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有C31,從余下四人中支配三個崗位C42C21從余下三人中支配三個崗位A33,故有C32A三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2024·蘇州高二檢測)若3C2n3=5An3【解析】因為3C2n3所以3×2=5n(n-1)(n-2),解得:n=8.答案:814.x3+1(2x+1x【解析】2xTk+1=C6k(2x)6-k1xk=C6k=0,1,…6,令6-32k=0,k6-32k=3,k2x+1x6綻開式中,常數(shù)項為T5含x3項為T3=C62·24x3=240xx3+12x+答案:30015.(2024·浙江高考)在二項式(2+x)9的綻開式中,常數(shù)項是,系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.

【解析】綻開式通項是Tr+1=C9r(2)9-rxr,所以常數(shù)項是T1=C90(2)9=162,若系數(shù)為有理數(shù),則9-r為偶數(shù),所以r答案:162516.化簡:32n·Cn0+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+【解析】(32+1)n=Cn0×(32)n-0×10+Cn1(32)n-1×11+…+Cnn-1×(32)1×1n-1+則32n·Cn0+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-所以32n·Cn0+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+C答案:10n-1四、解答題(本大題共4個小題,共40分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)求證:2n+2·3n+5n-4能被25整除.【證明】2n+2·3n+5n-4=4·6n+5n-4=4·(5+1)n+5n-4=4·(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+Cnn-15+1)+5n-4=4·(5n+Cn15n-1+Cn25n明顯(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+…+Cnn-252)能被25整除,25n能被25整除,所以218.(10分)已知x+124xn的二項綻開式中,第三項的系數(shù)為7(1)求證:前三項系數(shù)成等差數(shù)列;(2)求出綻開式中全部有理項(即x的指數(shù)為整數(shù)的項).【解析】(1)T3=Cn2(x)n-2124x2因為14所以Cn所以n(所以n=8(負(fù)值舍去),所以前三項分別為T1=C80(x)8124x0=T2=C81(x)7124x1T3=C82(x)6124x2所以前三項系數(shù)分別為1,4,7,因為2×4=1+7,所以前三項系數(shù)成等差數(shù)列;(2)Tr+1=C8r(x)8-r124xr因為r=0,1,2,…,7,8,所以r=0,4,8,綻開式中x的指數(shù)為整數(shù),所以綻開式中全部有理項為T1=C80(x)8124x0=x4,T5=116C84x=358x,T19.(10分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.【解析】1依據(jù)所給的等式求得常數(shù)項a0=1,令x=1,所以a0+a1+a2+…+a7=-1,則a1+a2+…+a7=-2.2在所給的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1;①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…-a7=37.②用①-②再除以2可得a1+a3+a5+a7=-1094.3用①+②再除以2可得a0+a2+a4+a6=1093.4在1-2x可得a0+a1+a2+…+a7=a0-a1+a2-a3+…-a7【補(bǔ)償訓(xùn)練】用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù),問:(1)能夠組成多少個五位奇數(shù)?(2)能夠組成多少個正整數(shù)?(3)能夠組成多少個大于40000的正整數(shù)?【解析】(1)首先排個位數(shù)字,從1,3,5中選1個數(shù)排在個位有A31=3種,其余4個數(shù)全排列有A44(2)依據(jù)題意,若組成一位數(shù),有5種狀況,即可以有5個一位數(shù);若組成兩位數(shù),有A5若組成三位數(shù),有A5若組成四位數(shù),有A5若組成五位數(shù),有A55則可以有5+20+60+120+120=325個正整數(shù).(3)依據(jù)題意,若組成的數(shù)字比40000大的正整數(shù),其首位數(shù)字為5或4,有2種狀況;在剩下的4個數(shù),支配在后面四位,共有C2120.(10分)如圖,已知長方體的8個頂點分別為A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,上下底面的兩個中心分別為O1,O.(1)從8個頂點和2個中心中任取4個點,有多少種狀況?(2)若(1)中所取4個頂點能構(gòu)成三棱錐,有多少種狀況?【解析】(1)從長方體的8個頂點和上下底面2個中心中任取4個點,共有C104(2)方法一:若所取4點能構(gòu)成三棱錐需滿意:①上底取1個點,下底取3個點.若上底取A1點,則下底可取點的種數(shù)為C53-2=8(種),同理取B1,C1,D若上底取O1點,則下底可取點的種數(shù)為C5此時共有5×8=40(種).②上底取3個點,下底取1個點,同①可知共有40種.③上底取2個點,下底取2個點.上底取A1和B1點,則下底可取點的種數(shù)為C52-2=8(種),同理取B1和C1,C1和D1,D1和A上底取A1和C1點,則下底可取點的種數(shù)為C52-3=7(種),同理取B1和D上底取A1和O1點,則下底可取點的種數(shù)為C52-3=7(種),同理取B1和O1,C1和O1,D1和O1此時共有4×8+2×7+4×7=74(種).綜上所述,取4點能構(gòu)成三棱錐的共有40+40+74=154(種).方法二:找尋4點共面的狀況.①長方體的8個頂點中4個點在同一個平面的狀況為長方體的6個面和6個對角面的頂點,共有12(種).②從長方體的8個頂點取3個,另外取O1點,在A1B1C1D1,AA1C1C,BB1D1D中任選3個點都不能構(gòu)成三棱錐,故共有3C43A1,B,C1;B1,C,D1;A1,D,C1;B1,A,D1.選取這4種也不能構(gòu)成三棱錐.此時共有16種不能構(gòu)成三棱錐.③長方體的8個頂點取3個,另外取O2點,同②可知共有16種不能構(gòu)成三棱錐.④長方體的8個頂點取2個,上下底面的兩個中心中取2個.在A,C,C1,A1中選取2個,有C42=6(種),在B,D,D1,B1中選取2個,有C所以任取4點能構(gòu)成三棱錐的狀況有210-12-16-16-12=154(種).【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·徐州高二檢測)請從下列三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面已知條件中的橫線上,并解答問題.①第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是25;②第2項與第3項的系數(shù)之比的肯定值為45;③已知在2x-1xn(n∈N*)的綻開式中,.

(1)求綻開式中的常數(shù)項,并指出是第幾項;(2)求綻開式中的全部有理項.(注:假如選擇多個方案分別解答,按第一個方案解答計分.)【解析】(1)由二項式知:綻開式通項為Tr+1=Cnr(2x)n-r-1xr=(-1)r2n-rC①第2項與第3項的二項式系數(shù)分別為Cn1,Cn2,故