江西省撫州市臨川區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2024屆中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

江西省撫州市臨川區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2024年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答鹿前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5充米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡消楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，若OM=4,AB=6,則BD的長(zhǎng)為（）

C.8D.10

3清F的結(jié)果為（

2.計(jì)算;--r）

(A—1)-

3333

C.---TD.---T

1^7（I-A）"（X-I）-

+1>0

3.一元一次不等式組卜x-5W0的解集中，整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

4.下列各數(shù)中，為無(wú)理數(shù)的是（）

A.淑B.74C.-D.72

3

5.一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球（不放回）,

再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意摸出1個(gè)球則兩次摸到的球的顏色不同的概率為（）

6.按如下方法，將AATJC的三邊縮小的原來(lái)的!，如圖，任取一點(diǎn)O,連A。、RO、CO,并取它們的中點(diǎn)。、E、F,

得ADEF,則二列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①△ASC與A是位似圖形②△A8C與△DEF是相似圖形

③△AAC與ADE尸的周長(zhǎng)比為1：2④△AAC與AOE戶的面積比為4：1.

B

7.如果/I與/2互補(bǔ)，/2與N3互余，則/I與N3的關(guān)系是（)

A.Z1=Z3B.ZI=IS)-Z3

C.ZI=90+/3D.以上都K對(duì)

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AC=3,cosA=-,將ADAC沿著CD折疊后，點(diǎn)A落在

10.如圖1,在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，將△ADK沿線段DE向下折疊，得到圖1.下列關(guān)于圖1

的四個(gè)結(jié)論中，不一定成立的是（）

A.點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)B.ZB+Zl+ZC=180n

C.ADBA是等腰三角形D.DE/7BC

11.光年天文學(xué)中的距離單位，I光年大約是9500000000000km,用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.950x10'0kmB.95xl0,2kmC.9.5*1。2kmD.0.95x10"km

12.如圖，affb,點(diǎn)8在直線。上，E.AB±BC.Zl=40\那么N2的度數(shù)(

A.40cB.50’C.60"D.90"

二、填空題，(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.)

13.以矩形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于兩邊的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，BE1AC,垂足為E.若雙曲線y=((x>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,則OB?BE的值為.

2x-l>3(x-l)

14.如果不等式組.的解集是xV2,那么m的取值范圍是

15.將兩塊全等的含30。角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為I,如圖2,將RSBCD沿射線BD方向平

移，在平移的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)，四邊ABGDi為矩形；當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)，四

邊形ABGDi為菱形.

17.如圖，AB為(DO的宜在，C、D為。O上的點(diǎn)，AD=CD-若NCAB=40。，則/CAD=

c

18.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、1.則第三邊長(zhǎng)為.

三、解答題?（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

20.（6分）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角形AMN,連接CN,NC

與AB的位置關(guān)系為,

（2）深入探究：

如圖②，在等展三角形ABC中，BA=BC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,連接CN,試探究/ABC與NACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸：

如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF,點(diǎn)N為正

方形AVEF的中點(diǎn)，連接CN,若BC=1O,CN=立，試求EF的長(zhǎng).

21.（6分）如圖，矩形A8C。中，對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,以40、O/）為鄰邊作平行四邊形AQOE,連接/?￡

求證：四邊形AO8E是菱形若NEAO+"CO=I80。，/X?=2,求四邊形ADOE的

22.（8分）在AABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)P是A.ABC內(nèi)一點(diǎn)，＞ZPAC+ZPCA=—,連接PB,試探究PA、

2

PB、PC滿足的等量關(guān)系.

（1）當(dāng)a=60。時(shí)，將AABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACP，，連接PP，，如圖1所示.由△ABPg△ACP何以證

得AAPP，是等邊三角形，再由NPAC+NPCA=30?？傻?'PC的大小為_(kāi)______度，進(jìn)而得到ACPP，是直角三角形,

這樣可以得到PA、PB、PC,滿足的等量關(guān)系為；

（2）如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，參考（1）中的方法，探究14、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明：

23.（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB=1DA,以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓孤交DC于點(diǎn)E,交AD的延長(zhǎng)戰(zhàn)于

點(diǎn)F,設(shè)DA=1.求線段EC的長(zhǎng)；求圖中陰影部分的面積.

24.（10分）五知關(guān)于x的一元二次方程X?-（2k+l）x-ik2+k=l.

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)方程有一個(gè)根為1時(shí)，求k的值.

25.（10分）如圖，在4ABC中，BC=6應(yīng)，AB=AC,E,F分別為AB,AC上的點(diǎn)（E,F不與A盅合），且EF//BC.將

△AEF沿著直線EF向下翻折，得到AAgF,再展開(kāi).

（1）請(qǐng)判斷四邊形AE,VF的形狀，并說(shuō)明理由：

（2）當(dāng)四邊形AEA，F(xiàn)是正方形，且面積是△ABC的一半時(shí)，求AE的長(zhǎng).

26.（12分）解不等式組:

|2x+3>x-l

27.（12分）如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（L-4）為拋物線的頂

點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上.

（1）求拋物線的解析式;

（2）在（D中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使APOB與APOC：全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)Q是、軸上一點(diǎn)，且AABQ為直角二角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、D

【解題分析】

利用三角形中曲線定理求得AD的長(zhǎng)度，然后由勾股定理來(lái)求BD的長(zhǎng)度.

【題目詳解】

解：???矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,

.".ZBAD=90%點(diǎn)O是線段BD的中點(diǎn)，

???點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

.?.0M是△ABD的中位線，

.,.AD=2OM=1.

，在直角AABD中，由勾股定理知：BD=VAD2+AB-=j82+62=10-

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了三角形中位錢定理和矩形的性質(zhì)，利用三角形中位錢定理求得AD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

【解題分析】

根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可

【題目詳解】

3

解:原式.(1-］尸

\-x

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考行分式的運(yùn)算。

3、C

【解題分析】

試題分析：二?解不等式2r+/＞相：x＞，，解不等式一5人，得：理5,...不等式組的解集是-gcjcWS,整數(shù)解為0,

I,2,3,4,5,共6個(gè)，故選C.

考點(diǎn)：一元一次不等式組的整數(shù)解.

4、D

【解題分析】

A.豳=2,是有理數(shù)；B.4=2,是有理數(shù)：C.是有理數(shù)；D.是無(wú)理數(shù)，

故選I).

5、B

【解題分析】

本題主要需要分類討論第一次摸到的球是白球還是紅球，然后再進(jìn)行計(jì)算.

【題目詳解】

21o】1

①若第一次摸到的是白球，則有第一次摸到白球的概率為三，第二次，摸到白球的率為丁則有三區(qū)大二；；②若

32323

第一次摸到的球是紅色的，則有第一次摸到紅球的概率為:，第二次摸到白球的概率為1,則有g(shù)xl=g,則兩次摸

到的球的顏色K同的概率為g+g=

【題目點(diǎn)撥】

掌握分類討論的方法是本題解題的關(guān)鍵.

6、C

【解題分析】

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①△ABC與ADEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出②AABC與ADEF

是相似圖形，再根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比，以及根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

【題目詳解】

蝌根據(jù)位似性質(zhì)得出①△ABC與4DEE是位似困形，

②△ABC與4DEF是相似圖形，

?:將△ABC的三邊縮小的原來(lái)的；，

.?.△ABC與ADEF的周長(zhǎng)比為2：1,

故③選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)面積比等于相似比的平方，

.?.④ZkABC與ADEF的面積比為4：1.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，中等難度,熟悉位似圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7、C

【解題分析】

根據(jù)/I與N2互補(bǔ)，N2與N1互余，先把Nl、N1都用N2來(lái)表示，再進(jìn)行運(yùn)算.

【題目詳解】

7Z1+Z2=18O°

1=180-/2

又,.?N2+N1=9O"

.?.Zl=90-Z2

n

.?.Zl-Zl=90f即/l=90+NI.

故選c.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要記住互為余角的兩個(gè)角的和為90°，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和為180度.

8、C

【解題分析】

連接AE,根據(jù)余弦的定義求出AB,根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD,根據(jù)面積公式出去AE,

根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出AF,根據(jù)勾股定理、三角形中位線定理計(jì)算即可.

【題目詳解】

解：連接AE,

VAC=3,cosZCAB=-,

3

.,.AB=3AC=9,

由勾股定理得，=6&,

ZACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

I9

.*.CD=-AB=-,

22

SAAB<-=—x3x60=9叵,

???點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

?a=1Q_9&

??SA<\CD-MSAABC---，

22

由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，SuACEgJi，AE_LCD,

則；xCDxAE=9&,

解得，AE=4&，

，AF=2垃，

由勾股定理得，DF=〃/）一產(chǎn)=：，

VAF=FE,An=DB,

；.BE=2DF=7,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折受前后圖形的形狀

和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

9、B

【解題分析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，即可解題.

A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形.

【題目詳解】

請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

10、A

【解題分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，易得NA=NLDE是AABC的中位線，所以易得B、D答案正確，D是AB中點(diǎn)，所

以DB=DA,故C正確.

【題目詳解】

根據(jù)題意可知DE是三角形ABC的中位線，所以DE〃BC：ZB+Z1+ZC=18O^YBDuAD,.,.△DBA是等腰三角

形.故只有A借，BA#CA.故選A.

【題目點(diǎn)撥】

主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì).還涉及到翻折變換以及中位錢定理的運(yùn)用.

（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.

（1）三角形的內(nèi)角和是180度.求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180。這一隱含的條件.通過(guò)折疊變換考查

正多邊形的有關(guān)知識(shí)，及學(xué)生的邏輯思維能力.解答此類題/好動(dòng)手操作.

11、C

【解題分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“XI⑴的形式，其中1<|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移

動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值VI時(shí)，n是負(fù)

數(shù).

【題目詳解】

解：將9500000000000km用科學(xué)記數(shù)法表示為9.5x10口.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X1（『的形式，其中10a|VlQ,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要

正確確定H的值以及n的值.

【解題分析】

分析：

根據(jù)“平行線的性順、平角的定義和垂直的定義”進(jìn)行分析計(jì)算即可.

詳解：

VABXBC,

...ZABC=90°,

?.?點(diǎn)B在直線b上，

.,.Zl+ZABC+Z3=180°,

.?.Z3=180o-Zl-90°=50°,

:.Z2=Z3=50".

故選B.

點(diǎn)睛：熟悉“平行線的性質(zhì)、平角的定義和垂直的定義''是正確解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、1

【解題分析】

由雙曲線y=（（x>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D知SAODFAT由矩形性質(zhì)知SAAOB=2SAODF=：，據(jù)此可得OA?BE=1,根據(jù)OA=OB

可得答案.

【題目詳解】

???雙曲線y=W（x>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)1）,

則SAZ>R=2SA<“>產(chǎn)》即:CA?BE\,

，OA?BE=1,

???四邊形ABCD是矩形，

；.OA=OB,

.".OB?BE=1,

故答案為：I.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及矩形的性質(zhì).

14、m>l.

【解題分析】

分析：先解第一個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組］的解集是xVL從而得出關(guān)于〃?的不等式，解不等式即

xon

可.

詳解：解第一個(gè)不等式得，xVL

???不等式組J'心'、"的解集是xVl,

x<m

故答案為，“多.

點(diǎn)隋：本題是已知不等式組的解集，求不等式中字母取值范圍的問(wèn)題.可以先將字母當(dāng)作已知數(shù)處理，求出解集與己

知解集比較，進(jìn)而求得字母的范圍.求不等式的公共解，要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，大小小大中間

找，大大小小解不了.

15、乎,6

【解題分析】

試題分析：當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距尚為且時(shí)，NCBB尸60。，則/ABC|=9O。，根據(jù)有一直角的平行四邊彩坦矩形，可判定

3

四邊形ABGDi為矩形；當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為石時(shí)，D、B1兩點(diǎn)重合，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，

可判定四邊形ABGDi為菱形.

試題解析：如圖：

?,.BB尸￡=」=在，

tan60°V33

當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為立時(shí)，四邊形ABGDi為矩形；

3

當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，NABD尸NGBDi=30。，

'=73

tan30c也,

T

當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為G時(shí)，四邊形ABCDi為菱形.

考點(diǎn)：1.菱形的判定；2.矩形的判定；3.平移的性質(zhì).

16.?(??2乂。2)

【解題分析】

先提公因式，再用平方差公式分解.

【題目詳解】

解：，-4〃—4)=a(a+2)(a-2)

【題目點(diǎn)撥】

本題考查因式分解，掌握因式分解方法是關(guān)鍵.

17、25。

【解題分析】

連接BC,BD.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得NACB=90"，根據(jù)同瓠或等弧所對(duì)的圓周角相等，得NABD=NCBD,

從而可得到NEAD的度數(shù).

【題目詳解】

如圖，連接B3BD,

t?AB為。O的直徑,

?:.ZACB=90°.

VZCAB=40s

.,.ZABC=50\

AD=CD，

：.ZABD=ZCBD=-ZABC=25°,

2

ZCAD=ZCBD=25°.

故答案為25。.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了圓周角定理及直徑所對(duì)的圓周角是直角的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

18、4或"

【解題分析】

試題分析：已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒(méi)有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論:

①長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為3的邊是斜邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：石寸=斤；

②長(zhǎng)為3、3的邊都是直角邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：際手=5；

.?.第三邊的長(zhǎng)為：J7或4.

考點(diǎn)：3.勾股定理；4.分類思想的應(yīng)用.

三、解答題?（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19、1.

【解題分析】

直接利用絕對(duì)值的性項(xiàng)以及零指數(shù)暮的性項(xiàng)和負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案.

【題目詳解】

解：原式=-1+6+4-1-（-75-1）

-1+73+4-1-75+1

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)寒，負(fù)整數(shù)指數(shù)器，解題的關(guān)鍵是掌握塞的運(yùn)算法則.

20、(1)NC〃AB：理由見(jiàn)解析：(2)ZABC=ZACN：理由見(jiàn)解析；(3)2向；

【解題分析】

(1)根據(jù)AABC,AAMN為等邊三角形，得到AB=AC,AM=AN且NBAC=NMA、=60"從而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,5PZBAM=ZCAN,證明ABAM出△CAN,即可得到B\I=CN.

(2)根據(jù)△ABC,AAMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：I且/ABC=NAMN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

AH

—,利用等腰三角形的性質(zhì)得到/BAC=NMA7,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

AMAN

(3)如圖3,連接AB,AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NABC=NBAC=45。，ZMAN=45",根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

第=空，得到BM=2,CM=8,再根據(jù)勾股定理即可得到答案.

CNAC

【題目詳解】

(1)NC〃AB,理由如下：

?/△ABC與仆MN是等邊三角形，

.*.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMANJ=60c,

.-.ZBAM=ZCAN,

在AABV與AACN中，

AB=AC

ZBAM-ZCAN,

AM=AN

.'.△ABM^AACN(SAS),

.*.ZB=ZACN=60n,

?.,ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+6O%ZCAN=18O3,

工/ANC+NMAN+NBAM=NANC+60+NCAN=NBA、+/ANC=180‘，

，CN〃AB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下:

ABAM

=1且NABC=NA'1N,

△ABC?△AMN

.AB_AC

"~AM~AN

VAB=BC,

:.ZBAC=-(180-ZABC),

2

VAM=MN

.*.ZMAN=-(1800-ZAMN),

2

VZABC=ZAVIN,

.?.NBAC=NMAN,

.e.ZBAM=ZCAN,

/.△ABM~AACN,

，Z/\BC=ZACN；

(3)如圖3,連接AB,AN,

四邊形ADBC,AMEK為正方形，

.?.ZABC=ZBAC=45",ZMAN=45U,

.\ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

即NBAM=NCA、，

???&網(wǎng)s

BCAN

,AH_AC

‘?而一麗’

.'.△ABM?AACN

.BM_AB

**cw-7cr

.CNAC41

??---=------=cos45'=,

BMAli2

.V2及

??,

BM2

:.BM=2,

.,.CM=BC-BM=8,

在RtAAMC,

AM=J八r+MC2=x/l()2+?2=2a，

:.EF=AM=2yj4l.

【題目點(diǎn)撥】

本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判

定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)：本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

21■.(1)見(jiàn)解析；(2)Sniasa/WK=2\/3.

【解題分析】

(1)根據(jù)矩形的性頗有CM=O8=OC=OO,根據(jù)四邊形八比加是平行四邊形，OD//AE,AE=OD.等量代換得到

A￡=O8.即可證明四邊形AOBE為平行四邊形.根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明.

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)有.根據(jù)矩形的性質(zhì)有加〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)有/84C=NAC。，求出

NOC八=60。，求出.根據(jù)面積公式Stwo即可求解.

【題目詳解】

(1)證明：?.?矩形ABCD,

：.OA=OB=OC=OD.

???平行四邊形八。。￡,

：.()l)//AE,AE=OD.

：.AE=OIi.

四邊形AGUE為平行四邊形.

'：OA=OR,

...四邊形AOBE為菱形.

(2)解：,菱形AOBE,

:.ZEAB=ZBAO.

;矩形AHCD,

：.AD//CD.

：.ZBAC=ZACD,N4OC=9(F.

:.ZEAB=ZBAO=ZDCA.

,.,Z7?4O+ZDCO=l800,

ZDCA=60J.

VDC=2,

:.AD=2瓜

SSAIK^=-X2x2>/3=25/3.

2

**?Sistn?AI>OE=2\/3?

【題目點(diǎn)撥】

考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，綜合性比較強(qiáng).

22、（1）150,P^+PC'=PBZ（1）證明見(jiàn)解析（3）4PA2sin2^+PC2=PB2

【解題分析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△上1產(chǎn)為等邊三角形，得到NPTC=90。，根據(jù)勾股定理解答即可；

（1）如圖I,作將△八8尸繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110，得到△/］尸，連接尸產(chǎn)，作產(chǎn)于0,根據(jù)余弦的定義得到。產(chǎn)

=石力，根據(jù)勾股定理解答即可；

（3）與（I）類似，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.

試題解析：

【題目詳解】

解：（1）,.,△ABP43AACP\

：.,\P=AP'.

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，NE1產(chǎn)=60。，P'C=PB,

，△/公產(chǎn)為等邊三角形，

:.N4P尸=60”,

VZPAC+NPCA=-x60°=30°,

2

.,.Z4PC=150:,

:.ZPTC=90c,

Apri_|_/?ci=rcii

：.PAl+PCl=PB',

故答案為150,fA'+PC^PB'i

（1）如圖，作/。4。=120"，使A尸=4尸，連接。尸，CP'.過(guò)點(diǎn)A作4/XLPP'于。點(diǎn).

VZBAC=ZMr=120°,

即ZBAP+ZPAC=ZPAC-{-ZCAP,,

ZBAP=ZCAP,.

'：AB=AC,AP=AP.

.??c班整q產(chǎn).

Ion_/P\Pr

PC=PB,ZAPD=^AP'D=——=---------=30

2

V/W±pp;

：.ZADP^\

.?.在RtZXAP。中，PD=AP-cosZAPD=—AP.

2

APP'=2PD=J?>AP.

V/R4C+/PC4=60。，

；?ZAPC=I80-Z.PAC-ZPCA=\20".

/PPC="PC-ZAPD=^)，

???在Rt?P'PC中，產(chǎn)尸+PC?=/。2.

???3E42+PC2=Pfi-;

(3)如圖1,與(1)的方法類似，

作將A繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)u得到△ACTS連接。尸,

作4O_LP尸于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'=a,PC=PB,

；.ZAPPI=9QC--,

2

VZA4C+ZPCA=—,

2

.*.ZAPC=180,

2

:.NP'PC=(180M--)—(900--)=90°,

22

：.P^+PCl=p'Cl,

VZ4PPr=9(r-—,

2

.*.PD=A4?cos(90Q——)=/M?sin—,

22

：.PP,=lPA?si?—,

2

.*.4/M,sin1—4-PC^PB',

2

故答案為4/M'sin1-+PC'=PB'.

2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈

活運(yùn)用類比思想是解題的關(guān)鍵.

23、(1)4-2J3;(1)%-26.

【解題分析】

(1)根據(jù)矩形的性偵得出AB=AE=4,進(jìn)而利用勾股定理得由DE的長(zhǎng)，即可得出答案：(1)利用銳角三角函數(shù)關(guān)系

得出NDAE=6。。，進(jìn)而求出圖中陰影部分的面積為：SMWAE-SWAE，求出即可.

【題目詳解】

解：⑴?.在矩形ABCD中，AB=1DA,DA=1,

；.AB=AE=4,

21

?*-I>E=JAE-AD=2J3，

.?.EC=CD-DE=4-175；

An1

(1)*.'sin^DEA=-----——,

AE2

:.ZDEA=300,

，NEAB=30。，

???圖中陰影部分的面積為：

90^x4Ice萬(wàn)30^x4Mc石

S*9FAB-SADAK'S*9EAB=----x2x25/3---=--2yJ3

36023603

B

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考杳了扇形的面積計(jì)算以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)己知得出DE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

24、（2）證明見(jiàn)解析；（2〉k：=2,k2=2.

【解題分析】

（2）套入數(shù)據(jù)求出△=1?-4ac的值，再與2作比較，由于△二？）？，從而證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）將x=2代入原方程，得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值.

【題目詳解】

（2）證明：△=b2-4ac,

=[-（2k+2）|2-4（k2+k）,

=4k2+4k+2-4k2-4k,

=2>2.

.??方程有兩個(gè)K相等的實(shí)數(shù)根；

（2）???方程有一個(gè)根為2,

-（2k+2）+k2+k=2,即k2-k=2,

解得：kj=2,k2=2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（2）求出A=b2-4ac的值；（2）代入x=2得出關(guān)于k

的一元二次方程.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由根的判別式來(lái)判斷實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵.

25、（1）四邊形AEA下為菱形.理由見(jiàn)解析；（2）1.

【解題分析】

（1）先證明AE=AF,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AE=A，E,AF=A，F(xiàn),然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形AEA，F(xiàn)為菱

形;（2）四先利月四邊形AE.TF是正方形得到NA=90。,則，B=AC=Y2BC=6,然后利用正方形AEAF的面積是△ABC

2

的一半得到?工?6?6,然后利用算術(shù)平方根的定義求AE即可.

22

【題目詳解】

（1）四邊形AEAT為菱形.

理由如下：

VAB=AC,

.,.ZB=ZC,

；EF〃BC,

ZAEF=ZB,ZAFE=JZC,

:.NAEF=NAFE,

，AE=AF,

,?△AEF沿著直線EF向下翻折，得到A「VEF,

.?.AE=ArE,AF=ArF,

.,.AE-ArE-AF=AT,

J.四邊形AEAF為菱形,

(2)?.?四邊形AEA午是正方形，

:.ZA=90G,

...△ABC為等提直角三角形，

:.AB=AC=-BC=-x672=6?

22

???正方形AEAF的面積是4ABC的一