數(shù)學(xué)課堂探究：用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一平面向量共線問題利用平面向量坐標(biāo)表示向量共線,可以將幾何證明問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．【例1】已知A,B,C三點坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，－1)，（1，2），＝，＝，求證∥．證明：設(shè)E，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)分別為（x1,y1)，(x2,y2)，由題意知：＝(2，2),＝（－2,3）,＝(4,－1），所以＝＝，＝＝，所以(x1，y1)－（－1，0）＝，(x2，y2)－(3，－1)＝，所以（x1，y1）＝，(x2，y2）＝，所以＝（x2,y2）－（x1，y1）＝－＝．因為4×－(－1）×＝0,所以∥．探究二三點共線問題及其應(yīng)用利用向量證明三點共線的思路：先利用三點構(gòu)造出兩個向量，求出唯一確定的實數(shù)λ,使得兩個向量共線．由于兩個向量還過同一點，所以兩個向量所在的直線必重合，即三點共線．若A，B，C三點共線,則由這三個點組成的任意兩個向量共線．【例2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值,使A，B，C三點共線．分析：解答本題可直接利用向量共線的條件來求解，也可根據(jù)單位向量i，j，利用向量的直角坐標(biāo)進(jìn)行運算．解:方法一：因為A，B，C三點共線，即，共線，所以存在實數(shù)λ,使得＝λ,即i－2j＝λ（i＋mj）．于是所以m＝－2．故當(dāng)m＝－2時，A，B,C三點共線．方法二:依題意,知i＝（1，0）,j＝（0,1）,則＝（1,0)－2（0,1）＝(1,－2),＝（1,0)＋m(0,1)＝（1，m)．而，共線，所以1×m－1×（－2)＝0．所以m＝－2．故當(dāng)m＝－2時,A，B，C三點共線．【例3】已知三點A（0,8）,B(－4，0),C（5,－3），點D在線段AB上，且滿足＝．點E在BC上，若△BDE的面積是△ABC面積的一半，求點E的坐標(biāo)．解:如圖,因為=,所以=．過點D作⊥BC于點，過點A作⊥BC于點,則∥，且=．于是S△BDE∶S△ABC===．所以=．從而得=2，即=2．因為B(—4，0)，C（5，-3），設(shè)E(x，y），則（x+4，y)=2（5—x，—3—y)，解得所以E點坐標(biāo)為（2，—2)．【例4】如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點C作CE⊥AB于點E，M為CE的中點，用向量的方法證明:(1)DE∥BC；（2）D,M，B三點共線．分析：利用向量法證明幾何問題,首先是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將圖中點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)．證明：以E為原點,AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，令||＝1，則||＝1，||＝2．因為CE⊥AB，而AD＝DC，所以四邊形AECD為正方形．所以可求得各點坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1，0)，C(0，1）,D(－1,1），A(－1,0）．（1)因為＝(－1，1）－（0,0）＝（－1,1），＝(0，1）－(1,0)＝（－1，1),所以＝,所以∥,即DE∥BC．(2）因為M為EC的中點,所以M，所以＝（－1,1)－＝,＝（1，0)－＝．所以＝－，所以∥．又MD與MB共點于M，所以D,M，B三點共線．點評在建立直角坐標(biāo)系時，要盡可能使更多的點落在坐標(biāo)軸上,盡可能使更多的線與x軸、y軸平行．探究五易錯辨析易錯點：因未分析共線時有同向和反向而致誤【例5】設(shè)點A(－1，2)，B（n－1,3），C(－2，n＋1），D(2，2n＋1)，若向量與共線且同向,則n的值為（)A．2B．－2C．±2D．1錯解：因為＝(n,1）,＝(4，n），所以由∥得n2－4＝0，即n＝±2．故選C．錯因分析：非零向量共線時有同向和反向兩種情況，沒有進(jìn)行檢驗．正解：由已知條件得＝（n,1),＝（4，n），顯然n≠0．由與共線得n2－4＝0,解得n＝±2．當(dāng)n＝2時，