2025年高考數學壓軸題訓練：一元函數的導數新定義題（含新定義解答題）（全題型壓軸題）（學生版+解析）

專題12一元函數的導數新定義題（含新定義解答題）

1.（2024高三上?全國?專題練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理

陳述如下：如果函數/（x）在閉區(qū)間［。,句上連續(xù)，在開區(qū)間（。1）內可導，則在區(qū)間（?？冢﹥戎?/p>

少存在一個點無oe（a,b）,使得/■（力一/（。）=/（%）。一4）,彳=不稱為函數）7=/。）在閉區(qū)間

3,切上的中值點，若關于函數/（x）=sinx在區(qū)間［0,可上的"中值點”的個數為處函數

gQ）=e'在區(qū)間［0,1］上的"中值點”的個數為小則有力?+〃=（）（參考數據：”3.14,門2.72.）

A.1B.2C.0D.n=3

2.（23-24高三上?湖南益陽,階段練習）用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之"美".現代

建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定

義如下：若廣（X）是“X）的導函數，/（X）是尸（X）的導函數，則曲線y=F（x）在點（xj（x））

處的曲率K=1葭.若〃x）=x-eX,則曲線y=在（0,—1）處的曲率犬是（）

（1+（廣（“）2

A.0B.-C.1D.e

3.（2023?陜西咸陽?模擬預測）英國數學家布魯克?泰勒（BrookTaylor,1685.8~1731.11）以

發(fā)現泰勒公式和泰勒級數而聞名于世.根據泰勒公式，我們可知：如果函數/（元）在包含毛的

某個開區(qū)間（a,6）上具有（"+1）階導數，那么對于有

?。?書+乎+尤-/++勺九rj+，若取x°=。，則

/（X）=ZI2）+￡BX+Z12）X2+,此時稱該式為函數在x=o處的

〃階泰勒公式.計算器正是利用這一公式將sinx,cos尤，In尤，&等函數轉化為多項式

r3r5尤7

函數，通過計算多項式函數值近似求出原函數的值，如sin;c=x-二+工-土+，

3!5!7!

246/%1\1

cosx=l-—r+—-—+，則運用上面的想法求2cos"+/sin彳的近似值為（）

2!4!6!（22）2

A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56

4.（23-24高三上?福建?階段練習）艾薩克牛頓英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同

時在數學上也有許多杰出貢獻，牛頓用"作切線”的方法求函數/（X）零點時給出一個數列

x=為“X,)

我們把該數列稱為牛頓數列.如果函數"*）=依2+區(qū)+。（。＞0）有

x—2

兩個零點1,2,數列｛斗｝為牛頓數列.設a“=ln」＜,已知％=1,｛見｝的前"項和為臬,

貝I］S2022+I等于（）

A.2022B.2023C.22023D.22022

5.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，內容

為：如果函數“X）在閉區(qū)間句上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間S，b）內的導數為（（力，

那么在區(qū)間（a,為內至少存在一點c,使得〃3-a）成立，其中c叫做“X）

在句上的"拉格朗日中值點”.根據這個定理，可得函數〃x）=lnx在［l,e］上的"拉格朗日

中值點"為（）

re+1

A.1B.eC.e—1D.------

2

6.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習）法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函

數論》中給出了一個定理，具體如下.如果函數y=滿足如下條件.（1）在閉區(qū)間可

上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間（4,6）上可導則在開區(qū)間（a,b）上至少存在一點使得

/.）—/（。）=/《）0—。）成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中忑被稱為“拉格朗日中

值".則g（x）=三在區(qū)間［0,1］上的"拉格朗日中值”=.

7.（23-24高三上?海南?？?階段練習）英國著名物理學家牛頓用"作切線”的方法求函數零

點時，給出的"牛頓數列"在航空航天中應用廣泛.若數列｛無“｝滿足加=%一點，〃cN*）,

則稱數列｛盡｝為牛頓數列.如果函數/'（"=爐-尤-2,數列｛斗｝為牛頓數列，設

且4=1,數列｛%｝的前"項和為S"，貝1］%=，/=.

當一.

8.（23-24高二下?上海黃浦?階段練習）在微積分中"以直代曲"是最基本，最樸素的思想方

法，中國古代科學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術"，用圓的外切正”邊形和內接正"邊形"內外夾逼"

的辦法求出了圓周率萬的精度較高的近似值，事實上就是用“以直代曲”的思想進行近似計算

的，它是我國最優(yōu)秀的傳統科學文化之一.借用"以直代曲”的方法，在切點附近可以用函數

圖象的切線代替在切點附近的曲線來“近似計算”.請用函數/（尤）=""近似計算〃2。%的值為_

（結果用分數表示）.

9.（2023高三?全國?專題練習）人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓

在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一一牛頓法.這種求方程根的方

法，在科學界已被廣泛采用.例如求方程2/+3/+犬+1=0的近似解，先用函數零點存在

定理，令，（尤）=2/+3/+%+1,/（-2）=-5<0,/（-1）=1>0,得上存在零點，

取x0=T,牛頓用公式=無”--反復迭代,以x”作為〃x）=0的近似解，迭代兩

次后計算得到的近似解為；以為初始區(qū)間，用二分法計算兩次后，以最后一個

區(qū)間的中點值作為方程的近似解，則近似解為.

10.（23-24高三下?云南?階段練習）牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復

數域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先猜想某個方程/（無）=。的其中一個根廠在

》=尤。的附近，如圖6所示，然后在點（尤。,/（七））處作〃尤）的切線，切線與x軸交點的橫坐

標就是耳，用毛代替與重復上面的過程得到得；一直繼續(xù)下去，得到％,毛，不2,…，X,.

從圖形上我們可以看到占較%接近r,*2較耳接近r,等等.顯然,它們會越來越逼近r.于是，

求「近似解的過程轉化為求x.，若設精度為￡,則把首次滿足氏-七」<￡的當稱為/■的近

似解.

已知函數f（X）=V—x+1,aeR.

（1）試用牛頓迭代法求方程/（x）=0滿足精度￡=0.5的近似解（取無。=-1,且結果保留小數

點后第二位）；

（2）若/（力+3無2+6x+5+ae'4O對任意xeR都成立，求整數a的最大值.（計算參考數值:

32

ex2.72,『35"3.86,eL5sB4.48,1.35?2.46,1.35?1.82）

11.（2024?湖南?二模）羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一，它與導數和函數的

零點有關，是由法國數學家米歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達如下：如果函數滿

足在閉區(qū)間也力連續(xù)，在開區(qū)間（。山）內可導，且/（a）=/S）,那么在區(qū)間（。,6）內至少存在

一點加，使得r（加）=o.

（1）運用羅爾定理證明：若函數/（X）在區(qū)間［a,b］連續(xù),在區(qū)間（0,6）上可導，則存在升e（a,6）,

使得/（%）=

"2b-Ta⑷.

⑵已知函數/（X）=Xlnx,g（x）=；V一陵+1,若對于區(qū)間（1,2）內任意兩個不相等的實數公泡,

都有|/（孑）-/■（尤2）i＞iga）-g（N）i成立,求實數人的取值范圍.

（3）證明：當時，有—三r一一

n'p—\（〃一1）n1

12.（23-24高二下?山東濟南?期中）帕德近似是法國數學家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式

近似特定函數的方法.給定兩個正整數〃2,",函數/（X）在X=0處的［九〃］階帕德近似定義

為：為X）=?+：/+且滿足：/（o）=7?（o）,r（o）=R（o）,r（o）=w）,

1+4%++bnx

/5+〃）（0）=R5+〃）（0）.已知/（%）=ln（%+l）在x=0處的［1,1］階帕德近似為我（尤）=^^.注：

\+bx

,（X）="U）］'/（X）=［尸（切'"⑷（X）=［?。ㄇ小?/⑸（X）=［U（X）］',

（1）求實數。，6的值；

（2）求證：（x+6）d］＞l；

⑶求不等式［1+!］＜6＜］1+!［？的解集，其中e=2.71828.

13.（23-24高三下?甘肅?階段練習）曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量，曲率越大，曲

項式近似特定函數的方法.給定兩個正整數〃?，"，函數"X）在x=o處的[租,同階帕德近似

定義為：定元）=.+：、++：”工且滿足:/（0）=7?（0）,廣（O）=R（O）,r（O）=^（O）,

1IU?J\/II。及J\/

/（E）（0）=心7°）,注：/（力=上,（切，,「，⑺耳尸⑺[,*（x）=[r〃（切

已知函數/(x)=ln(x+l).

（1）求函數/（x）=ln（x+l）在尤=0處的[1內階帕德近似火（無），并求lnl.1的近似數（精確到

0.001)；

⑵在（1）的條件下:

①求證:

②若〃x）T“g+l]R（x）Wl-COSX恒成立，求實數機的取值范圍.

15.（2024?浙江寧波?二模）定義：對于定義在區(qū)間可上的函數，若存在實數ce（。,8）,

使得函數在區(qū)間［a,c］上單調遞增(遞減)，在區(qū)間［c,可上單調遞減(遞增),則稱這個函

數為單峰函數且稱。為最優(yōu)點.已知定義在區(qū)間［a,句上的函數是以c為最優(yōu)點的單峰函

數，在區(qū)間(a,b)上選取關于區(qū)間的中心等對稱的兩個試驗點和馬，稱使得

，a)-〃c)W=l,2)較小的試驗點占為好點(若相同，就任選其一)，另一個稱為差點.容

易發(fā)現，最優(yōu)點。與好點在差點的同一側.我們以差點為分界點，把區(qū)間,,可分成兩部分，

并稱好點所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設存優(yōu)區(qū)間為儂,4］，再對區(qū)間重復以上操作，可

以找到新的存優(yōu)區(qū)間&也］,同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間&也］，&也］,，滿足

［a/］衛(wèi)［6,乙］口&也］衛(wèi)&，4］衛(wèi)&也］口，可使存優(yōu)區(qū)間長度逐步減小.為了方便找到最

優(yōu)點(或者接近最優(yōu)點)，從第二次操作起，將前一次操作中的好點作為本次操作的一個試

驗點，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長度與操作前區(qū)間的長度的比值為同一個常數。，則稱

這樣的操作是“優(yōu)美的"，得到的每一個存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，。稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間

常數.對區(qū)間可進行"次"優(yōu)美的"操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間小,2］,令￡,=與二

b-a

我們可任取區(qū)間小,d］內的一個實數作為最優(yōu)點。的近似值，稱之為〃力在區(qū)間［?；厣暇?/p>

度為J的"合規(guī)近似值"，記作多(了,［。,司).已知函數〃x)=(x+l)cosx-l,xe0,",函數

g(x)=sinx-ln(l+7c-x),x￡兀.

(1)求證：函數/(尤)是單峰函數；

(2)已知c為函數“X)的最優(yōu)點，d為函數g(元)的最優(yōu)點.

(i)求證：c+d<71；

(ii)求證：^,7iJ—°'5］］〉"_。一六.

注：V2?1.414,73?1.732,百?2.236,S。2.646.

16.(2024?河北滄州?一模)對于函數丁=/(%),XG/,若存在使得〃尤o)=無o，則

稱％為函數/(X)的一階不動點；若存在不使得/(〃/))=%,則稱％為函數/5)的二

階不動點；依此類推，可以定義函數"X)的"階不動點.其中一階不動點簡稱為“不動點”,

二階不動點簡稱為“穩(wěn)定點"，函數/(X)的"不動點"和"穩(wěn)定點”構成的集合分別記為A和2,

即A={x|f(尤)=x},B={x|/(/(%))=x].

⑴若〃尤)=-(x>0),證明：集合A={尤|〃x)=x}中有且僅有一個元素；

⑵若"x)=S+l)X-；1+詈71nr討論集合8的子集的個數.

17.(23-24高三下?江西?階段練習)記函數y=在。上的導函數為y=/'(x),

若尸(x)>0(其中/(x)=[r(x)J)恒成立，則稱y=〃x)在。上具有性質

(1)判斷函數y=log〃x(a>o且awl)在區(qū)間(0,+8)上是否具有性質M?并說明理由；

⑵設a,6均為實常數，若奇函數83=2/+加+^在處取得極值，是否存在實數0,

X

使得y=g(x)在區(qū)間仁刈)上具有性質M?若存在，求出。的取值范圍；若不存在，請說

明理由；

⑶設keZ且上>0,對于任意的xe(0,心)，不等式1+M(x+1)>上成立,求人的最大值.

XX+1

專題12一元函數的導數新定義題(含新定義解答題)

1.(2024高三上?全國?專題練習)拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理

陳述如下：如果函數Ax)在閉區(qū)間句上連續(xù)，在開區(qū)間(。1)內可導，則在區(qū)間(。力)內至

少存在一個點無oe(a,b),使得/(力-/⑷=/伉帥-城片不稱為函數產/⑺在閉區(qū)間

3,切上的中值點，若關于函數/(x)=sinx在區(qū)間［0,可上的"中值點"的個數為相，函數

gQ)=e'在區(qū)間［0,1］上的"中值點”的個數為小則有力?+〃=()(參考數據：”3.14,門2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

【答案】B

【優(yōu)尖升-分析】

利用給定的定義分別求出力，〃的值，即可得解.

(詳解】設函數/(x)=sinx在區(qū)間［0,兀］上的"中值點"為x0,由f(x)=sinx,得f'(x)=cosx,

則由拉格朗日中值定理得，/(兀)一/(0)=尸(%)(兀一0),即兀cos%=0,而%e(0㈤,

則即函數/(x)=sin尤在區(qū)間［0,兀］上的"中值點"的個數為1,因此m=1,

設函數g(x)=/在區(qū)間［0,1］上的"中值點"為由g(x)=e，，求導得g'(x)=e］

由拉格朗日中值定理得，g⑴一g(0)=g'a)(l-0),即e-l=e'L

令函數h(x)=ev-e+l,xe(0,l),函數h(x)在(0,1)上單調遞增，/i(0)=2-e<0,h(l)=1>0,

則函數〃(x)在(0,1)上有唯一零點，即方程e-l=e為在區(qū)間(0,D上有1個解，

因此函數g(無)=優(yōu)在區(qū)間［0,1］上的"中值點”的個數為1,即〃=1,

所以加+〃=2.

故選：B

2.(23-24高三上?湖南益陽?階段練習)用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之"美".現代

建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定

義如下：若尸(x)是/⑴的導函數，/(X)是廣(x)的導函數，則曲線y=f(x)在點(xj(x))

K『3

處的曲率?((()『『.若〃x)=x—e，，則曲線y=在(0,7)處的曲率/^是()

A.0B.~C.1D.e

【答案】C

【優(yōu)尖升-分析】根據曲率的定義求解即可.

【詳解】因為〃x)=x-e',

所以f(x)=l-所以尸(x)=-e',

lno）|R|

所以曲線y=〃x）在（O,—l）處的曲率一//,（?！鲆?

故選：C.

3.（2023?陜西咸陽?模擬預測）英國數學家布魯克?泰勒（BrookTaylor,1685.8-1731.11）以

發(fā)現泰勒公式和泰勒級數而聞名于世.根據泰勒公式，我們可知：如果函數/（無）在包含毛的

某個開區(qū)間（。,6）上具有5+1）階導數，那么對于有

"號+…若取x°=0,則

/（X）=ZI2）+￡BX+Z12）^++工子/+,此時稱該式為函數在x=o處的

〃階泰勒公式.計算器正是利用這一公式將sinx,cosx,e3Inx,4等函數轉化為多項式

357

函數，通過計算多項式函數值近似求出原函數的值，如sin%=%-Z+Z-土+

3!5!7!

246

1XXXsing的近似值為

COSX=l-----------1----------------------F則運用上面的想法求2cos)

2!4!6!

A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56

【答案】B

【優(yōu)尖升-分析】先化簡2cosH+￡|sing=coslT,根據題意得到cosl的泰勒展開式，求

得cosl的值，即可求解.

【詳解】由三角恒等變換的公式，化簡得2cos（彳+；卜in；=-2sin2；=cosl-1,

2!4!6!

I2I4I61\\

可得cosl=l+--------+=1一一+--------+=1-0.5+0.041-0.001+-0.54,所以

2!4!6!224720

cosl-l?-0.46.

故選：B.

4.（23-24高三上?福建?階段練習）艾薩克牛頓英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同

時在數學上也有許多杰出貢獻，牛頓用"作切線”的方法求函數/（X）零點時給出一個數列

我們把該數列稱為牛頓數列.如果函數〃力=依2+法+C（a>0）有

斗+i小）’

x—2

兩個零點1,2,數列｛無“｝為牛頓數列.設%=歷」=，已知％=1,｛凡｝的前w項和為S”,

一1

則S2022+1等于（）

A.2022B.2023C.22023D.22022

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】先由函數“X）=加+及+c（a>0）有兩個零點求得〃尤）和尸（力的解析式,

進而求得數列｛招｝的遞推公式，從而得到數列｛見｝的前w項和S“,即可求得S2022+1的值.

【詳解】“同=加+法+c（a>0）有兩個零點1,2,

a+b+c=Qb=-3a

,解之得

4〃+2Z?+c=0c=2a

則-3or+2a(a>0),貝!J/r(x)=lax-3a^a>0)

/(%)__叱-3%+2a_片_2

/'(%〃)"laxn-3a2/-3

人n_____2

2%-3=片-4%+4=(%“-2

片-2_]x；-2%+1]無“一1

2x,-3

2

,X—2X—2

由g=lnn-^,可得°=in%—=ln當-2|=21n———=2a,

1

x“T%-1%-1

故4M=2a“，又％=1,則數列｛q｝是首項為1公比為2的等比數歹!］,

則通項公式%=2"\前〃項和s“=±±=2=l,則%+1=22儂-1+1=22%

1-2

故選：D.

5.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，內容

為：如果函數〃尤）在閉區(qū)間可上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（。,為內的導數為（（力，

那么在區(qū)間（。,6）內至少存在一點c,使得“3―成立，其中c叫做〃x）

在句上的"拉格朗日中值點”.根據這個定理，可得函數〃x）=lnx在［Le］上的"拉格朗日

中值點"為（）

?e+1

A.1B.eC.e—1D.-----

2

【答案】C

【優(yōu)尖升-分析】求出函數的導數，令與為函數〃x）=lnx在［l,e］上的“拉格朗日中值點”,

列方程求解即可.

【詳解】由f(x)=ln尤可得尸(x)=L

X

令與為函數〃x)=lnx在［l,e］上的"拉格朗日中值點"，

x0e-1e-1

解得無o=e-L

故選：C

6.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習)法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函

數論》中給出了一個定理，具體如下.如果函數y=〃x)滿足如下條件.(1)在閉區(qū)間同

上是連續(xù)的；(2)在開區(qū)間6)上可導則在開區(qū)間由⑼上至少存在一點乙使得

“3-〃a)=/'(30-°)成立，此定理即“拉格朗日中值定理"，其中1f被稱為"拉格朗日中

值".則g(x)=式在區(qū)間［0,1］上的"拉格朗日中值”.

【答案】B

3

【優(yōu)尖升-分析】根據拉格朗日中值滿足/㈤-"司=尸(3伊-a)求解即可.

【詳解】由題意，g'(x)=3f,故g⑴-g(O)=g")(l-O),即g'⑸=1,

故34=1,又Je［0』，故4=《.

故答案為：西

3

7.(23-24高三上?海南?？?階段練習)英國著名物理學家牛頓用"作切線"的方法求函數零

點時，給出的“牛頓數歹『'在航空航天中應用廣泛.若數列｛當｝滿足x用=瑞-犬［("UN*),

則稱數列｛斗｝為牛頓數列.如果函數/(x)=f-x-2,數列｛七｝為牛頓數列，設

a“=ln%^1(weN*)且《=1,數列｛q｝的前"項和為S",貝!)%=,SI0=.

2

【答案】名2e士+11023

e2-l

尤2+2

【優(yōu)尖升-分析】對函數求導，結合已知得x“+i=：^—二，進而求得。向=2?！?，根據等比數列

定義及前”項和求H。、%,最后求巧即可.

【詳解】因為“xHf—x—Z,貝IJ廣(x)=2x—l,

則%+1=%一谷4=七一%龍"-2x；+2

2%一1一2%-1'

片+2X：+2x,+1

+1

=InX"+l+1=In2i2當一1

又…所以」5tz——=ln

X片+2片-4%+4

n+1~2-2

2x?-l2%-l

又q=l,所以｛%｝是首項為1,公比為2的等比數列，則。"=2"'

10

所以，s“=^^=2"-l,BPS10=2-1=1024-1=1023,

n1-2

因為出=2=ln至±|,即&±|=e2,解得％=與口.

22

x2-2x2-2e-i

2

故答案為：母?e出+1；1023.

8.(23-24高二下?上海黃浦?階段練習)在微積分中"以直代曲"是最基本，最樸素的思想方

法，中國古代科學家劉徽創(chuàng)立的"割圓術"，用圓的外切正“邊形和內接正"邊形"內外夾逼"

的辦法求出了圓周率%的精度較高的近似值，事實上就是用“以直代曲"的思想進行近似計算

的，它是我國最優(yōu)秀的傳統科學文化之一.借用"以直代曲”的方法，在切點附近可以用函數

圖象的切線代替在切點附近的曲線來“近似計算”.請用函數"X)=""近似計算"2。據的值為_

(結果用分數表示).

［口案］2623Z12023

【優(yōu)尖升-分析】/非常接近°，求出在x=0處的切線方程y=x+i,在x=0附近用

X+1代替e，計算可得.

【詳解】函數/(x)=e，的導數為f(x)=e，，所以八0)=1,函數/(x)=/在點(0,1)處的切

線y=%+l,所以f(x)=e”在x=0附近可以用y=%+l代替，即/(x)=e*=x+1,

又」一非常接近0，/［二一］=2。版a—!—+1=3史.

2023,12023)20232023

M林士二2024

故答案為：

2023

9.(2023高三?全國?專題練習)人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓

在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一一牛頓法.這種求方程根的方

法，在科學界已被廣泛采用.例如求方程2無3+3f+x+l=0的近似解，先用函數零點存在

定理，令/(力=2尤3+3/+%+1,/(-2)=-5<0,/(-1)=1>0,得(-2,-1)上存在零點,

取x0=T,牛頓用公式/=X.:廿)反復迭代,以x”作為〃x)=0的近似解，迭代兩

次后計算得到的近似解為；以(-2,-1)為初始區(qū)間，用二分法計算兩次后，以最后一個

區(qū)間的中點值作為方程的近似解，則近似解為.

2111

【答案】

138

【優(yōu)尖升-分析】第一空，理解消楚''迭代〃的含義，實際上是一個遞推數列，反復代入給定

的表達式，計算即可；第二空，根據二分法依次取區(qū)間中點值計算即可.

【詳解】已知/(%)=2/+3/+%+1,貝1]-(%)=6/+6%+1.

1"T)-11-。

迭代1次后，玉

r(-i)1’

21

選代2次后,x

213：

用二分法計算第1次，區(qū)間（一2,-1）的中點為-,，=/(-1)<0,所

以近似解在區(qū)間卜|，-11上；

用二分法計算第2次，區(qū)間ITT的中點為=（|]7[-胃＜0,

所以近似解在區(qū)間卜|，-\上，取其中點值一日,

故所求近似解為

8

故答案為：-三21，-V11

13o

10.（23-24高三下?云南?階段練習）牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復

數域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先猜想某個方程/（x）=0的其中一個根r在

x=x。的附近，如圖6所示，然后在點（無。,〃尤。））處作〃元）的切線，切線與x軸交點的橫坐

標就是毛，用毛代替％重復上面的過程得到巧；一直繼續(xù)下去，得到％,A，4，

從圖形上我們可以看到不較馬接近r,巧較玉接近廣，等等.顯然，它們會越來越逼近八于是，

求r近似解的過程轉化為求乙，若設精度為￡,則把首次滿足|斗-％」＜￡的%“稱為廠的近

似解.

已知函數f（x）=%3—x+1,aeR.

(1)試用牛頓迭代法求方程/(元)=0滿足精度￡=0.5的近似解(取無。=-1,且結果保留小數

點后第二位)；

(2)若/'(力+3/+6%+5+祀”40對任意了右11者口成立，求整數a的最大值.(計算參考數值:

e~2.72,e135?3.86,e屋4.48,1.353?2.46,1.352?1.82)

【答案】⑴-1.35

⑵-9

【優(yōu)尖升-分析】(1)根據導數的幾何意義及牛頓迭代法可得結果；

(2)根據已知通過分離變量，構造函數g(x),利用導數得出g(元)的最小值，由(1)的結

論可得結果.

【詳解】(1)解：因為"x)；=%3-x+i,則尸(x)=3*-l,

匕=尸(-1)=2,〃-1)=1,曲線在飛=一1處的切線為y-l=2(x+l)n%=-1.5,且

|占一飛|》0.5,

737

^=rH.5)=—,/(-1.5)=--,曲線“X)在占=-1.5處的切線為

248

723(3、31

y+W=+二一行比一1.35，且1%2一玉1<05,

故用牛頓迭代法求方程fM=0滿足精度￡=0.5的近似解為-1.35.

(2)將“x)+3f+6無+5+詔0)整理得到：一丁-3廠―5.-6洛,

ex

323

A/、-x-3x-5x-6，/、x-x+1f(x)

令g(x)=--------------------,gfM=——--=—,

eee

因為廣(x)=3尤2-1,令l(無)>0,即3/_1>0,得了>"或工<一立，

33

令/(幻<0,即3尤2-1<0,得一且<x<也，

所以f(x)在上為增函數，在1#，￥上為減函數,

9-273

所以/⑺的極小值為了彳=-J^>0,

因此Ax)有且僅有一個零點%,所以g(x)有且僅有一個極小值點飛,即g(x)2g(尤0),

所以有aWg(Xo),

31

方法一：由(1)有%=一方々-1.35,則

aWg(x0)<^(-1.35)=L35-3x1.3?j5xl.35-6?(246_546+6.75-6)x3.86=-8.685.

、vr_.,,F—3xl-+5x1—6ccrcc.,

方法一：aWg(Xo)<g(-l)=--------------?-3x2.72=-8.16.

e

士旺一//、/,八1.53-3xl.52+5xl.5-6(272715—〃°,

方法二：a<g(x)<g(-L5)=---------不---------=—----+-卜4.48=-8.4,

0e<842)

所以，。能取到的最大整數值為-9.

【點睛】關鍵點點睛：利用導數的幾何意義求切線方程；第二問的關鍵是轉化不等式，從而

分析函數g(x)的性質，得出最值.

11.(2024?湖南?二模)羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一，它與導數和函數的

零點有關，是由法國數學家米歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達如下：如果函數"X)滿

足在閉區(qū)間他,句連續(xù)，在開區(qū)間(。,切內可導，且/(a)=/S),那么在區(qū)間(。/)內至少存在

一點加，使得/'(m)=0.

(1)運用羅爾定理證明：若函數fM在區(qū)間［凡句連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可導，則存在x0e(a,b),

使得

b-a

⑵已知函數/⑴=xlnx,g(尤)=；Y_法+1,若對于區(qū)間(1,2)內任意兩個不相等的實數4泡，

都有?(尤2)i>iga)-g?)i成立,求實數<的取值范圍.

(3)證明：當。>1,"22時，有—~\2r--

n?p-1(n-iyn〃

【答案】⑴證明見解析；

(2)l-ln2<&<2；

⑶證明見解析.

【優(yōu)尖升-分析】(1)根據給定條件，構造函數尸(元)=/(尤)-n，利用導數結合羅爾定理推

導即得.

(2)求出函數/(x),g(x)的導數，利用(1)的結論建立恒成立的不等式，再利用導數求出

函數的值域即得.

(3)構造函數/7(x)=x?,xe［"-l,m，求出導數結合(1)的結論，借助不等式性質推理即

得.

【詳解】⑴令:黑二"則=

b-a

令函數F(x)=f(x)-比,則F(a)=FQj),F\x)=,

顯然/(x)在［a,句上連續(xù)，且在(。山)上可導，由羅爾定理，存在%e(a,b),使得F(x())=。，

即:(x°)T=0,所以⑷.

(2)依題意，f'(x)=lnx+l,g'(x)=x-6,

不妨令%%,則?-----------1>1------------I恒成“，

玉-x2xx—x2

由(1)wIf(x)|>|gf(x)I,XG(1,2),于是lnx+l〉|x—b|,gp-l-lnx<Z?-x<lnx+l,

因止匕x—Inx—1vZ?vx+lnx+l,(p(x)=x-］nx-l(l<x<2),

求導得“(x)=B>o,函數例x)在(1,2)上單調遞增，貝|0<9(x)<l-ln2,

X

而函數y=尤+Inx+1在(1,2)上單調遞增，其值域為(2,3+In2),

則l—ln24bV2,所以實數b的取值范圍是l—ln2WbW2.

(3)令函數/?(x)=,顯然函數力(無)在(〃-1,〃)上可導，

h(n-l)-h(n)

由⑴存在ce("-l,")使得h'(c)=

(n-V)-n

又h'（x）=（1-p）?x~p,貝?。?-1=-〃'（c）=（p-l）cp,

（n—l）n

因止匕~7TT一一^r］=±,而14〃_1＜C＜〃，P＞1,則c?〈心，即】＞5，

p-1（〃-1）n'c1cpnp

所以」■＜一'"?［；—―一匕1

【點睛】思路點睛：涉及函數新定義問題，理解新定義，找出數量關系，聯想與題意有關的

數學知識和方法，構造函數，轉化、抽象為相應的函數問題作答.

12.（23-24高二下?山東濟南?期中）帕德近似是法國數學家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式

近似特定函數的方法.給定兩個正整數加，?,函數在x=0處的阿，可階帕德近似定義

為：如）二卷三表,且滿足一⑼吶。），八。）3。），八。）"⑼

/7Y

f(m+n)(0)=鄭"+〃)(0).已知/(X)=ln(x+1)在％=0處的［1,1］階帕德近似為R(x)=――.注：

\+bx

〃。）=［八X）］',_n尤）="〃⑴［j⑷（尤）=［尸（切',/蝌⑺=［/（4）（x）］\

⑴求實數。，6的值；

（2）求證:（尤+研（）＞1；

￡

（3）求不等式［1+工］＜6＜［1+!］-2的解集，其中e=2.71828.

【答案】（1）。=1,匕=；

⑵證明見解析

⑶（。，+8）

【優(yōu)尖升-分析】(1)求出R(x),R"(x),f(x),嚴(x),依題意可得尸(O)=R(O),

/〃(O)=R〃(O),即可得到方程組，解得即可；

(2)由(1)知，即證[x+￡jln[l+￡|>l,令t=l+f即證7e(O,l)時^>1,

記/⑺=ln/-止D,?6(0,1)(1,y),利用導數說明函數的單調性，即可證明；

(3)分析可得1+：>0,即x>0或x<-l,先考慮e<(l+rp，該不等式等價于

ln[l+』]+5>i，結合(2)的結論即可，再考慮[+：]<e,該不等式等價于xln[l+￡]<1,

利用導數證明lnx<x-l,xe(O,l),即可得到ln[l+：j<：,xe(^?,-l)u(O,-H?),

再分類討論即可判斷.

/7Y八,/、ax-Zab

【詳解】⑴因為蛆)=9,所以")=E'

/?(x)=ln(x+l),貝|］廣(龍)=＜，=

x+1(x+1)

由題意知，r(O)=R(O),/〃(O)=H〃(O),

解得々=1,匕=；,

所以

(2)由(1)知，即證卜++>1,

令"1+L貝！J%>0且rwl,

即證，?0,1)。,也)時才。心”1,

記。⑺=ln-^^,，40,1)。,口)，

則=('―：)>0，

t(1+1)/(/+1)

所以9”)在(0,1)上單調遞增,在(1,內)上單調遞增，

當te(O,l)時夕⑺<9⑴=0,即〈當?，即#了1取>1成立，

當fw(l,+s)時⑴=0,即即#^ylnt>l成立,

綜上可得（1，內）時而可

所以（x+[JIn]1+!>1成立，即（x+6）/g）>1成立.

（3）由題意知，欲使得不等式[++成立，

貝I至少有1+,>0,即x>0或x<-l,

X

首先考慮e<U，該不等式等價于1"1+工「>1，即[x+￡jln“+J>l,

又由（2）知[x+g，n[l+]>l成立，

所以使得e<[1+1J，成立的x的取值范圍是（f,-1）5°，+8），

再考慮[1+|J<e,該不等式等價于xln“+￡|<1，

記/z(x)=lnx-x+l,xe(0,l)(l,+oo),

則”(x)=t-1=三，所以當0<x<l時〃(x)>0,X>1時/z'(x)<o,

所以/7(力在(0,1)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減，

所以⑴=0,即lnx<x—1,xe(O,l)(1,+co),

所以ln]l+J<]，J；6(-co,-l)o(0,-Ko),

當xe(0,-Ko)時由—J<—,可知xln(1■—]<1成立，

當xe(Yo,-l)時由+可知xln[l+：)<l不成立，

所以使得[+￡[<e成立的x的取值范圍是（0,+“），

綜上可得不等式[1+_L]<e<[1+rp的解集為（0,+8）.

【點睛】關鍵點點睛：第三問，首先確定x>0或x<-l,分別求e<]l+J2、<e

對應解集，進一步轉化為求卜+，ln[l+￡|>l、xln[l+￡|<：l的解集，構造中間函數研究

不等式成立的X取值.

13.（23-24高三下?甘肅?階段練習）曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量，曲率越大，曲

KW

線的彎曲程度越大.曲線在點M處的曲率J（其中V表示函數y=/（x）在點M

（2）2

處的導數，y"表示導函數/（X）在點M處的導數）.在曲線y=/（x）上點〃處的法線（過

該點且垂直于該點處的切線的直線為曲線在此處的法線）指向曲線凹的一側上取一點。使

得|八仍|=q=0’則稱以。為圓心，以。為半徑的圓為曲線在M