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文檔簡介

第57講直線的方程

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一:直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與X軸相交,則以X軸正方向?yàn)槭歼?,繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的角

稱為直線/的傾斜角,通常用西分,7,..表示

(1)若直線與x軸平行(或重合),則傾斜角為0

(2)傾斜角的取值范圍ee[O,萬)

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為夕,則a的正切值稱為直線的斜率,記為左=tana

(1)當(dāng)&=工時(shí),斜率不存在;所以豎直線是不存在斜率的

2

(2)所有的直線均有傾斜角,但是不是所有的直線均有斜率

(3)斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度,但就其應(yīng)用范圍,斜率適用的范圍更廣

(與直線方程相聯(lián)系)

(4)網(wǎng)越大,直線越陡峭

(5)傾斜角a與斜率%的關(guān)系

當(dāng)左=0時(shí),直線平行于軸或與軸重合;

當(dāng)左>0時(shí),直線的傾斜角為銳角,傾斜角隨左的增大而增大;

當(dāng)左<0時(shí),直線的傾斜角為鈍角,傾斜角左隨的增大而減?。?/p>

3、過兩點(diǎn)的直線斜率公式

已知直線上任意兩點(diǎn),A(X1,%),必)貝麟=之——

馬一再

(1)直線的斜率是確定的,與所取的點(diǎn)無關(guān).

(2)若占=尤2,則直線鉆的斜率不存在,此時(shí)直線的傾斜角為90。

4、三點(diǎn)共線.

兩直線AB,AC的斜率相等-4B、C三點(diǎn)共線;反過來,AB、C三點(diǎn)共線,則直線

AB,AC的斜率相等(斜率存在時(shí))或斜率都不存在.

知識(shí)點(diǎn)二:直線的方程

1、直線的截距

若直線/與坐標(biāo)軸分別交于(。,0),(0,》),則稱a,6分別為直線/的橫截距,縱截距

(1)截距:可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡記形式,其取值可正,可負(fù),可為0(不要顧

名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān))

(2)橫縱截距均為。的直線為過原點(diǎn)的非水平非豎直直線

2、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y^k^x-x^不含垂直于無軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一必二

兩點(diǎn)式不含直線元=者(占…)和直線y=x(x片%)

截距式2+2=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+B20)

3、求曲線(或直線)方程的方法:

在已知曲線類型的前提下,求曲線(或直線)方程的思路通常有兩種:

(1)直接法:尋找決定曲線方程的要素,然后直接寫出方程,例如在直線中,若用直

接法則需找到兩個(gè)點(diǎn),或者一點(diǎn)一斜率

(2)間接法:若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密,則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程,然后再利用條件解出參數(shù)的值(通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致)

4、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)《,鳥的坐標(biāo)分別為(占,%),(%,為)且線段££的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(尤,y),則

<2,此公式為線段打8的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

[2

5、兩直線的夾角公式

若直線,=勺彳+伉與直線y=&x+%的夾角為a,則tana?=.

1+kxk2

必考題型全歸納

題型一:傾斜角與斜率的計(jì)算

例1.(2024.四川眉山.仁壽一中??寄M預(yù)測)己知a是直線x—2y+3=。的傾斜角,則

A/2sina+—+sin6Z,,、

I的值為(z)

cosla

A4?4754A/5n3出

.D.------R.------JU?-----

331520

例2.(2024.重慶?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知直線/的一個(gè)方向向量為

0=1in§,cos§J,則直線/的傾斜角為()

兀c兀-2兀-4兀

A.—B.—C.—D.—

6333

例3.(2024?江蘇宿遷?高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)??茧A段練習(xí))經(jīng)過4-1,3),B(右,-豆)兩

點(diǎn)的直線的傾斜角是()

A.45°B.60°C.90°D.120°

變式1.(2024?全國?高二專題練習(xí))如圖,若直線的斜率分別為匕&-,則()

B.k3<kI<k2

C.kx<k2<k3D.k3<k2<kx

變式2.(2024?全國?高二專題練習(xí))直線>=-后+3的傾斜角為()

A.30B.60C.120D.150

變式3.(2024?全國?高二課堂例題)過兩點(diǎn)A(4,y),3(2,-3)的直線的傾斜角是135。,則

y等于()

A.1B.5C.-1D.-5

變式4.(2024.高二課時(shí)練習(xí))直線/經(jīng)過4(2,1),3(1,歷)兩點(diǎn),那么直線/的斜

率的取值范圍為().

A.(0,1]B.C.(-2,1]D.[l,+oo)

變式5.(2024?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)一/的圖像上有一動(dòng)點(diǎn),則在此動(dòng)點(diǎn)處

切線的傾斜角的取值范圍為()

3兀

A.0-TB.T,7r

3兀兀3兀

C.T,71D.2'T

【解題方法總結(jié)】

正確理解傾斜角的定義,明確傾斜角的取值范圍,熟記斜率公式左=入二匹,根據(jù)該公

%一9

式求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率,當(dāng)占=%,%*%時(shí),直線的斜率不存在,傾斜角為90,求斜

率可用左=tana(a片90),其中a為傾斜角,由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián),不可分割.牢

記“斜率變化分兩段,90是其分界,遇到斜率要謹(jǐn)記,存在與否要討論”.這可通過畫正切

函數(shù)在上的圖像來認(rèn)識(shí).

題型二:三點(diǎn)共線問題

例4.(2024?全國?高二專題練習(xí))已知三點(diǎn)(2,-3),(4,3),,,g]在同一條直線上,則實(shí)數(shù)左

的值為()

A.2B.4C.8D.12

例5.(2024?遼寧營口?高二??茧A段練習(xí))若三點(diǎn)A(0,8),。(辦T)共線,則

實(shí)數(shù)冊的值是()

A.6B.-2C.—6D.2

例6.(2024?重慶渝中?高二重慶復(fù)旦中學(xué)??茧A段練習(xí))若三點(diǎn)M(2,2),N(。,

0),Q(0,6),(ab包)共線,則工+工的值為()

ab

A.1B.—1C.—D.—

22

變式6.(2024.全國?高三專題練習(xí))若平面內(nèi)三點(diǎn)A(l,-d),B(2,a2),C(3,〃)共線,

則a=()

A.1土也或0B.三叵或0

C.生或D.竺^或0

22

【解題方法總結(jié)】

斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的,直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變,

即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等.這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因.

題型三:過定點(diǎn)的直線與線段相交問題

例7.(2024.吉林.高三??计谀┮阎c(diǎn)4(1,3),8(-2,-1).若直線/:y=k(x-2)+1與線段

A3相交,則左的取值范圍是()

A.kN-B.k〈—2

2

C.k>—或k4—2D.—24左4—

22

例8.(2024?高三課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)”(2,-3)和N(-3,-2),直線/:y=6-a+l與線段MN

相交,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

3、3

A.a>—^a<-4B.-4<a<-

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

例9.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知A(2,0),B(0,2),若直線y=上"+2)與線段A3有

公共點(diǎn),則k的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[l,+oo)

C.[0,1]D.(ro,-+8)

變式7.(2024.全國.高三專題練習(xí))已知點(diǎn)A(-2,3),3(3,2),若直線以+y+2=0與線段

A3沒有交點(diǎn),則。的取值范圍是()

54

C.

2,3

變式8.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知直線+2a=0和以M(3,5),N(4,-2)為端點(diǎn)的

線段相交,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a<lB.-l<a<l

C.a<-l^a>lD.〃(一1或aNl或a=0

變式9.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知4(2,—3),B(-3-2),直線/過點(diǎn)尸(1,1)且與線段

A5相交,則直線/的斜率上的取值范圍是()

33

A.左WT或女2—B.-4<k<—

44

1、43

C.k<——或女2—D.——<k<4

434

變式10.(2024?全國?高三對口高考)已知點(diǎn)P(-M),Q(2,2),若直線/:x+⑺+”=0與產(chǎn)。

的延長線(有方向)相交,則加的取值范圍為.

變式IL(2024.全國?高三專題練習(xí))已知4-1,2),3(2,4),點(diǎn)尸(尤,y)是線段A2上的動(dòng)點(diǎn),

則)的取值范圍是.

X

變式12.(2024?全國?高三專題練習(xí))尸(x,y)在線段43上運(yùn)動(dòng),已知A(2,4),S(5,-2),

則學(xué)的取值范圍是.

【解題方法總結(jié)】

一般地,若已知4(百,%),8(尤2,%),2(%,%),過「點(diǎn)作垂直于x軸的直線/',過P點(diǎn)的

任一直線/的斜率為z,則當(dāng)/'與線段的不相交時(shí),々夾在原4與怎B之間;當(dāng)/'與線段4?

相交時(shí),上在&14與原B的兩邊.

題型四:直線的方程

例10.(2024?全國?高三專題練習(xí))過點(diǎn)(1,2)且方向向量為(-1,2)的直線的方程為()

A.2x+y-4=0B.%+y-3=O

C.x—2y+3=0D.x—2y+3=0

例IL(2024?全國?高三專題練習(xí))過點(diǎn)A(L4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則該

直線方程為()

A.x—y+3=0B.%+丁一5=0

C.4%-丁=0或x+y—5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

例12.(2024?吉林白山?撫松縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測)對方程子=2表示的圖形,下列

敘述中正確的是()

A.斜率為2的一條直線

B.斜率為一;的一條直線

C.斜率為2的一條直線,且除去點(diǎn)(-3,6)

D,斜率為的一條直線,且除去點(diǎn)(-3,6)

變式13.(2024.全國?高三專題練習(xí))經(jīng)過點(diǎn)尸(-1,。)且傾斜角為60。的直線的方程是

()

A.s/3x-y-1=0B.乖x-y+拒=o

C.氐-y-石=0D.尤-gy+l=0

變式14.(2024?全國?高三專題練習(xí))

變式15.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知過定點(diǎn)直線依-y+4-左=o在兩坐標(biāo)軸上的截距

都是正值,且截距之和最小,則直線1勺方程為()

A.x-2y-l=0B.無一2y+7:0C.2x+y—6=0D.尤+2y—6=0

變式16.(2024?全國?高三專題練習(xí))若直線/的方程、中,ab>0,ac<0,則

bb

此直線必不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式17.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知直線/的傾斜角為60,且/在,軸上的截距為

-1,則直線/的方程為()

A.y=--x-lB.y=尤+1

33

C.y=\[3x—1D.y=6x+1

【解題方法總結(jié)】

要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題;熟練地掌握和應(yīng)用直線方

程的幾種形式,尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式.

題型五:直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題

例13.(2024.全國?高三專題練習(xí))若一條直線經(jīng)過點(diǎn)4(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三

角形面積為1,則此直線的方程為.

例14.(2024.全國.高三專題練習(xí))已知直線/過點(diǎn)M(2,l),且分別與x軸的正半軸、y軸

的正半軸交于A,8兩點(diǎn),。為原點(diǎn),當(dāng)△AOB面積最小時(shí),直線/的方程為.

例15.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知直線/的方程為:

(2+7九)x+(l-2〃?)y+(4—3加)=0.

(1)求證:不論加為何值,直線必過定點(diǎn)M;

(2)過點(diǎn)M引直線上使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小,求4的方程.

變式18.(2024?全國?高三專題練習(xí))直線/過點(diǎn)M(L2),且分別與龍,丁軸正半軸交于A、B

兩點(diǎn),。為原點(diǎn).

⑴當(dāng)面積最小時(shí),求直線I的方程;

⑵求|0聞+2|0用的最小值及此時(shí)直線/的方程.

變式19.(2024?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線/過定點(diǎn)尸(3,2),且

與x軸的正半軸交于點(diǎn)與>軸的正半軸交于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)PATPN取得最小值時(shí),求直線/的方程;

(2)求△MON面積的最小值.

變式20.(2024?北京懷柔?高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)??计谥校┮阎本€/經(jīng)過點(diǎn)

尸(2,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線/過點(diǎn)。(-2,0),求直線/的方程,并求直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積;

(2)如果直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為8,求直線/的方程.

變式21.(2024?高二單元測試)已知直線/過點(diǎn)尸(4,3),與x軸正半軸交于點(diǎn)A、與y軸正

半軸交于點(diǎn)B.

(1)求。電面積最小時(shí)直線/的方程(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn));

(2)求|以卜|依|的最小值及取得最小值時(shí)I的直線方程.

變式22.(2024?江西吉安?高二吉安一中??茧A段練習(xí))過點(diǎn)M(4,3)的動(dòng)直線/交x軸的正

半軸于A點(diǎn),交》軸正半軸于8點(diǎn).

(I)求為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S最小值,并求取得最小值時(shí)直線/的方程.

(II)設(shè)P是AQ4B的面積S取得最小值時(shí)AOIB的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn),求

z/=|PO|2+|PB|2的取值范圍.

變式23.(2024?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學(xué)??茧A段練習(xí))已知直線/:

辰―y+1+2左=0.

(1)求/經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)P;

(2)若直線/交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)5.

①,A03的面積為S,求S的最小值和此時(shí)直線/的方程;

②當(dāng)尸A+gpB取最小值時(shí),求直線/的方程.

變式24.(2024.河南鄭州.高二宜陽縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知直線

I:kx—y+2+3k=。經(jīng)過定點(diǎn)P.

⑴證明:無論左取何值,直線/始終過第二象限;

⑵若直線/交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)4交y軸正半軸于點(diǎn)8,當(dāng);|PA|+g|PB|取最小值時(shí),求

直線/的方程.

變式25.(2024?江蘇宿遷?高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線/過定點(diǎn)

尸且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交》軸正半軸于點(diǎn)3.點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若A03的面積為4,求直線/的方程;

(2)求|。4|+|08|的最小值,并求此時(shí)直線/的方程;

(3)求|E4Hp目的最小值,并求此時(shí)直線/的方程.

【解題方法總結(jié)】

(1)由于已知直線的傾斜角(與斜率有關(guān))及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積(與

截距有關(guān)),因而可選擇斜截式直線方程,也可選用截距式直線方程,故有“題目決定解法”

之說.

(2)在求直線方程時(shí),要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式,每種形式都具有特定的結(jié)論,所以

根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決.例如:已知一點(diǎn)的坐標(biāo),求過

這點(diǎn)的直線方程,通常選用點(diǎn)斜式,再由其他條件確定該直線在y軸上的截距;已知截距或

兩點(diǎn),選擇截距式或兩點(diǎn)式.在求直線方程的過程中,確定的類型后,一般采用待定系數(shù)法

求解,但要注意對特殊情況的討論,以免遺漏.

題型六:兩直線的夾角問題

例16.(2024?上海浦東新?高三上海市川沙中學(xué)校考期末)直線x-by+2=0與直線

氐+2y=1所成夾角的余弦值等于

例17.(2024.高三課時(shí)練習(xí))直線x+2y+2=0與直線3x-y-2=0相交,則這兩條直線的

夾角大小為.

例18.(2024.上海寶山?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線4:2x-y=0,/2:3x+y-1=。,貝也與

12的夾角大小是.

11

變式26.(2024?重慶?高考真題)曲線y=與3-2在交點(diǎn)處切線的夾角

24

是.(用弧度數(shù)作答)

變式27.(2024?全國?模擬預(yù)測)等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為x+y-2=0與

x-7y-4=0,原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上,則底邊所在直線的斜率為.

變式28.(2024?全國?高三專題練習(xí))兩條直線=的夾

角平分線所在直線的方程是.

【解題方法總結(jié)】

若直線、=上逮+伉與直線,=匕尤+8的夾角為a,則tana=1勺.

題型七:直線過定點(diǎn)問題

例19.(2024?四川綿陽?綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校??寄M預(yù)測)已知直線4:x-“y+l=0過

定點(diǎn)A,直線3儂+^-機(jī)+3=0過定點(diǎn)8,4與4相交于點(diǎn)尸,則向「+歸用-.

例20.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b滿足“+26=1,貝|直線依+3y+6=0過定

點(diǎn).

例21.(2024?陜西咸陽?統(tǒng)考二模)直線y=履-左+e恒過定點(diǎn)A,則A點(diǎn)的坐標(biāo)為.

變式29.(2024?遼寧營口?高二??茧A段練習(xí))直/的方程為質(zhì)-y+2Z+l=0化eR),則該

直線過定點(diǎn).

變式30.(2024.上海寶山.高二統(tǒng)考期末)若實(shí)數(shù)。、b、c成等差數(shù)列,則直線

ax+by+<?=0必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解題方法總結(jié)】

合并參數(shù)

題型八:軌跡方程

例22.(2024.全國?高三對口高考)在平面直角坐標(biāo)系中,已知一-.MC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

4(2,3)、3(1,-1)、C(5,l),點(diǎn)尸在直線3c上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)。滿足PQ=PA+P8+PC,求點(diǎn)

。的軌跡方程.

例23.(2024?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)如圖,在平行四邊形Q4BC中,點(diǎn)。是原點(diǎn),點(diǎn)A和點(diǎn)

C的坐標(biāo)分別是(3,0)、(1,3),點(diǎn)。是線段A3上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求A3所在直線的一般式方程;

(2)當(dāng)D在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程.

例24.(2024?湖北咸寧?高二鄂南高中??茧A段練習(xí))如圖,已知點(diǎn)A是直線

乙"-2>>+1=。上任意一點(diǎn),點(diǎn)8是直線/2:尤-2,-4=。上任意一點(diǎn),連接A3,在線段

AB上取點(diǎn)C使得2Ci=3BC-

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;

⑵已知點(diǎn)44,-2),是否存在點(diǎn)C,使得|尸。=3?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,

說明理由.

變式31.(2024.全國.高三專題練習(xí))已知4(-1,1),5(2,1),動(dòng)點(diǎn)M與A,B兩點(diǎn)連線的

斜率分別為kMA、kMB,若kMA=2kMB,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

變式32.(2024?高二課時(shí)練習(xí))在ABC中,A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求上4的平分線

AD所在直線的方程.

變式33.(2024?江蘇?高二假

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