山東省青島市九校聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源～2023學年度第二學期高二期中考試數(shù)學試卷2023.4考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第七章第一節(jié)結束.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.空間直角坐標系中，已知，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點關于yOz平面的對稱點的特征可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得關于yOz平面的對稱點的坐標為，故選：C.2.若4名教師報名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動，可以從A，B，C這3個學校中選報1個，則不同的報名方式有（）A.16種 B.24種 C.64種 D.81種【答案】D【解析】【分析】每位教師報名都有3種選擇，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】每位教師報名都有3種選擇，則4名教師報名方式有（種）.故選：D.3.質點M按規(guī)律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點M在時的瞬時速度為（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的物理意義，求函數(shù)的導數(shù)，即可得到結論.【詳解】由，得，∴質點M在時的瞬時速度為36m/s.故選：B.4.拋物線上一點的縱坐標為2，則點與拋物線焦點的距離為（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由拋物線的準線方程為，焦點，因為拋物線上一點的縱坐標為2，根據(jù)拋物線的定義，可得點與拋物線焦點的距離為.故選：B.5.圓上的點到直線的最大距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程得圓心及半徑，圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑.【詳解】圓化為標準方程得，圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點到直線的最大距離為.故選:C.6.從8名女護士和4名男醫(yī)生中，抽取3名參加支援鄉(xiāng)鎮(zhèn)救護工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為（）A.112 B.32 C.56 D.12【答案】A【解析】【分析】利用分層抽樣的定義和方法確定抽到的女護士與男醫(yī)生的人數(shù)，結合組合數(shù)公式求出結果.【詳解】∵從8名女護士，4名男醫(yī)生中選出3名，∴每個個體被抽到的概率是，根據(jù)分層抽樣要求，應選出名女護士，名男醫(yī)生，∴不同的抽取方法數(shù)為種.故選：A.7.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，，，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的單調性比較大小.【詳解】依題意可得，，，設，則，當時，，單調遞減，又，所以，即，即.故選：D.8.若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先假設函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調遞減，利用的導數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為．故選C.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線的方程為：，則下列說法正確的是（）A.焦點為 B.漸近線方程為C.離心率e為 D.焦點到漸近線的距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)方程求出，再由雙曲線的性質以及點到直線的距離公式得出答案.【詳解】由方程可知則焦點為，漸近線方程為，即離心率為，焦點到漸近線的距離為故選：BC10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項展開式系數(shù)的性質，結合賦值法，逐項計算，即可求解.【詳解】由，令，可得，所以A正確；含的項為，故，所以B錯誤；令，可得，又因為，故，所以C正確；令，可得，又由，故，所以D正確.故選：ACD.11.我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（）A.B.第2023行的第1012個和第1013個數(shù)最大C.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第7個數(shù)D.第34行中從左到右第14個數(shù)與第15個數(shù)之比為2：3【答案】ABD【解析】【分析】A選項，利用組合數(shù)運算公式計算；B選項，如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，且這兩個數(shù)字一樣大；C選項，第6，7，8，9行的第7個數(shù)字分別為：1，7，28，84，C錯誤；D選項，第34行第14個數(shù)字是，第34行第15個數(shù)字是，所以，故D正確.【詳解】A選項，，，故A正確；B選項，由圖可知：第行有個數(shù)字，如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，且這兩個數(shù)字一樣大；如果是偶數(shù)，則第個數(shù)字最大，故第2023行的第1012個和第1013個數(shù)最大，故B正確；C選項，第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個數(shù)字是84，故C錯誤；D選項，依題意：第34行第14個數(shù)字是，第34行第15個數(shù)字是，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列結論錯誤的是（）A.函數(shù)存在兩個不同的零點B.函數(shù)只有極大值沒有極小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則t的最小值為2【答案】BD【解析】【分析】由，得到，可判定A正確；求得，得出函數(shù)的單調區(qū)間，可判定B錯誤；根據(jù)函數(shù)的最小值是，可判定C正確；由函數(shù)的單調性和極值，可判定時，，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，由，可得，解得，所以A正確；對于B中，由，令時，可得，當時，或，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B錯誤；對于C中，當時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，可得函數(shù)大致圖象，所以當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D中，由B知函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，其中，當時，即在區(qū)間時，可得，所以D錯誤.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則曲線在處的切線方程為_________.【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】，則，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.14.正項等比數(shù)列中，，是方程的兩個根，則_________.【答案】##0.5【解析】【分析】利用韋達定理、等比數(shù)列的性質，結合對數(shù)的運算求解.【詳解】，是方程的兩個根，由韋達定理可得，正項等比數(shù)列中，有，所以.故答案為：15.盒中有個紅球，個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，由全概率公式計算可得結果.【詳解】記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為：.16.已知函數(shù)，其導函數(shù)記為，則__________.【答案】2【解析】【分析】利用求導法則求出，即可知道，令，可證得為奇函數(shù)，利用奇偶性即可求解.【詳解】函數(shù)，則，顯然為偶函數(shù)，令，，，所以為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以，，所以.故答案為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.設數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且的前n項和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，進而求解；（2）結合（1）的結論得到，利用裂項相消法即可求解.小問1詳解】因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，所以，則或.又，，∴.【小問2詳解】由（1）可得，，∴18.設函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）當時，求的取值范圍．【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由（1）可得函數(shù)在上的單調性，即可求出函數(shù)的最小值，再求出區(qū)間端點的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的值域.【小問1詳解】因為定義域為，所以，因為，所以，所以當時，當時，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航員在太空歷經大約半年時間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天科學家從左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科學家站在左、右兩端總共有多少種排法；（2）3名宇航員互不相鄰的概率；（3）2名航天科學家之間至少有2名宇航員的概率.【答案】（1）12（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用分步乘法計數(shù)原理以及排列數(shù)的計算求得排法數(shù).（2）利用插空法、排列數(shù)以及古典概型的知識求的所求概率.（3）根據(jù)名航天科學家之間的人數(shù)進行分類討論，利用古典概型的知識求得所求的概率.【小問1詳解】第一步，先排2名航天科學家，第二步，再排3名宇航員，所以總共有（種）.【小問2詳解】先排2名航天科學家，然后再插入3名宇航員，所以總共有（種），5人排成一排一共（種），所以所求的概率為：.小問3詳解】①當2名航天科學家之間有3名宇航員時，；②當2名航天科學家之間有2名宇航員時，，故.20.設橢圓：的離心率為，且短軸長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若在y軸上的截距為2的直線與橢圓C分別交于A，B兩點，O為坐標原點，且直線OA，OB的斜率之和等于12，求直線AB的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率的值可得，，可求出的值，由此得解；（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用斜率公式結合韋達定理可求得的值，從而得到直線的方程.【小問1詳解】由題可得，由有，，解得，故所求橢圓方程為：.【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設：，，，聯(lián)立，或，∴，，∴，，故直線AB的方程為.21.如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，．（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，的長為或，理由見解析.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，求出，根據(jù)與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進而求得的長.【小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，故可設，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長為或，使與平面所成角的正弦值為.22.已知函數(shù).（1）判斷在上的單調性；（2）若，求證：.【答案】（1