新疆烏魯木齊地區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)文試題含解析

新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)（文）試題（卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集的運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題得答案.【詳解】依據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題可得，命題“，”的否定是，.故選：C.3.已知向量，若與共線，則等于（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先得出與的坐標(biāo)，由共線得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：易得，因?yàn)榕c共線，所以，即，所以.故選：.4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法求出，再寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D5.已知直線a，b與平面α，β，γ，能使的充分條件是（）A.，， B.，C.， D.，，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一推斷即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由，，可得或者與相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，可得與可能平行、相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，過(guò)直線做平面與平面相交與直線，如上圖所示，，又，，又，，故正確；對(duì)于D，當(dāng)與相交但是不垂直時(shí)，也有可能，，故錯(cuò)誤；故選:C6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢(qián)，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問(wèn)乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢(qián)？則下列說(shuō)法正確的是（）A.乙分到37文，丁分到31文 B.乙分到40文，丁分到34文C.乙分到31文，丁分到37文 D.乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】【分析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為，，，，，，，再依據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故選：A.7.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿意，且當(dāng)時(shí)，，則（）A6 B.3 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)恒有，得到函數(shù)的周期是6，再由定義在R上的奇函數(shù)，得到，然后求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，恒有，所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，又定義在R上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，，，故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知式求得，然后再由余弦的二倍角公式求值．【詳解】由，得，，，∴．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的余弦公式的二倍角公式，解題關(guān)鍵是結(jié)合已知角和未知角的關(guān)系確定選用什么公式．9.已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與在其次象限交于點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線垂直平分線段，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而得直線、的方程并聯(lián)立得，再將其代入雙曲線方程整理得，再求離心率即可.詳解】解：由題設(shè)，漸近線，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與在其次象限交于點(diǎn)，所以，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線垂直平分線段，所以，，，所以，直線的方程為，直線的方程為，所以，聯(lián)立方程得，所以，將代入整理得，即，所以，的離心率為.故選：D10.函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）A.函數(shù)的解析式為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為了得到函數(shù)f（x）的圖像，可將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.函數(shù)的最大值為4【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，由圖像求得函數(shù)的解析式，然后依據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)圖像變換，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由圖像可得，，則，且，所以，再將點(diǎn)代入，可得，即，所以，又，則，將點(diǎn)代入，可得，所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，解得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，故正確；對(duì)于C，由題意可得，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即，故正確；對(duì)于D，要使得到，則當(dāng)且時(shí)，即當(dāng)，此時(shí)，故不滿意，故錯(cuò)誤；故選:D11.已知函數(shù)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的單調(diào)性，然后比較的大小，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，；易知為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù).因?yàn)椋?；又，所以，所?故選：B.12.如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的外接球體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定球心的大致位置，結(jié)合勾股定理，得出半徑的最大值，進(jìn)而可求外接球的體積的最大值.【詳解】因?yàn)?，，所以的外接圓的圓心為的中點(diǎn),且，取的中點(diǎn)，連接，則，所以平面；設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則在上，設(shè)，，球半徑為，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即外接球半徑的最大值為，所以三棱錐的外接球的體積的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球半徑為；（2）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，則其外接球的半徑為；（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球的半徑為.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22~23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的骰子，則兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等的概率是______．【答案】【解析】【分析】通過(guò)列舉事務(wù)，利用古典概率求解.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的骰子，全部基本領(lǐng)件為：，共有36種；兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等的基本領(lǐng)件為：，共有6種，所以兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等的概率是.故答案為：.14.公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則______．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)條件求出首項(xiàng)和公比，再利用通項(xiàng)公式求.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以或（舍），所?故答案為：.15.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題知，進(jìn)而依據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：如圖，由題知，將代入方程得，故所以，，所以，因?yàn)?，整理得，解得（舍），所以，拋物線，準(zhǔn)線方程為：故答案為：16.已知函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求定義域，求導(dǎo)，分與兩種狀況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和極值狀況，列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在性定理得：存在唯一的使得：，故滿意要求，當(dāng)時(shí)，由得或，由得，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，只需，解得：，與取交集后得到，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.在△ABC中，邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，，．（1）求角C的大?。唬?）若，求邊c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理可求角C的大??；（2）利用正弦定理和倍角公式可求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以；因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，即；因?yàn)?，所以，所?18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（1）證明：平面PAB；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）在線段上取點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明即可證明結(jié)論；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在線段上取點(diǎn)，使得，所以，在中，，且，因?yàn)樵谒倪呅沃校?，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】作交于點(diǎn)，因?yàn)槊?，所以，又，與交于點(diǎn)，所以面，，又，所以，所以，所以，得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以19.某經(jīng)營(yíng)禮品花卉的店主記錄了去年當(dāng)中100天的A，B兩種花卉每枝的收益狀況，如表所示：A種花齊：收益x（元）02天數(shù)103060B種花齊：收益y（元）012天數(shù)303040（1）假如店主向你詢問(wèn)，明年就經(jīng)營(yíng)一種花卉，你會(huì)給出怎樣的建議呢？（2）在實(shí)際中可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤?jīng)營(yíng)這兩種花卉，假設(shè)兩種花卉的進(jìn)貨價(jià)都是每枝1元，店主安排投入10000元，請(qǐng)你給出一個(gè)經(jīng)營(yíng)方案，并說(shuō)明理由．【答案】（1）B種花卉收益穩(wěn)定，選擇B種花卉.理由見(jiàn)詳解；（2）投資A種花卉3485元，投資B種花卉6515元.【解析】【分析】(1)先求出A、B種花卉收益的數(shù)學(xué)期望和方差，結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差的意義即可下結(jié)論；(2)依據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差公式求解兩種花卉收益的方差即可.【小問(wèn)1詳解】記A種花卉方差為，B種花卉方差為，A種花卉收益X-1,0,2，，，，所以，所以；B種花卉收益Y為0,1,2，，，，所以，所以,因?yàn)?，所以B種花卉收益穩(wěn)定，選擇B種花卉經(jīng)營(yíng)；【小問(wèn)2詳解】設(shè)投入a元經(jīng)營(yíng)A種花卉，則投入元經(jīng)營(yíng)B種花卉，所以元，，當(dāng)時(shí)，兩種花卉收益方差最小，收益最穩(wěn)定，10000-3485=6515元，故投入3485元經(jīng)營(yíng)A種花卉，則投入6515元經(jīng)營(yíng)B種花卉.20.已知在處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式：（2）是導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)隨意，都有．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)條件得到關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，令，然后求導(dǎo)得到其在上的最大值，即可得證.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，且，則，即，即，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，所以，令，則，所以時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即21.已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的一條弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為，，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，待定系數(shù)求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而得，再聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，二次函數(shù)最值整理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，因?yàn)槭墙?jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的一條弦且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，所以，，所以，，聯(lián)立方程得，所以所以，，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：與曲線C：（θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知射線m：與直線l和曲線C的公共點(diǎn)分別為A，B，，當(dāng)時(shí)，求α的值．【答案】（1）直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）.【解析】【分析】（1）干脆將直線極坐標(biāo)化得，即，對(duì)曲線參數(shù)方程消去參數(shù)得，則得到其極坐標(biāo)方程；（2）由題有，化簡(jiǎn)得，再依據(jù)范圍即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】由直線得，即，直線的極坐標(biāo)方程為，由曲線(為參數(shù))的參數(shù)方程