2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練20 空間向量與距離、探究性問(wèn)題（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練20空間向量與距離、探究性問(wèn)題[考情分析]空間向量與距離、探究性問(wèn)題在高考試題中出現(xiàn)較少，一般以解答題的形式考查，難度在中檔以上．【練前疑難講解】一、空間距離(1)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離直線(xiàn)l的單位方向向量為u，A是直線(xiàn)l上的任一點(diǎn)，P為直線(xiàn)l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點(diǎn)到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).二、探究性問(wèn)題空間向量求解探究性問(wèn)題：(1)假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論；(2)在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解、是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．若由此推導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．一、單選題1．（2024·河北滄州·二模）已知四面體滿(mǎn)足，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·江蘇徐州·期末）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．與所成的角可能是C．是定值 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為14．（2024·江西鷹潭·二模）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（

）

A．B．若為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為3C．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是D．直線(xiàn)與平面所成角正弦值的最大值為三、填空題5．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在三棱錐中，平面平面ACD，O是AD的中點(diǎn)，若棱長(zhǎng)，且，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為，點(diǎn)O到平面ABC的距離為.6．（2024·遼寧·一模）已知空間中的三個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．四、解答題7．（22-23高二下·江蘇南京·期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．8．（22-23高三下·湖南·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且.現(xiàn)將沿翻折到，如圖2.(1)證明：.(2)已知二面角為，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．2．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn).直線(xiàn)到平面的距離為（

）.A． B． C． D．二、多選題3．（2024·黑龍江·二模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．兩條異面直線(xiàn)和所成的角為B．直線(xiàn)與平面所成的角等于C．點(diǎn)到面的距離為D．四面體的體積是4．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，點(diǎn)G在底面上，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若存在λ使得，則B．若，則平面C．三棱錐體積的最大值為2D．二面角的余弦值為5．（2024·河北承德·二模）如圖，在正四棱柱中，是棱的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．是平面的一個(gè)法向量B．C．點(diǎn)到平面的距離為D．二面角的正弦值為6．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則（

）A．平面平面B．點(diǎn)到平面的距離的最大值為C．當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，異面直線(xiàn)與所成的角為D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，球的表面積為三、填空題7．（2023·廣東江門(mén)·一模）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d為.四、解答題8．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．9．（2024·天津·二模）如圖，在多面體中，，，，平面，，，.(1)求證：直線(xiàn)平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.10．（22-23高三上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面.(1)證明：；(2)已知，，平面與平面的交線(xiàn)為.在上是否存在點(diǎn)，使直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為?若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若不存在，試說(shuō)明理由.11．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面.

(1)求證：平面平面.(2)求二面角的余弦值.(3)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，求的長(zhǎng).12．（2024·貴州黔西·一模）如圖所示為直四棱柱，，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)證明:平面；(2)求直線(xiàn)BC與平面所成角的正弦值，并判斷線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·天津南開(kāi)·一模）在長(zhǎng)方體中，，，其外接球體積為，則其外接球被平面截得圖形面積為（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·江蘇南京·期中）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D，E分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心G，則點(diǎn)到平面ABD的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江西上饒·一模）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線(xiàn)與底面所成的角為30° B．到直線(xiàn)的距離為C．平面 D．平面4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，幾何體的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形底面，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，該幾何體的體積為45B．當(dāng)時(shí)，該幾何體為臺(tái)體C．當(dāng)時(shí)，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)表面積為S的球，則S的最大值為D．當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大時(shí)，則三、填空題5．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）正方體棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，M是正方體的表面上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的表面積為．6．（2024·北京通州·二模）如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)G是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)H是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①不存在點(diǎn)H，使得平面平面CEG；②存在點(diǎn)H，使得平面CEG；③不存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)H到平面CEG的距離大于；④存在點(diǎn)H，使得直線(xiàn)DH與平而CEG所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．四、解答題7．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若與平面所成的角為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，求點(diǎn)到平面的距離.8．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線(xiàn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.9．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面ABCD，點(diǎn)P、Q分別是棱、的中點(diǎn)．

(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足平面CPQ?若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)平面CPQ交棱于點(diǎn)T，平面CPTQ將四棱臺(tái)，分成上、下兩部分，求上、下兩部分的體積比．10．