2025年高考數(shù)學二輪復習 專題六 解析幾何 第7講　探究性問題解析版

第7講探究性問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 5【考點一】探究性問題 5【專題精練】 24真真題自測一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點的動直線與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得．若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標系中，已知點為橢圓上一點，、分別為橢圓的左、右焦點.(1)若點的橫坐標為2，求的長;(2)設的上、下頂點分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點在軸上方，設直線與交于點，與軸交于點延長線與交于點，是否存在軸上方的點，使得成立?若存在，請求出點的坐標;若不存在，請說明理由.參考答案：1．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標準方程.（2）設該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結合韋達定理和向量數(shù)量積的坐標運算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，設，由可得，故且而，故，因為恒成立，故，解得.若過點的動直線的斜率不存在，則或，此時需，兩者結合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達定理，此時注意直線方程的合理假設.2．(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點的縱坐標，再利用兩點間距離公式計算即得.（2）設，求出，再利用給定關系求出的范圍，進而求出的范圍.（3）設，利用向量坐標運算及共線向量的坐標表示可得，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理求解即得.【詳解】（1）設，由點為橢圓上一點，得，即，又，所以.（2）設，而，則，由，得，即，又，則，解得，，所以的范圍是.（3）設，由圖象對稱性，得、關于軸對稱，則，又，于是，則，同理，由，得，因此，即，則，設直線，由消去得，則，即，而，解得，，由，得，所以.【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系；涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．考點突破考點突破【考點一】探究性問題一、單選題1．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線，的焦點分別為、，若、分別為、上的點，且線段平行于軸，則下列結論錯誤的是（

）A．當時，是直角三角形 B．當時，是等腰三角形C．存在四邊形是菱形 D．存在四邊形是矩形2．（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.若，點為雙紐線上任意一點，則下列結論正確的個數(shù)是（

）①關于軸不對稱②關于軸對稱③直線與只有一個交點④上存在點，使得A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2024·福建泉州·二模）雙曲線，左、右頂點分別為A，B，O為坐標原點，如圖，已知動直線l與雙曲線C左、右兩支分別交于P，Q兩點，與其兩條漸近線分別交于R，S兩點，則下列命題正確的是（

）A．存在直線l，使得B．當且僅當直線l平行于x軸時，C．存在過的直線l，使得取到最大值D．若直線l的方程為，則雙曲線C的離心率為二、多選題4．（2025·四川巴中·模擬預測）已知A，B為雙曲線的左，右頂點，分別為雙曲線C的左，右焦點．下列命題中正確的是（

）A．若R為雙曲線C上一點，且，則B．到雙曲線C的漸近線的距離為C．若P為雙曲線C上非頂點的任意一點，則直線的斜率之積為2D．雙曲線C上存在不同兩點關于點對稱5．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過的右支上的兩點反射后，分別經(jīng)過點和，其中共線，則（

）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當點的坐標為時，光線由經(jīng)過點到達點所經(jīng)過的路程為6C．當時，的面積為12D．當時，6．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，點與點關于原點對稱，過點的直線與拋物線交于兩點（點和點在點的兩側），則（

）A．若為的中線，則B．若為的角平分線，則C．存在直線，使得D．對于任意直線，都有三、填空題7．（2024·北京順義·三模）已知直線l經(jīng)過點，曲線：.①曲線經(jīng)過原點且關于對稱；②當直線l與曲線有2個公共點時，直線l斜率的取值范圍為；③當直線l與曲線有奇數(shù)個公共點時，直線l斜率的取值共有4個④存在定點Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)都不可能為2以上說法正確的是8．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線：上存在兩點，，，直線與軸交于點，拋物線：上存在兩點，，，從點向直線作垂線，則垂足的軌跡方程為．9．（2024·浙江溫州·模擬預測）橢圓的右焦點是F，過F的直線交橢圓C于A，B兩點.點O是坐標原點，若直線AB上存在異于F的點P，使得，則的取值范圍是.四、解答題10．（24-25高三上·上海寶山·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點，且右焦點F?到雙曲線.漸近線的距離為(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線與橢圓C交于A、B兩點.①若直線過橢圓右焦點F?，且△AF?B的面積為求實數(shù)k的值；②若直線過定點P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由.11．（2024·遼寧·模擬預測）已知雙曲線過點，離心率為2.(1)求的方程；(2)過點的直線交于，兩點（異于點），證明：當直線，的斜率均存在時，，的斜率之積為定值.12．（2024·全國·二模）橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，過點的動直線與橢圓相交于P，Q兩點，當直線的斜率為1時，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線AP與直線的交點為，是否存在定實數(shù)，使Q，B，N三點共線?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：題號123456答案CCDBCABDBD1．C【分析】設出的坐標并求得PQ，由此對選項進行分析，結合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，線段平行于軸，不妨設在第一象限，設，則，焦點，A選項，當時，解得，所以，則，是直角三角形，A選項正確.B選項，當時，解得，所以，由于，所以關于直線對稱，而，所以此時是等腰三角形.對于CD選項，先考慮四邊形是平行四邊形，則，則，此時，，所以四邊形是矩形，不是菱形，所以C選項錯誤，D選項正確.故選：C2．C【分析】用定義法把動點的軌跡方程求出來，利用代換，方程沒有變化，可知雙紐線關于軸，軸，原點對稱，再利用它與聯(lián)立方程組，解得只有一組解，可知③正確，再利用原點到的距離正好是,可知滿足題意，所以④正確，從而可以做出所有選項的判斷.【詳解】①設Mx,y到定點的距離之積為4，可得.，整理得，即曲線的方程為，由用代換，方程沒變，可知曲線關于軸對稱，由用代換，方程沒變，可知曲線關于軸對稱，由用代換，用同時代換，方程沒變，可知曲線關于原點對稱，圖象如圖所示：所以①不正確，②正確；③聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以直線與曲線只有一個交點，所以③正確.④原點O0,0滿足曲線的方程，即原點在曲線上，則，即曲線上存在點與原點重合時，滿足，所以④正確.故選:C.3．D【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點可對A項判斷；設直線分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出和坐標，從而可對B、C項判斷；根據(jù)，求出，從而可對D項判斷.【詳解】解：對于A項：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點，故A項錯誤；對于B項：設直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，其中，設，由根與系數(shù)關系得：，所以線段PQ中點，將直線，與漸近線聯(lián)立得點S坐標為，將直線與漸近線聯(lián)立得點R坐標為，所以線段RS中點，所以線段PQ與線段RS的中點重合．所以，對任意的直線l，都有，故B項不正確；對于C項：因為為定值，當k越來越接近漸近線的斜率時，趨向于無窮，所以會趨向于無窮，不可能有最大值，故C項錯誤；對于D項：聯(lián)立直線l與漸近線，解得，聯(lián)立直線l與漸近線，解得由題可知，，，解得，所以，故D項正確．故選：D．【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.4．BC【分析】根據(jù)雙曲線的定義、漸近線、斜率、對稱等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于雙曲線，，A選項，根據(jù)雙曲線的定義，由，解得或，所以A選項錯誤.B選項，雙曲線的一條漸近線方程為，即，到直線的距離為，所以B選項正確.C選項，設，則，，所以，C選項正確.D選項，設不同兩點關于點對稱，則，則，兩式相減并化簡得，則，即，此時直線，代入雙曲線方程得，，這與是雙曲線上不同的兩點矛盾，所以D選項錯誤.故選：BC【點睛】方法點睛：求解雙曲線定義有關問題，一定要注意雙曲線定義中的“絕對值”.在雙曲線中，有關弦和中點的問題，可以考慮利用“點差法”來解決.5．ABD【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線的斜率，可得判定A正確；根據(jù)雙曲線的定義，求得由經(jīng)過點到達點所經(jīng)過的路程，可判定B正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，得到，得到，設，列出方程，求得，進而可判定C錯誤；在直角中，結合，可判定D正確．【詳解】如圖所示，過點分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，對于A中，由圖可知，當點均在的右支時，或，所以A正確；對于B中，光線由經(jīng)過點到達點所經(jīng)過的路程為，所以B正確；對于C中，由，得，即，所以，設，則，因為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面積，所以C錯誤；對于D項，在直角中，，所以，所以D正確．故選：ABD．6．BD【分析】首先設直線的方程，并聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達定理，再根據(jù)各項描述，拋物線的定義，即可判斷選項.【詳解】設題意可得，則，設，不妨令，都在第一象限，

聯(lián)立，則，且，即，所以，，則，，如上圖所示，對于A：若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，則，故A錯誤；對于B：若為的角平分線，則，作垂直準線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B正確；對于C：若，即，即為等腰直角三角形，此時，即，所以，所以，所以，所以，則此時為同一點，不合題設，故C錯誤；對于D：，而，結合，可得，即恒成立，故D正確.故選：BD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)拋物線的幾何關系，轉化為坐標運算.7．①②④【分析】將點分別代入曲線的方程即可判斷①；將曲線方程轉化為兩個圓的方程，結合圖像利用直線和圓的位置關系逐項分析即可判斷②③④.【詳解】對于①，將點分別代入曲線的方程，得，，所以曲線關于對稱，將代入曲線的方程得，所以曲線經(jīng)過原點，所以曲線經(jīng)過原點且關于對稱，故①正確；由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以，為圓心，為半徑的兩個圓，如圖所示，設過點A且與圓N相切的直線方程為，則點N到該直線的距離，解得，，即圖中直線AC的斜率為1，直線AD的斜率為，直線AO的斜率為，直線AC的方程為，點M到直線AC的距離，則直線AC與圓M相切于點B，設過點A且與圓M相切的直線方程為，則點M到該直線的距離，解得，，由圖可知，當直線l與曲線有2個公共點時，直線l斜率的取值范圍為，故②正確；由圖可知，直線AO與曲線的公共點個數(shù)為3，直線AD與曲線的公共點個數(shù)也為3，直線與曲線的公共點個數(shù)為1，所以當直線l與曲線有奇數(shù)個公共點時，直線l斜率的取值共有3個，故③錯誤；因為過原點O的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)為1或3，所以存在定點Q（Q與O重合），使得過Q的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)都不可能為2，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】關鍵點點睛：將曲線方程轉化為兩個圓的方程，是解決本題的關鍵.8．,【分析】設直線：、：（），分別聯(lián)立拋物線方程，結合韋達定理和兩點距離公式可得直線與直線均過定點，根據(jù)、，進而確定點的軌跡，結合圓的標準方程即可求解.【詳解】設直線：，由，得，需有，所以，所以，則直線：，故點的坐標為1,0．若直線的斜率為0，，故，若直線的斜率存在，設直線：（）．由，得，，所以，即，得，所以直線的方程為或，綜上，直線必過點0,2或點.若直線過0,2，因為，，所以點的軌跡是以為直徑的圓（去除原點），圓心坐標為，半徑為，所以點的軌跡方程為（）．若直線過，設：，由可得，由可得，當：時，過的垂線方程為，此時.同理當：時，此時.故此時點的軌跡是以為直徑的圓（去除部分），圓心坐標為，半徑為，所以點的軌跡方程為：（或）．故答案為：（）或（或）．【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵是由條件挖掘出直線與直線均過定點，設直線方程時要注意方程形式的選擇，聯(lián)立方程消元時也要注意條件的特點消去，再根據(jù)垂直關系挖掘出隱圓，這也是本題關鍵點之一．9．【分析】分類討論直線AB的斜率是否為0，設設，聯(lián)立方程，由數(shù)量積結合韋達定理可得，結合基本不等式運算求解即可.【詳解】由題意可知：，則F1,0，因為直線AB過F，可知直線AB與橢圓必相交，若直線AB的斜率為0，即直線AB為x軸，不妨設，則，因為，則，解得，當，此時點即為點，不合題意；當，此時點，；若直線AB的斜率不為0，設，則，聯(lián)立方程，消去x得，則，因為，則，可得，整理得，則，，即，可得，因為，則，當且僅當，即時，等號成立，可得，所以；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中范圍問題的方法一般題目中沒有給出明確的不等關系，首先需要根據(jù)已知條件進行轉化，利用圓錐曲線的幾何性質及曲線上點的坐標確定不等關系；然后構造目標函數(shù)，把原問題轉化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時應注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉化．10．(1)(2)①;②【分析】（1）利用點到直線的距離公式求解橢圓參數(shù)即可；（2）①把直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用弦長公式和點到直線的距離公式，即可求出面積等式，最后求解k的值；②把菱形問題轉化為對角線互相垂直問題，最后轉化為兩對角線的斜率之積為，通過這個等式轉化為的函數(shù)，即可求解取值范圍.【詳解】（1）由雙曲線.的漸近線方程為，再由橢圓的右焦點分別為到漸近線的距離為可得：，因為，所以解得，再由橢圓的一個頂點為，可得，所以由，即橢圓C的標準方程為；（2）①直線過橢圓右焦點F?可得：，即，所以由直線與橢圓C的標準方程聯(lián)立方程組，消去得：，設兩交點Ax1所以，又橢圓左焦點F1-1,0到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過定點，且，可知直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，由，且，解得，

設兩交點Ax1,y1,B所以，即，整理得，又因為，所以，則.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是把以為鄰邊的平行四邊形為菱形，轉化為對角線互相垂直，再利用求解中點坐標來表示斜率，最后利用斜率乘積等于，從而得到關于的函數(shù)來求取值范圍.11．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件找到雙曲線中的，從而求出的方程.（2）利用平移齊次化進行證明即可.【詳解】（1）由雙曲線C:x2a2-又離心率為2，則，即，，即，代入，可得，，，因此，的方程為：.（2）將雙曲線向左平移2個單位長度，向下平移3個單位長度，得到雙曲線為，得到的雙曲線如圖所示，則平移到，平移到，平移后，變?yōu)?，，設，，直線的方程為：①，②，將①代入②，用“1”的代換得，則，各項同時除以，得，則，又直線過，則，即，因此，故當直線，的斜率存在時，，的斜率之積為定值.【點睛】方法點睛：平移齊次化的步驟，（1）平移；（2）與圓錐曲線聯(lián)立并其次化；（3）同除；（4）利用根與系數(shù)的關系進行證明結論；如果是過定點的問題還需要平移回去.12．(1)(2)【分析】（1）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，利用弦長公式和韋達定理，橢圓離心率表達式進行聯(lián)立，求得，即得橢圓方程；（2）先由直線與軸垂直時的情況，求出，當直線不與軸垂直時，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得韋達定理，由特殊情況取時求得點坐標，通過判斷是否共線檢驗是否可得到Q，B，N三點共線完成猜想證明.【詳解】（1）

如圖，設，當直線的斜率為1時，直線方程為.聯(lián)立消去，得.顯然，則即.又離心率則，即.解得.橢圓的標準方程為.（2）由題意知，當直線與軸垂直時，，則AP的方程為，令，得，，由三點共線，可得，，解得當直線不與軸垂直時，設直線的方程為.聯(lián)立消去，得.，AP的方程為，令，得，即共線，故Q，B，N三點共線.故存在定實數(shù)，使Q，B，N三點共線.【點睛】思路點睛：本題主要考查橢圓與直線相交產(chǎn)生的定直線存在性命題，屬于難題.解題思路是先由特殊情況—直線與軸垂直時的情況，得到定直線，再由一般情況，推理該定直線是否符合題意進行檢驗證明從而得解.規(guī)律方法：探索性問題的求解策略(1)若給出問題的一些特殊關系，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對已知關系進行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律．(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述問題時，一般先對結論給出肯定的假設，然后由假設出發(fā)，結合已知條件進行推理，從而得出結論．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·北京豐臺·二模）已知曲線與直線，那么下列結論正確的是（

）A．當時，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點B．當時，存在，曲線與直線恰有三個公共點C．當時，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點D．當時，存在，曲線與直線恰有三個公共點2．（2024·云南大理·模擬預測）已知拋物線：上存在兩點，關于直線：對稱，若，則（

）A．5 B． C．4 D．3．（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知坐標原點為，拋物線的焦點為．若第一象限內的拋物線上存在一點，使得的外接圓與拋物線的準線相切，則直線與外接圓的關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交且過圓心 D．相交但不過圓心二、多選題5．（2024·黑龍江·模擬預測）已知橢圓方程為，則下列說法錯誤的是（

）．A． B．存在m值使橢圓的離心率C．橢圓的焦距不確定 D．橢圓的焦點在y軸6．（2024·河南南陽·模擬預測）已知橢圓，點分別為的左?右焦點，點分別為的左?右頂點，過原點且斜率不為0的直線與交于兩點，直線與交于另一點，則（

）A．的離心率為B．的最小值為C．上存在一點，使D．面積的最大值為27．（2024·安徽阜陽·一模）已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為兩點都在上，，三點共線，（不與重合）為上頂點，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點，使得 D．8．（2022·廣東韶關·二模）已知拋物線的焦點為，準線交軸于點，直線過且交于不同的兩點，在線段上，點為在上的射影．線段交軸于點，下列命題正確的是（

）A．對于任意直線，均有B．不存在直線，滿足C．對于任意直線，直線與拋物線相切D．存在直線，使三、填空題9．（2024·全國·模擬預測）在拋物線上存在一動點（非原點），過點作拋物線的切線分別交軸、軸于點，過點作的垂線分別交軸、軸于點．若與的面積相等，則直線的方程為．10．（22-23高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線上存在兩點（異于坐標原點），使得，直線AB與x軸交于M點，將直線AB繞著M點逆時針旋轉與該拋物線交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為．11．（2023·上海閔行·二模）不與軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.12．（2023·安徽安慶·二模）已知在平面直角坐標系中橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上不同于四個頂點的任意一點，延長線段到，若在軸上存在一點，滿足，垂足為，則.四、解答題13．（23-24高三上·上海·階段練習）已知A0,3和是橢圓Γ：上兩點，O是坐標原點.(1)求橢圓Γ的離心率；(2)若過點P的直線交Γ于另一點B，且的面積為9，求直線的方程：(3)過中點的動直線與橢圓Γ有兩個交點M，N，試判斷在軸上是否存在點使得.若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，說明理由.14．（2022·廣東茂名·一模）已知橢圓C：經(jīng)過點，其右焦點為Fc,0，下頂點為B，直線BF與橢圓C交于另一點D，且．(1)求橢圓C的方程；(2)O為坐標原點，過點M作x軸的垂線，垂足為A，過點A的直線與C交于P，Q兩點，直線OP與交于點H．直線OQ與交于點G，設的面積為，的面積為，試探究是否存在最小值．若存在，求出此時直線PQ的方程；若不存在，請說明理由．15．（2024·山西呂梁·三模）如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點，Px0,y0橢圓上的動點，若到左焦點距離的最大值為，最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過動點Px0,y0作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點，記四邊形的對角線相交于點，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.16．（2024·福建泉州·模擬預測）設A，B為橢圓C：的短軸端點，P為橢圓上異于A，B的任意一點，D在直線上．(1)求直線，的斜率的乘積；(2)證明：；(3)過右焦點F作x軸的垂線，E為上異于F的任意一點，直線交C于M，N兩點，記直線，，的斜率分別為，，，是否存在，，的某個排列，使得這三個數(shù)成等差數(shù)列？若存在，加以證明；若不存在，請說明理由．參考答案：題號12345678答案CBDDADACDBCDAC1．C【分析】根據(jù)曲線的對稱性，分別討論當直線與曲線的上、下半部分相切時的取值即可求解.【詳解】曲線的圖象如圖所示，若，當直線與曲線上半部分相切時，由整理得，由得，當直線與曲線下半部分相切時，由整理得，由得，結合曲線圖象的對稱性可得，當或時，曲線與直線有一個交點，當時，曲線與直線沒有交點，當或時，，曲線與直線有兩個交點，AB說法錯誤；若，當直線與曲線上半部分相切時，由整理得，由得，當直線與曲線下半部分相切時，由整理得，由得，結合曲線圖象的對稱性可得，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點，C說法正確，D說法錯誤，故選：C2．B【分析】設直線為，聯(lián)立拋物線可得與交點橫坐標有關韋達定理，結合題目條件可計算出直線方程，再借助線段的中點在上計算即可得.【詳解】設直線為，代入拋物線得，則，，∴，直線為，線段的中點記為，則，.又中點在上，∴.故選：B.3．D【分析】根據(jù)雙曲線定義和，得到，結合，得到不等式，又雙曲線的離心率大于1，得到答案.【詳解】因為，所以，又，所以，所以離心率，又雙曲線的離心率大于1，所以．故選：D．4．D【分析】根據(jù)給定條件，求出外接圓的半徑及圓心坐標，再判斷直線與圓的位置關系.【詳解】由，得拋物線的焦點，準線方程為，顯然的外接圓圓心在線段的垂直平分線上，則，半徑為，由的外接圓與拋物線的準線相切，得點在拋物線上，，即，顯然點到直線的距離，所以直線與的外接圓相交但不過圓心.故選：D5．AD【分析】A選項，根據(jù)橢圓方程的特點列不等式，解不等式即可；B選項，根據(jù)離心率得到，然后分和兩種情況討論；C選項，求焦距即可判斷；D選項，根據(jù)橢圓方程判斷焦點位置.【詳解】由題知橢圓方程，則，即且，A錯誤；若，所以，得，故焦距是不確定的，C正確；對于B，由于橢圓離心率，得，若，即，解得，符合題意；若，即，解得，符合題意，B正確；對于D，若，橢圓焦點在y軸，若，橢圓焦點在x軸，D錯誤．故選：AD．6．ACD【分析】熟悉橢圓的離心率公式，橢圓焦半徑取值范圍為，焦半徑三角形頂角在上頂點時取最大，先對選項A、B、C作出判斷，對于選項D，就需要設出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，再把三角形面積計算公式轉化到兩根關系上來，最后代入韋達定理得到關于的函數(shù)式，從而求出最值.【詳解】由題知，該橢圓中，所以離心率為正確；根據(jù)橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點得，距離最大為，距離最小為，又直線的斜率不為0，所以，B錯誤；當橢圓的對稱可知當為短軸頂點時，取得最大值，此時，由余弦定理得，故，即上存在一點，使正確；設直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得，設，則，所以，又點到直線的距離為，所以，令，則，當且僅當，即時，等號成立，所以面積的最大值為正確；故選：ACD.7．BCD【分析】求出可判斷A；由橢圓的對稱性可判斷B；因為，所以以為直徑的圓與橢圓有交點可判斷C；求出可判斷D.【詳解】對于A，由橢圓的方程可知，所以焦點，設Ax1,y1，則因為Ax1,，即，A錯誤；對于B，由橢圓的對稱性可知，，可得B正確；對于C，因為，所以以為直徑的圓與橢圓有交點，則存在點，使得，故C正確；對于D，設Ax1,y1則，故D正確．故選:BCD．8．AC【分析】A選項由為線段的中點以及拋物線定義即可判斷，B選項由及拋物線方程求出，坐標，再說明，，三點共線，即存在直線即可，C選項設，，表示出直線，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷，D選項設出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結合基本不等式得即可判斷．【詳解】對于選項A，如圖，由拋物線知為的中點，軸，所以為線段的中點，由拋物線的定義知，所以，所以選項A正確；對于選項B，設，，，，，為線段的中點，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項B不正確；對于選項C，由題意知，為線段的中點，從而設，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項C正確；對于選項D，設的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項D錯誤，

故選：AC．【點睛】方法點晴：（1）直線與拋物線的位置關系一般需要設出直線方程，然后與拋物線聯(lián)立，進而利用根與系數(shù)的關系；（2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．9．或.【分析】本題先求帶切線方程，進而求出直線的方程，由面積相等求出，代入求解即可.【詳解】設點．由，得，所以直線的方程為，直線的方程為，所以，，，，從而的面積的面積．由，得，所以，解得或．所以直線的方程為或，即或．故答案為：或.【點睛】關鍵點點睛：本題以拋物線為載體，考查拋物線的簡單幾何性質、導數(shù)的幾何意義、三角形的面積公式，考查方程思想、轉化與化歸思想，體現(xiàn)了數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．主要采用待定系數(shù)的方法求解.10．【分析】設直線的方程為，聯(lián)立方程組，由條件證明，由此可得，再求，求四邊形ACBD面積的解析式，求其最小值即可.【詳解】由已知直線的斜率存在，且不為，故可設直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，設，則，所以因為，所以，所以，所以，又異于坐標原點，所以，所以，所以，所以直線的方程為，且所以直線與軸的交點為，所以點的坐標為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，設，則，所以，由已知，所以四邊形ACBD面積，設，則，，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，此時，設，可得，，所以當時，即時，取最小值，最小值為，所以四邊形ACBD面積的最小值為.故答案為：.

【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．11．【分析】由點差法得，結合得，代入斜率公式化簡并利用可求得.【詳解】設，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故，則.故答案為：12．【分析】由條件結合離心率定義求，由條件證明，結合橢圓定義可得，利用中位線性質求.【詳解】設橢圓的半焦距為，則，故，由題可知，解得.因為，所以為線段的中點，且是的垂直平分線，則.由橢圓定義可知.因為為的中點，所以.故答案為：.

13．(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）代入兩點得到關于的方程，解出即可；（2）以為底，求出三角形的高，即點到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點坐標，則得到直線的方程；（3）設該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結合韋達定理和向量數(shù)量積的坐標運算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）由題意得，解得，橢圓方程為：.所以.（2），則直線的方程為，即，，由（1）知，設點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設該平行線的方程為：，則，解得或，當時，聯(lián)立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即，當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯(lián)立得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或.（3）橢圓方程為：.若過中點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，設，由可得，故且而，故，因為恒成立，故，解得.若過點的動直線的斜率不存在