高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

考研?高教基礎(chǔ)知識(shí)切片講義

高數(shù)基礎(chǔ)知

識(shí)

切片講義

目錄

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)..............................................1

LJ-識(shí)切片1一函數(shù)的概念及特性..................................1

LJ知識(shí)切片2基本初等函數(shù)......................................5

GJ知識(shí)切片3常用函數(shù)..........................................8

CJ知識(shí)切片1—列極限及其性質(zhì)................................11

Qi知識(shí)切片5，散極限及其性庾................................14

LJ知識(shí)切片6極限的運(yùn)算法則..................................18

3知識(shí)切片7極限存在的四個(gè)準(zhǔn)則.............................21

I□知識(shí)切片8兩個(gè)臣要極限....................................23

LJ知識(shí)切片9無(wú)窮小。無(wú)窮大..................................25

LJ知識(shí)切片10濟(jì)必達(dá)法則......................................30

CJ知識(shí)切片H——函數(shù)的連續(xù)件....................................33

6知識(shí)切片12函數(shù)的間斷點(diǎn)....................................35

LJ知識(shí)切片13連續(xù)函數(shù)的結(jié)論與性質(zhì)...........................38

第二章一元函數(shù)微分學(xué)...........................................41

LJ知識(shí)切片14——導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義...........................42

LJ知識(shí)切片15微分的定義與幾何意義...........................47

G3知識(shí)切片16#數(shù)與微分的計(jì)算................................19

LJ知識(shí)切片17高階導(dǎo)數(shù)的求法..................................54

LJ知識(shí)切片18—費(fèi)馬引JB與羅爾定理.............................56

LJ知識(shí)切片19拉格朗H中值定理及其推論.......................58

LJ知識(shí)切片20柯西中值定理....................................60

d知識(shí)切片21—泰初中侑定理（泰勒公式）.........................61

LJ知識(shí)切片22函數(shù)的單調(diào)性....................................64

I

CO知識(shí)切片23函數(shù)的極值......................................67

3-識(shí)切片24的最大值與Jft小值...........................70

LU知識(shí)切片25曲線的凹凸性與拐點(diǎn)..............................72

LU知識(shí)切片26曲線的漸近線....................................75

第三章一元函數(shù)積分學(xué)...........................................77

QJ知識(shí)切片27不一一分的魁念與性質(zhì)...........................77

U知識(shí)切片28第?換元積分法（決微分法》.......................83

3知識(shí)切片29第二換元積分法..................................87

LJ知識(shí)切片30分部積分法......................................91

U知識(shí)切片31有理函數(shù)的積分..................................91

3知識(shí)切片32定積分的定義及幾何彥義.........................97

山如識(shí)切片33定枳分的性質(zhì)..................................101

I□知識(shí)切片34變限積分函數(shù)及牛一茱公式.....................104

U知識(shí)切片35定積分的計(jì)算方法..............................110

Q知識(shí)切片36——反常積分..............................116

￡□知識(shí)切片37定積分的幾何應(yīng)用..............................123

第四章多元函數(shù)微分學(xué)............................................127

￡3知識(shí)切片38多元函數(shù)的極限、連續(xù)............................127

LJ知識(shí)切片39B無(wú)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)..............................131

03知識(shí)切片40——全微分........................................136

LJ知識(shí)切片41除函數(shù)的儡導(dǎo)數(shù)................................139

￡□知識(shí)切片42無(wú)條件極位....................................143

山知識(shí)切片43條件一值《城值）問(wèn)題...........................115

第五章二重積分..................................................117

山知識(shí)切片44一二市積分的概念與性質(zhì).........................147

ID知識(shí)切片13—利用在用坐標(biāo)計(jì)第二幣積分....................150

m知識(shí)切片16二市積分的換元法..............................152

EJ知識(shí)切片17二用積分的簡(jiǎn)化計(jì)算...........................155

第六章常微分方程................................................157

I□知識(shí)切片18微分方程的聯(lián)本慨念............................157

GJ知識(shí)切片19一階微分方程..................................159

tXI知識(shí)切片50線性微分方程M的結(jié)構(gòu).........................162

LJ知識(shí)切片51常系數(shù)線件微分方程............................165

第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)一、三）........................................170

LJ知識(shí)切片52數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的慨念與性質(zhì)........................171

山如識(shí)切片33正頂級(jí)數(shù)與交錯(cuò)級(jí)數(shù)............................173

LJ知識(shí)切片54絕對(duì)收斂與條件收斂..........................178

LJ知識(shí)切片55M級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間《域）..........................180

U知識(shí)切片56￥級(jí)數(shù)的和函數(shù)................................184

LU知識(shí)切片57函數(shù)展開成耶級(jí)數(shù)..............................186

d知識(shí)切片58何甲葉級(jí)數(shù)（數(shù)-）..............................188

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)一）...........................193

m知識(shí)切片59向員代數(shù).......................................193

￡□知識(shí)切片60平血及JC方程...................................197

LJ知識(shí)切片61空間一線及其方程..............................199

Q知識(shí)切片62—曲面及M方程.................................202

山知設(shè)切片63空間的曲線及其方程............................205

山知識(shí)切片61多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用..........................207

第九章三重積分（數(shù)一）...........................................209

CQ知識(shí)切片65三小積分的概念與性質(zhì)..........................209

QJ知識(shí)切片66三一一分的計(jì)算................................211

山知識(shí)切片67三所積分簡(jiǎn)化計(jì)算..............................215

第十章曲線積分與曲面積分（數(shù)一）...............................217

山知識(shí)切片68對(duì)瓠長(zhǎng)的曲線積分..............................217

￡□知識(shí)切片69時(shí)坐標(biāo)的曲線積分..............................221

￡□知識(shí)切片70格林公式.......................................225

LJ知識(shí)切片71曲線枳分與路竹無(wú)關(guān)............................227

IU

知識(shí)切片72。面枳的曲曲枳分..............................229

知識(shí)切片73對(duì)*標(biāo)的曲面枳分..............................232

知IR切片74高斯公式......................................235

知我切片75方向切片與悌度................................237

知識(shí)切片76通H、散隙.旋度................................240

知識(shí)切片77斯托克斯公式..................................242

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

【大綱要求】

1.理斛函數(shù)的匿念,掌樨函數(shù)的會(huì)示法?并會(huì)建S應(yīng)用何的中的函數(shù)關(guān)系.

2.r制函數(shù)的行界性、總調(diào)性、周期性和奇偶性.

3.理解”介函數(shù)及分段函數(shù)的假念.廣就反函數(shù)及隱函數(shù)的假念.

L常握從不初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形.廣斛初等南故的概念.

5.兩冢極限的微念,理聃雨數(shù)左帙米與右極限的概念?以及函數(shù)極限存在與左、

打極限之間的關(guān)系.

6,掌握極網(wǎng)的性質(zhì)及四則運(yùn)葬法則.

7,學(xué)押極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,川會(huì)利川它們求極限?掌握利用兩個(gè)用要極限求

極限的方法，

8.理解無(wú)解小Mt、無(wú)窮大W的假念?掌握無(wú)窮小U的比較方法.會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小

址求極限.

9.理解函數(shù)連續(xù)性的慨念《含在連續(xù)與右連續(xù)）?會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類巾.

io.r胡連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.理解閉區(qū)同1二連續(xù)函數(shù)的性破

（“界件，最大值和最小侑定理、介值定理）,并會(huì)應(yīng)用這此性質(zhì).

【本章重點(diǎn)）

1.掌握求極限的各種方法.

2.掌握無(wú)窮小階的比較及確定無(wú)窮小階的方法.會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限.

3.判斷函數(shù)是舍連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型（木質(zhì)I二是求極限）.

4.閉區(qū)間連續(xù)褊數(shù)的性質(zhì).

O1知識(shí)切片1—函數(shù)的概念及特性

1.函數(shù)的定義

設(shè)D是一個(gè)實(shí)數(shù)集合.如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則/.時(shí)用一個(gè).r￡。.都能時(shí)應(yīng)喑

?的一個(gè)實(shí)數(shù)了.則這個(gè)對(duì)應(yīng)法則/稱為定義在QI-的一個(gè)函數(shù),汜為丫/（」）.

高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)切片講義

稱J為自變川?》為因變1丸〃稱為定義域.并把實(shí)數(shù)集Z—Lv,y八/）?.，6”稱

為函數(shù)的值域.

函數(shù)的兩個(gè)要素：1）定義域，2）時(shí)應(yīng)法則.

【例】求匚上的定義域.

【例】設(shè)/—）的定義域?yàn)椋?.1]?求南數(shù)八/a）?/（j-“）（“-0）的定

義域.

2.函數(shù)的特性

（1）有界性

設(shè)函數(shù)在X內(nèi)外定義.若存在正數(shù)M?使V/6X時(shí)那〃I"，》|《

M成立.則稱/「）在：X上有界.如果這樣的M不存在就稱函數(shù)八」）在工工

無(wú)界.

注：有界性與區(qū)間有關(guān)，比如自做v'在區(qū)間（1?2）上有界但是作區(qū)間

（0J）上無(wú)界,所以在有論函做有沒(méi)有界的時(shí)候一定要指明區(qū)間.

《2》奇偶性

設(shè)函數(shù)r<.r）的定義域X關(guān)廠原點(diǎn)對(duì)稱?七財(cái)V，￡X?部行“一”）-

—?則稱/（.H在X1是奇函數(shù)，若WVr￡X?都行/《一/）仆）.則稱

/（.,）在X上是偶函數(shù),奇函數(shù)的圖象大于原啟時(shí)你：偶函數(shù)的圖象關(guān)下.v軸對(duì)稱?

第一毒函數(shù)、極限.連續(xù)

（3）周期性

設(shè)/（」）在X上有定義.如果存在常數(shù)7>0?使用V，WX?.r士丁WX?都

。/（.，?/>=/。）.則稱/J）二周期函數(shù)?稱丁為I"的周期.通常我們說(shuō)

周期函數(shù)的周期是指最小正周期但是并不是所外的周期函數(shù)都有最小H周期.比

如/（.,）-l.V/￡R.容易驗(yàn)證這是一個(gè)周期函數(shù).任何正數(shù)都是它的周期?因?yàn)椴?/p>

存在最小的正數(shù)所以它沒(méi)有最小1E周期.

（4）單調(diào)性

設(shè)fQ）在X卜行定義.若對(duì)Vri一6X?-V」都有/（^）</（.,：）

稱/（X）在X上單調(diào)增加?同理.若對(duì)Vxj.x；eX.J<r,都ff/<ri）>

/（?。?則稱/（x）在x上單調(diào)減少，

匕對(duì)V人,八WX?-VQ?都有f（ui）&/（」：）（/《］）2/C））則稱

/（r）ftX上單瀏不減《單調(diào)不增）.

3

高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)切片講義

【基礎(chǔ)練習(xí)題1](答案見考蟲APP資料下我區(qū)pdf)

L求下列函數(shù)的自然定義域

?I)y=工+2.(2)y-；----j.

1—jr

(3)y=---.■.(4)v=InGr+1).

-47

2.設(shè))的定義域〃[0.1].求卜列各函數(shù)的定義域

(1)/(/).(2)/(jr+a)(a>0).

3.判斷F列各組函數(shù)是否為同?個(gè)函數(shù)

⑴y與y=^^.

(2)y=，JT*卜尸與y=1\/J-4-1.

1.卜列哪個(gè)函放任K定義域上的無(wú)界雨數(shù)

(A),y=arctanc,.(B)v=sinxcos.r.

襦(D)y=L.

5.卜列函數(shù)哪些是偶或數(shù)？哪此心存雨收？鼻弗止II盲M偶函教》

(Dy=/(1一.).

(3)y=?3x*-r'(4)>?=sinx-coa.r

6.已知/(」).*(”)均定義在(力--xO內(nèi)?“*/)為行函數(shù)./(/)為偶

函數(shù)?則，[>(工)]為()

(A)奇函數(shù).(B)偶函數(shù).

(C)非奇作偶函數(shù).(D)不確定.

7.下列各函數(shù)中哪此是周期函數(shù)？對(duì)于周期雨數(shù)?指出其周期.

<1)>=COSJ.(2)v-sin2x.

(3)y=?2sin.r4-3.(4)y=.rcosz

8.定義在R1的函數(shù)”.，)滿足/(，，2)——八r)?證明”(」)以4為周期.

4

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

LJ知識(shí)切片2—基本初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

1）林函數(shù)yk（。常數(shù)）.

2）指數(shù)函數(shù).v=5>0必H1常數(shù)）—1=2.7182….無(wú)理數(shù)）.

3）對(duì)數(shù)函數(shù)y^log-r（a>O.a/1常數(shù)八

當(dāng)a時(shí)?稱為門然對(duì)數(shù)y=la.

w

常用的時(shí)數(shù)件航：lnrIn./In.v.i>O.v-0{In.i>ilnj>0.

我們常說(shuō)的“c拾起法”就足MJ指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系給出的.

“。抬起法7〃《/廣''=c二-'''i''（〃a）>0）.

t）三仰函數(shù)ysin.rjy=COST;y-tanjiy-cot.r；y=sccjr;y=c“/.

5）反三角南故,varcsinu;,varccos.r；v-arclan.r；y—arccoLr.

2.三角函數(shù)公式

同角三角公式

MinaCMCa1.cosasvea=1.

tHiiacola=I.sin'a+v（＞s;aI

1+tan'a-seea.l+cot;a-csc:a

5inacosa

taria=------.Ea=——?

cosasina

二倍角公式

sin2a2siriacosa.

cos2o=005*0sin;o1-2sinro

.,1-cos2a1+cos2a

2cosa=------三?一

.2tanacota-1

tan2a=-----------r-cot2a

1lana2rota

和角與差角公式

sin（a+0）sinocosfl寸cosasin^.

cos（a±?）=cosacos/?Tsniasin/?.

asina+bcosa^u1hsin（ai3）（lan^=一）.

5

高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)切片講義

三角函數(shù)的和差化積與積化和差公式

.0+0a-B

sina十siw，=2sin-^-cos-

64

a+R.a-R

5inasi叩=2cos-廣wn一尸1.

o+8a—R

cosa,cos/?=2cos-^-cos-.

a+0a-/

cosa-cos5——2sm-^-sin-

22

sinaco?/J=y[sin(a4/?)4-sin(a/?)].

4

cosacos/?-"cos(o+g)+COM(a-/?)].

co5asin/?=—[sin(a4-/?)?in<ajj)].

sinasin/?=-3[cos(a+，》-costag)).

詼導(dǎo)公式

sin(y±x)COD；5in(5-x)=sinx；?in(“+1)sinx；

cos(——x)—sin.r1cos(3+1)—sinx1costK±J)—-cos.r.

【基礎(chǔ)練習(xí)題2]

1.卜列各式中.正確的是

（A）r'?r'—，'.(B)(x1)57、

（C）x1?=.r\(D)I,.4'=2i".

2.下列各式中正確的是

(B)d'=—\f(l.

((')v^'=-a(aV0).""（￡）'=J（打儲(chǔ)》#。）?

3.以卜結(jié)論（假定各式均行意義）正確的有

口②ln(Inc)=0.③Ina\nhIn

b

c=Inj.則/e:.(5匕10=辰丁.則/;100.@Ins/x-彳ln/.

?.2①②③④.(B)②③④⑤.

(C)②③⑤⑥.⑴)③④⑤⑥.

6

第一電函數(shù)、極限、連續(xù)

1.將/（.，＞［（1+；）用“C抬起“化成V分函數(shù)的形式.

5.計(jì)算下列各18

(2)cos亍

x

(3)tan-ycot—=

■

nn

(4)sec-—________:esc==_________.

6M

6,計(jì)算下列各超

(1)arcsin^-??;arcsin(—=

(2)arccosO=iarccos1=.

(3)arctanl=sarctanV3-

(4)arccot1=\arccot

7,下列式J?中?有意義的為

(A)arcsing.(B>aresiny.

((*)sin(arcsin2).(D)arcsin(sin2).

3

8.11Silaria"—?則sin2a

(A)掾.(B)-(C)—'.(D)

9.已知sina+4叩~(i.cox>+cos/?=6?則cos(o一夕)一.

10.3】/的最小正周期為Icd?的最小正周期為—

11.下列等式中?恒成立的有

?a+FaR

(A)sina-sin/?=2xin-"-cos---.

44

gin=

(B)COM+cc般2sn\

(C)cosacos^■■y[cos(fl4-/?)-rcox(afl)1.

(n)Sinasin/?=yCOS(a十月)一cos(a一月).

高數(shù)單礎(chǔ)知識(shí)切片講義

山知識(shí)切片3——常用函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)

設(shè)、=/(“》的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閄.值域?yàn)閁?.如果U?U

U.JH.V/[>(.-]是定義在X卜的一個(gè)復(fù)合函數(shù)JC中“稱為中間變仙.

ie,?“Vl?(2+?r,“VO.

【例】.

J.121|/一1.*\0.

2.初等函數(shù)

由從小初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和行限次的函數(shù)U合達(dá)許得到的

可以用一個(gè)式子來(lái)表達(dá)的函數(shù)你為初等函數(shù).

3.分段函數(shù)

如果對(duì)于口變量在定義域內(nèi)不同的取值,函數(shù)不能用同一個(gè)冷達(dá)式&水.而它

用兩個(gè)或兩個(gè)以上的衣達(dá)式來(lái)衣布?這類函數(shù)作為分段函數(shù).通常&示為?

/i(-r)?“W/.

/：(/)?.i6h

yv/(上)=，

■*

?1￡1?

注：1)分段晶做是一個(gè)事數(shù)(不是幾個(gè)),許多家極限求導(dǎo)求枳分的人題都與分

代的敝有關(guān).

2)以下兒笑函數(shù)也是分段函數(shù)

1.J->0

①符號(hào)函數(shù)：N=、"r。?)一

1.x<0

②絕對(duì)值函數(shù)：.VW/《l)I，

③取整函數(shù)：了一[/《1》]?

Q)y=max<fix)-K(.r)>i

O.v-mini/(r).?(.r)).

8

第一尊函數(shù)、極限、連續(xù)

【例】W/W[0,2，求JJ?

【例】求nuix{r.t.

I.反函數(shù)

若yn可以解出"V）是個(gè)中值函數(shù).則稱它為/（J）的反函數(shù),記為

/=/'（V）.簡(jiǎn)單地說(shuō)?由N?八X）‘"'?」=/"丫）.例如y=/J20）解出

」一?（、00）.侑利注點(diǎn)的是?若將/一/"W可.v/J）的函數(shù)圖像畫在同?個(gè)

坐標(biāo)系中?它們是幣:含的?只々將y=八，）的反函數(shù)*=/（.v）寫成y/1/）后,它

們的圖像牙關(guān)線.v-x對(duì)稱,所以通常我們所謂的反函數(shù)寸原來(lái)的函數(shù)圖像關(guān)廣直

線了0/對(duì)稱.依域定義域互換都是因?yàn)榛Q了字母/,、?

5.隱函數(shù)

一般的.如果變M7..V滿足一個(gè)方程Fa…）-0?住一定條件卜?節(jié).r取某IX阿

內(nèi)任?俏時(shí).相應(yīng)地總“滿足這方程的啡?的）值存C.那么就說(shuō)方程FQ..v）=0

在城區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)總函數(shù).

6.（數(shù)一、數(shù)二）由參數(shù)方程定義的函數(shù)

*=?（/）

7；參數(shù)方程〈確定/y之間的函數(shù)匕系.則稱此函數(shù)關(guān)系式為由

y=叭I）

參數(shù)方程確定的函數(shù),這種函數(shù)出正的門變收是，.一.v都是，的函數(shù)欄式.

9

高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)切片請(qǐng)義

【基礎(chǔ)練習(xí)題3]

1.求由所給南致構(gòu)成的駐公函數(shù)

(1),v〃：?〃*=sin./.

(2)y—smu?u?.r*.

2.F列初等函敢是由哪此從本初等函數(shù)乂合而成

(1)/(x)=2—,

(2)/(.1)=sinJ.

(3)/(x)arcsin(</*).

0<<1.尸?0&NV2.

3.設(shè)/（X）?(才)=<

44IV6.I+2?2&了41?

求/LK<->)j和K

|c'?/V1?[”+2.lV0.

4.已知/(])=1*《,)?<求/Lx(i>].

[上?上>1?!.r:-1.120?

5.將下列函數(shù)&示為分段函數(shù)

(1)y=sgn(JT1-x>.

(2)y=min；1?.".

(3)y="[arcinn.r].

6.下列函數(shù)中有反函數(shù)的是(

|J-.04N&】?

(A)ER)?(B》y=《

13—1?1/?r42.

(C)>-sin.r(J￡R).(T>),v-InJ(X#0).

7.在同一flm坐標(biāo)系中.v=c'=1ny的圖像.,ve*ljyIn.r的

圖像―?（城“相同”或“關(guān)于x=y對(duì)稱”）

8.求下列函數(shù)的反函數(shù)

⑴y+j.(2)y=14ln(x42).

x=2CO5/-2?，一，

9.寫出參數(shù)方桎/6<0.K)所確定的.y與1之間的函數(shù)關(guān)

y=2sinr?

系式.

第一章函數(shù)、極限.連續(xù)

L.J知識(shí)切片4一數(shù)列極限及其性質(zhì)

1.數(shù)列極限定義

Ve>0.3正衿數(shù)N,當(dāng)〃>N時(shí)?不等式I八一.MVc都成》?則稱當(dāng)〃?

0時(shí).數(shù)列以常數(shù)八為極限（或稱<.，.）收斂于人）.記為八.#則稱

l?i??mr.

<x.|不收斂或發(fā)散.

注：1）敕列極限是一個(gè)并于〃的甯鐵、

2）數(shù)到糙限存在與否與我列圻有限”無(wú)關(guān).

【例】設(shè)，?>?->?/?）均為詐負(fù)數(shù)列l(wèi).liim.8.則必有

?????????

（A）u.</>.對(duì)任意，，成4.<B）//.V??時(shí)任意?成?X.

《（?）極限lima.，.不存在.《1））極限lin歷".不〃:在.

【定理】收斂數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)系：如果數(shù)列（.，.）收斂JA,那么它的

任一子數(shù)列也收斂.且極限也是A.

數(shù)列極限存在的充要條件：

，?

l?i?m?.r.A—?l一i?m/.=?l?i?m?i?—A

【例】設(shè)"?）是數(shù)列.卜列命題中不正確的是（）

（A）若lim.r.H0?則linir?=.?=a,

???,?????

（H）若lim」：.=hm.r：.=u?則linu?=a.

??■???????

（C）若lim.r.-u.則limr,.-lim.r…?a.

?????????

（I））若lim.r?—limr——a.則linw.a.

11

高數(shù)鼻礎(chǔ)知識(shí)切片次義

2.數(shù)列極限的性質(zhì)

⑴嚕一性

設(shè)hm.i.A.hm.r.H?則八—li.

??????

(2)保號(hào)性

設(shè)lim4.=A>0.則“在正整數(shù)N.當(dāng)〃>N時(shí)?，?>0.

???

反之.？；]?>0illimr.=A?則八孑0.

???

《3)行界性

設(shè)lim/?二八.則數(shù)列LrJ一定有界.

???

【例】lima.a.[La10?娟巧"充分大時(shí)力

???

(A).(B>la.IV號(hào)L

(C)a.>a(D)a,Va+-—.

第一宣函數(shù)、極限、連續(xù)

【基礎(chǔ)練習(xí)題4】

I.判斷F則命SS的我假

(1)數(shù)列0.1,0?1?一?'\"?…的極限是o和I.

⑵數(shù)列1.：」.)????([)??J丁????的極限是0.

（3）數(shù)列<inl.sin-.sin―???,.sin一.…的極限不存在.

n

2.劉斷卜.列命題的人假

(1)lima.Vc，0.三\'>0?當(dāng)〃>時(shí).a.u<2c.

(2)link/.“EVE>0.3X>0?w>、時(shí)-u.a；^-c".

(3)limu.a=Vr>0?三、>0.當(dāng)〃>N時(shí).a.—a<e*.

■

已知.則在區(qū)間6jA+E)外(。為任意小的正的常數(shù)》,數(shù)

3.?l?i?ma”A

列(明)的項(xiàng)數(shù)為?(填”“限項(xiàng)”或“無(wú)窮項(xiàng)”)

4.問(wèn)答題

(1)?個(gè)數(shù)列1?(〃1?2?…)的前面“限項(xiàng)(如.，―/????.1?)的該數(shù)的是否

有極限或有極限時(shí)的極限值a影響嗎？

(2)正數(shù)數(shù)列的極限一定是正數(shù)嗎？

若八?2?…)且有極限.linrr.=A.limr.=/，.則有A>B.還

(3)>.v.("=I?一????

是A

(4)有界敢界一定有極限嗎?無(wú)界敢列一定沒(méi)有微眼嗎?

設(shè)二八20?則〃在正整數(shù).、?當(dāng)，；>、時(shí).I.20?

(5)l?i?m?x.

5?用一列極限存在的用姿條件說(shuō)明r.=(1)?(〃:1?2…)發(fā)散.

6?若lim.r.=c，證明i二?I.(提示：la1一右IYa-h\)

高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)切片講義

CQ知識(shí)切片5―函數(shù)極限及其性質(zhì)

1.函數(shù)極限的定義

(1))Aa任給c>。.存在正數(shù)3?巧0VI.，-，IV8時(shí)?就有

|/<jr)-.A<e.

(2)lim/(.r)Ao任給c>0.存在正數(shù)6?當(dāng)0V1一.「<6時(shí)?就行

|/(x)-4|<e.

(3)lim/C)—任給￡>0?存在正數(shù)3,當(dāng)SVJ.，V0時(shí)?就有

I/G)一4|Ve.

(4)=八一任給。>0.存在X>0?當(dāng)./|>X時(shí).就有

9??

|/(r)-A|<<.

(5)hm/Cr)A口任給￡>0.存在X>0?當(dāng)？>X時(shí).就行/(.r)-Ac.

<6)lim/(^>=八口任給￡>0.存存X>0?H/<X時(shí).就有

|八.)一A|V*.

函數(shù)極限存在的充要條件

lim/(X)=Aalim/(J))=A?

lim/(r)=A=lim/(.t)=lini/(i)=.A.

【例】極限nmc；Arctan—為

…x

(A)0.(B)-ao.(C)+肛(D)不存在.且不是g.

urclan-r>1.

【例】設(shè)八」）如果lim/J）存在?則a為何值？

4?I

ajr?x<1.

14

第一審函數(shù)、極限、連蝮

【定理】（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）如果極限lim/J）為南數(shù)

/Q）的定義域內(nèi)任-收斂于/的數(shù)列.旦滿足：.，?/.，（〃￡N）.那么相應(yīng)的函

數(shù)位數(shù)列必收斂?口

）-lim/（.r）.

I例】同極限hm是否〃。.為什么？

?“1x

2.函數(shù)極限的性質(zhì)

(1)唯一性

設(shè)lim/(.r)—A?lim，(I)■B.則A=B.

???，??

(2)保號(hào)性

①若lim/G)=A>0?則三方>0?當(dāng)OV|/一」|V-時(shí)?/(.r)>0.

②若lim/Q)—八>0?則3X>0.^|i|>Xnf-/|/(J>>0.

③若/(x)>011hm/u>=八.則A20?

9?；.；

/(j-)-/(0)

【例】已知lin-l.M，，，—，，.)的極值點(diǎn)若是i

???1-COSJ-

大還是故小值點(diǎn)？

15

高數(shù)基妣知識(shí)切片講義

(3)局部有界性

①若八存在?則3^>0.M>0?當(dāng)Ovx-|Y3時(shí)?為|/Q)W、M.

②若八存作.則工?當(dāng)時(shí).“?

he??m/3?7>0.V>0”>X，a)&M

【例】南數(shù)八工)--，"：’；二；)在F則哪個(gè)區(qū)間內(nèi)仃界()

j(,r-1)(.r—2)

(A)(1.0).(B)(0.1).(C)(1.2).(D)(2.3).

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

【基礎(chǔ)練習(xí)題5]

I.函數(shù)/Gr)在上=八處的極限不存在,則(

(A)/(x)在]，處必有定義.

(B>/(上)在】=.r處沒(méi)仃定義.

(1,)/(/)在1-，處及其附近沒(méi)有定義.

(D)/(T)r-.r.處可能4定義.可能無(wú)定義.

；----??V。?

I/

2?/。)=4八則/(/>在點(diǎn)，=°處的極限是(

0?上=0.

c*?1>Q?

(A)L(B)0.

(0-1.(D)不存在.

-I?t41?

3.已知函數(shù)/(1)=《確定忖數(shù)"?使lim/J)存在.

2，+a.，>1.…

1.時(shí)卜圖所示的函數(shù)f(r).F列陳述中哪些是對(duì)的.哪些是錯(cuò)的？

(1)lim/(./)I:(2)limf(jr)不存在;

/?I'???

(3)lim/(r)=0j(4)lirn/(j)-11

???

(5)lim/(.r)=11(6)lim/(x)—0?

??I'/-?I

(7)lim/(.r)0；(8)lim/(.r)=0.

??:

5.已知a.=—；(〃1.2.3.-)./(.r)=.求.

iii

6.連續(xù)函數(shù)八，)滿足lim1(r)-2?劃u=0是

“J

?A)極大低點(diǎn).(B)極小值點(diǎn).

(C)不是極值點(diǎn).(I))不能判斷是否為極值點(diǎn).

7.用極限的局部仃界件說(shuō)明arciaiu是仃界而散.

高數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)切片次義

￡□知識(shí)切片6——極限的運(yùn)算法則

1.極限四則運(yùn)算法則

住用一個(gè)極限處近過(guò)程中?假設(shè)lin】/(/)二八.)H?則

1)litn[/(j)4-(j)|r\4-B.2)lim/(.r)>?(.r)-4一/$.

?>hm—^—7=A(B*0).

3)lim]/(.「)?g(x)—A?B.

“'-2*+1

【例】計(jì)算極限lim,

??:(i/)(./+2：+1

【例】計(jì)算極眼網(wǎng)j

(24+1〉《4+2》(刀+3〉

【例】計(jì)算極限lim

???幅+1)《獻(xiàn)+2)

[1-]+x-VJT

18

第一■函數(shù)、極限、連續(xù)

2.復(fù)合運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)y=/NJ)[是由函數(shù)〃=#(二)勺函數(shù)”合而成./[*)]

住點(diǎn)八的某去心鄰域內(nèi)行定義.若一.limf(“)=A.IL存在九>0,當(dāng)

0<|不一|VX時(shí)行共(/)工〃.?則lint/=lim/(w)-A.

????.???.

【例】Li知hn"(，)八?問(wèn)hm/(<)兄f"f在"反之?Lm|八，)=0).

??〃9?一乙

是否存在?

.??

3.再指函數(shù)運(yùn)算法則

設(shè)v=w(.r),(u(.i)>0>M(z)X1)?如果)=u>0?limv(.i)=6?則

EMIlim濘/，?/“1,，?<)./>

【例】求/(」)—g】Jl工，|?