新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第25講數(shù)形結(jié)合思想（學(xué)生版）

數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能?！皩?duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括的考查，考查時(shí)要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”。數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化常從一下幾個(gè)方面：（1）集合的運(yùn)算及文氏圖（2）函數(shù)圖象，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（3）解析幾何中方程的曲線（4）數(shù)形轉(zhuǎn)化，以形助數(shù)的還有：數(shù)軸、函數(shù)圖象、單位圓、三角函數(shù)線或數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征等；取值范圍，最值問題，方程不等式解的討論，有解與恒成立問題等等，許多問題還可以通過換元轉(zhuǎn)化為具有明顯幾何意義的問題，借助圖形求解。應(yīng)用一：數(shù)學(xué)文化中的數(shù)形結(jié)合一、單選題1．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．2．華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的大致圖象如圖，則函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象是（

）A． B． C． D．3．我國著名數(shù)學(xué)家華歲庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（

）A． B．C． D．4．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．5．分形是由混沌方程組成，其最大的特點(diǎn)是自相似性：當(dāng)我們拿出圖形的一部分時(shí)，它與整體的形狀完全一樣，只是大小不同.謝爾賓斯基地毯是數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基提出的一個(gè)分形圖形，它的構(gòu)造方法是：將一個(gè)正方形均分為9個(gè)小正方形，再將中間的正方形去掉，稱為一次迭代；然后對(duì)余下的8個(gè)小正方形做同樣操作，直到無限次.如圖，進(jìn)行完二次迭代后的謝爾賓斯基地毯如圖，從正方形SKIPIF1<0內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答題6．設(shè)計(jì)一個(gè)印有“紅十字”logo的正方形旗幟SKIPIF1<0（如圖）.要求“紅十字”logo居中，其突出邊緣之間留空寬度均為2cm，“紅十字”logo的面積（陰影部分）為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的長度不小于SKIPIF1<0的長度.記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求出SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為多少時(shí)，可使正方形SKIPIF1<0的面積最??？參考結(jié)論：函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)應(yīng)用二：函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合一、單選題1．下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)SKIPIF1<0的定義域與奇偶性，結(jié)合基本不等式以及排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，排除ABC選項(xiàng).故選：D.5．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是（

）A． B．C． D．8．已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．9．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象大致為（

）A． B．C． D．.二、解答題10．已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．(1)設(shè)關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，并寫出SKIPIF1<0的最小值（無需過程）；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．應(yīng)用三：數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用一、單選題1．下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法及奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，排除A；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，排除D；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立）即SKIPIF1<0，排除B；所以C正確.故選：C.3．已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是（

）A． B．C． D．8．已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．9．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象大致為（

）A． B．C． D．二、解答題10．已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．(1)設(shè)關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，并寫出SKIPIF1<0的最小值（無需過程）；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．應(yīng)用四：數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線中的應(yīng)用一、單選題1．如圖，在圓柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是母線SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是上底面上的動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．中國自古就有“橋的國度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫.如圖是某木拱廊橋的剖面圖SKIPIF1<0是拱骨，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰的拱步之比分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題3．如圖所示，在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，則下列命題中正確的是（

）A．若點(diǎn)SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線SKIPIF1<0的距離與到直線SKIPIF1<0的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是圓B．若點(diǎn)SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線SKIPIF1<0的距離與到面SKIPIF1<0的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是橢圓C．若點(diǎn)SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線SKIPIF1<0的距離與到直線SKIPIF1<0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是拋物線D．若點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0分別是直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0三、填空題4．比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)）.如圖，圓錐的錐角為SKIPIF1<0，斜截面與圓錐軸所成角為SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為__________.5．圓錐曲線有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)均與它們的焦點(diǎn)有關(guān).如：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到橢圓上，經(jīng)過反射后通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從拋物線的焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸.某次科技展覽中某展品的一個(gè)截面由拋物線的一部分SKIPIF1<0和一個(gè)“雙孔”的橢圓SKIPIF1<0構(gòu)成（小孔在橢圓的右上方）.如圖，橢圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為下頂點(diǎn)，SKIPIF1<0也為SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，若由SKIPIF1<0發(fā)出一條光線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0反射后穿過一個(gè)小孔再經(jīng)拋物線上的點(diǎn)SKIPIF1<0反射后平行于SKIPIF1<0軸射出，由SKIPIF1<0發(fā)出的另一條光線經(jīng)由橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0反射后穿過另一個(gè)小孔再經(jīng)拋物線上的點(diǎn)SKIPIF1<0反射后平行于SKIPIF1<0軸射出，若兩條平行光線間隔SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.四、解答題6．把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱SKIPIF1<0中底面長軸SKIPIF1<0，短軸長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0，P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，MN為過點(diǎn)SKIPIF