新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練專題13 等差數(shù)列和等比數(shù)列的計算和性質(zhì)（解析版）

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁專題13等差數(shù)列和等比數(shù)列的計算和性質(zhì)【練基礎(chǔ)】單選題1．（2021秋·廣東深圳·高三深圳市龍華中學(xué)校考階段練習(xí)）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．已知SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，排除B，對C，SKIPIF1<0，排除C．對D，SKIPIF1<0，排除D，故選A．【詳解】由題知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當(dāng)計算即可做了判斷．2．（2021·云南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是等差數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式，得出結(jié)論．【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：A3．（2022秋·福建莆田·高三?？计谥校┑炔顢?shù)列SKIPIF1<0的首項為1，公差不為0，若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0前6項的和為（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．3

D．8【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0成等比數(shù)列求出SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，∵等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為1，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0前6項的和為SKIPIF1<0.故選：A.4．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040【答案】A【分析】由等差中項的性質(zhì)及等差數(shù)列的定義寫出SKIPIF1<0通項公式，再由SKIPIF1<0關(guān)系求SKIPIF1<0的通項公式，進而求SKIPIF1<0.【詳解】由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0為等差數(shù)列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也滿足，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，前n項積為SKIPIF1<0，則下列選項中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增B．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增C．若數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0D．若數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式與通項公式可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0取值同號，即可判斷A、B；舉例首項和公比的值即可判斷C；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可判斷D.【詳解】A：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0取值同號，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，故A錯誤；B：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0取值同號，若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，故B錯誤；C：若等比數(shù)列SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，但SKIPIF1<0，故C錯誤；D：由數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：D6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前5項和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用裂項相消法求和.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0前5項和為SKIPIF1<0故選：D7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0與等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的公差分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0①SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0②由①②解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【詳解】由題意得，數(shù)列如下：SKIPIF1<0則該數(shù)列的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是第SKIPIF1<0組等比數(shù)列SKIPIF1<0的部分和，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)SKIPIF1<0，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.【詳解】由已知得SKIPIF1<0，A選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A選項錯誤；B選項，SKIPIF1<0，B選項正確；C選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，C選項正確；D選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D選項正確；故選：BCD.10．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列選項正確的為（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，可判斷A,B的正誤，再求出SKIPIF1<0，可判斷C的正誤，利用裂項相消法求SKIPIF1<0，可判斷D的正誤.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故A正確，B錯誤；所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：AC.11．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0為遞增數(shù)列 D．SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：AD．12．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0恒成立，若定義SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以下說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0是等差數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0【答案】BC【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項及SKIPIF1<0即可判斷A選項，按照給出的定義求出SKIPIF1<0即可判斷B選項，數(shù)學(xué)歸納法和累加法即可判斷C、D選項.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，首項SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A選項錯誤；則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B選項正確；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將上式相加可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時也成立，故SKIPIF1<0，C選項正確；D選項，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0知不成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，由C選項知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上式相加得SKIPIF1<0，又由上知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D選項錯誤；故選：BC.【點睛】本題關(guān)鍵在于C、D選項的判斷，C選項通過數(shù)學(xué)歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；D選項借助C選項的結(jié)論，通過累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.三、填空題13．（2022·湖南常德·臨澧縣第一中學(xué)?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0_________．【答案】2【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，直接利用等差數(shù)列前n項和公式計算即可.【詳解】由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再利用對數(shù)的運算得解.【詳解】由已知得數(shù)列SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前20項和為___________.【答案】330【分析】分別討論SKIPIF1<0為奇數(shù)時，數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式與SKIPIF1<0為偶數(shù)時，數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，再利用分組求和法代入求和即可.【詳解】由題意，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0，首項為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0，首項為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：33016．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個數(shù)被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0，被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0，被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0，則在不超過SKIPIF1<0的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】找出滿足條件的最小整數(shù)值為SKIPIF1<0，可知滿足條件的數(shù)形成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，確定該數(shù)列的項數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，一個數(shù)被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0，被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0，被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0，則這個正整數(shù)的最小值為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的最小公倍數(shù)為SKIPIF1<0，由題意可知，滿足條件的數(shù)形成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以，滿足條件的這些整數(shù)之和為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題17．（2019·湖北·校聯(lián)考高考模擬）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m．詳解：（1）設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由題設(shè)得SKIPIF1<0．由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，此方程沒有正整數(shù)解．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0．點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公比大于SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q(q>1)，則SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列的通項公式為：SKIPIF1<0.(2)由于：SKIPIF1<0，故：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）記SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0的前20項和.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列SKIPIF1<0的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然SKIPIF1<0為偶數(shù)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，于是SKIPIF1<0．[方法二]：奇偶分類討論由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為奇數(shù)）及SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項起，若SKIPIF1<0為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，若SKIPIF1<0為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．（2）[方法一]：奇偶分類討論SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；同理，由SKIPIF1<0知數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列SKIPIF1<0的前20項和為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【整體點評】(1)方法一：由題意討論SKIPIF1<0的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，然后累加求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前SKIPIF1<0項和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（II）記SKIPIF1<0，（i）證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（ii）證明SKIPIF1<0【答案】（I）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得SKIPIF1<0的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得SKIPIF1<0的通項公式；（II）（i）運算可得SKIPIF1<0，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解】（I）因為SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負值舍去），所以SKIPIF1<0；（II）（i）由題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（ii）由題意知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為SKIPIF1<0無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.【提能力】一、單選題21．（2019·湖南長沙·寧鄉(xiāng)一中?？寄M預(yù)測）（2017新課標(biāo)全國I理科）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差為A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【詳解】設(shè)公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故選C.點睛:求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如SKIPIF1<0為等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，記等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2022 D．4044【答案】A【分析】先判斷函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，再求出SKIPIF1<0，再利用等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式得解.【詳解】解：因為SKIPIF1<0是奇函數(shù)，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A23．（2022秋·北京·高三北京八中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】由等差中項及等比中項的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，由等比中項的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：B.24．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)SKIPIF1<0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．SKIPIF1<0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于SKIPIF1<0，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)SKIPIF1<0，平均感染周期為7天（初始感染者傳染SKIPIF1<0個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這SKIPIF1<0個人每人再傳染SKIPIF1<0個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為SKIPIF1<0，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要SKIPIF1<0天，故選：B【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若不相等的實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】本題利用函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性及單調(diào)性求得函數(shù)SKIPIF1<0的值域，然后利用均值不等式判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系從而進行判斷．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數(shù)，故函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0恒成立，故在SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0遞增，且SKIPIF1<0，故函數(shù)在SKIPIF1<0遞減，在SKIPIF1<0遞增，且函數(shù)SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)時，由均值不等式有：SKIPIF1<0，①，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為負數(shù)時，由均值不等式有：SKIPIF1<0，②，由①②有：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互不相等，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D．26．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)校考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項是SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，若存在常數(shù)SKIPIF1<0，使不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先由數(shù)列通項與前SKIPIF1<0項和的關(guān)系得到數(shù)列SKIPIF1<0的遞推關(guān)系SKIPIF1<0，再構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，進一步求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，從而可求數(shù)列SKIPIF1<0通項公式，代入所求式子SKIPIF1<0，分子、分母同除以SKIPIF1<0構(gòu)造基本不等式即可求出SKIPIF1<0的最大值，從而求出SKIPIF1<0的范圍.【詳解】由SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，變形可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項、SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項公式，即可得SKIPIF1<0通項公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求SKIPIF1<0的最值，即可求參數(shù)范圍.27．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】將遞推式兩邊同時倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，再利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和SKIPIF1<0．故選:C．28．（2022·江蘇南京·金陵中學(xué)校考二模）設(shè)SKIPIF1<0是公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由已知可得SKIPIF1<0，即可得解.【詳解】由已知可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.二、多選題29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】直接由遞推公式求出SKIPIF1<0即可判斷A選項；分SKIPIF1<0為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項；分SKIPIF1<0為奇數(shù)或偶數(shù)結(jié)合累加法即可判斷C選項；由分組求和法即可判斷D選項.【詳解】對于A，SKIPIF1<0，A錯誤；對于B，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0為偶數(shù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0為奇數(shù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，B正確；對于C，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)且SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時也符合；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)且SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，C正確；對于D，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正確.故選：BCD.【點睛】本題的關(guān)鍵點在于利用題目中的遞推關(guān)系式，分SKIPIF1<0為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況來考慮，同時借助累加法即可求出通項，再結(jié)合分組求和法以及等差數(shù)列求和公式即可求得前SKIPIF1<0項和，使問題得以解決.30．（2022·河北·模擬預(yù)測）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段SKIPIF1<0，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：SKIPIF1<0；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0是一個等比數(shù)列，按照等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗證即可，其中B選項是化簡成一個等差數(shù)列進行判斷，CD兩個選項需要利用數(shù)列的單調(diào)性進行判斷，尤其是D選項，需要構(gòu)造新數(shù)列，利用做差法驗證單調(diào)性.【詳解】由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，由此可知SKIPIF1<0，即一個等比數(shù)列；A：SKIPIF1<0，A錯誤；B：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以該數(shù)列為遞減數(shù)列，又因為當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，B正確；C：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊約去SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，原式成立；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，C正確；D：令SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以取SKIPIF1<0，由此可知SKIPIF1<0時SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為最大值，SKIPIF1<0，根據(jù)單調(diào)性SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不恒成立，D錯誤.故選：BC31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第SKIPIF1<0次得到數(shù)列1，SKIPIF1<0，2；…記SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進行推理運算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時SKIPIF1<0第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時SKIPIF1<0第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時SKIPIF1<0第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次得到數(shù)列1，SKIPIF1<0，2此時SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故A項正確；結(jié)合A項中列出的數(shù)列可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0用等比數(shù)列求和可得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故B項正確；由B項分析可知SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故C項錯誤.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D項正確.故選：ABD.【點睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對于復(fù)雜問題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.所以對于復(fù)雜問題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進的思想.32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐S-ABC的底面是邊長為a的正三角形，SASKIPIF1<0平面A