理論力學(xué)課件 第三章 分析力學(xué)1

理論力學(xué)ClassicalMechanics2024第三章分析力學(xué)最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)3.1運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑3.2動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)3.3對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量3.433.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)1630年，伽利略提出了著名的最速降線問(wèn)題：“不考慮摩擦，小球從一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，沿著什么路徑跑時(shí)間最短？”圓?。ㄊ聦?shí)上是錯(cuò)的）我找了小球的運(yùn)動(dòng)跟光的傳播之間的相似性，通過(guò)把空間劃分成一層一層的薄介質(zhì)，利用折射定律，計(jì)算出了小球的傳播路徑。約翰伯努利伽利略在一份公開(kāi)的數(shù)學(xué)雜志上，約翰挑釁了全歐洲的數(shù)學(xué)家，說(shuō)是要用這個(gè)問(wèn)題考驗(yàn)大家智商。如果大家在年底還給不出答案，他就公布結(jié)果。他還特意含沙射影地點(diǎn)了牛頓的名。牛頓在數(shù)學(xué)問(wèn)題上我不喜歡被外國(guó)人催促和挑釁。3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)現(xiàn)在使用微分符號(hào)就是萊布尼茲的杰作。牛頓使用的是3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)二進(jìn)制系統(tǒng)，使用0和1來(lái)表示數(shù)字和邏輯符號(hào)，它是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，最早發(fā)現(xiàn)并使用二進(jìn)制數(shù)的是我們中國(guó)人。萊布尼茲把它系統(tǒng)化了，萊布尼茲本人也指出了太極、八卦和二進(jìn)制的關(guān)系。萊布尼茲我除了微積分，還有二進(jìn)制系統(tǒng)。3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)最速下降的問(wèn)題可以看作路徑選擇的問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)是無(wú)數(shù)條可能的路徑中的一條。歐拉AB不同于微積分走一步看一步，深入到運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)中去研究的思路，歐拉是從整體上考慮這個(gè)問(wèn)題的。最速降線問(wèn)題，我是從整體上考慮的3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)計(jì)算函數(shù)的微分求導(dǎo)，令它為0解方程路徑選擇的問(wèn)題要從中找出，物體走哪一條路徑花的時(shí)間最少。對(duì)于這種挑選極值的優(yōu)化問(wèn)題，如果只是針對(duì)多元函數(shù)，那就是求函數(shù)的極大極小值問(wèn)題。AB3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)最速下降問(wèn)題假設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，不管軌跡的形狀多么奇怪，我們可以確定，只要把軌跡定下來(lái)，小球總有一個(gè)唯一的通過(guò)時(shí)間。調(diào)整自變量函數(shù)

的具體形式，使得整體函數(shù)的值最小。換句話說(shuō)，我們需要求自變量是函數(shù)的函數(shù)的極值。利用連續(xù)空間點(diǎn)表示運(yùn)動(dòng)路徑3.1最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)變分法微分操作是考察當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量會(huì)有什么變化。變分操作是考察當(dāng)自變量函數(shù)形式有微小變化時(shí)，整個(gè)嵌套函數(shù)的值會(huì)有什么變化。函數(shù)取極值自變量的微小變化不會(huì)給函數(shù)取值帶來(lái)什么影響，所以函數(shù)取極值的條件是它的微分變分的情況也類似，路徑的微小改變，也不會(huì)影響整體結(jié)果，所以有微分操作變分操作33.2運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑3.2運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑牛頓第二定律給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（速度和位置）隨時(shí)間的演變規(guī)則?？疾靻蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)，在外部環(huán)境不變的情況下的一維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。其中力表示成位置的函數(shù)是因?yàn)槟壳耙阎幕鞠嗷プ饔枚际潜Ｊ亓?，比如?kù)侖力，萬(wàn)有引力等等，而它們僅由質(zhì)點(diǎn)的位置決定。3.2運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑質(zhì)點(diǎn)速度運(yùn)動(dòng)的下一步的力學(xué)狀態(tài)只與現(xiàn)在的力學(xué)狀態(tài)和受力情況相關(guān)，而受力情況又只于它所處的位置相關(guān)。下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的未來(lái)，本質(zhì)上是由其初始時(shí)刻的力學(xué)狀態(tài)決定的。換句話說(shuō)，從出生開(kāi)始，質(zhì)點(diǎn)每一步該如何走，大自然早就安排好了。3.2運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑AB大自然有意識(shí)地在做路徑選擇?？芍貜?fù)性意味著背后有一套選擇規(guī)則為什么它就非得沿著這條軌道下落呢？？它為什么不能選擇其它路徑？？怎么做選擇的？根據(jù)自己的目的或者價(jià)值觀給選項(xiàng)排個(gè)順序做取舍3.2運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑（1）評(píng)價(jià)路徑上的每一點(diǎn)（2）累計(jì)路徑上所有點(diǎn)的得分，得到總分（3）根據(jù)路徑得分選擇實(shí)際路徑3.2運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑對(duì)于連續(xù)的路徑，根據(jù)微積分的結(jié)論，無(wú)數(shù)個(gè)位置點(diǎn)得分的相加會(huì)變成沿著路徑的積分。我們把這個(gè)總