2024-2025學(xué)年江西省鷹潭市余江一中高三（上）第三次模擬數(shù)學(xué)試卷（11月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江西省鷹潭市余江一中高三（上）第三次模擬數(shù)學(xué)試卷（11月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合U={2,4,6,8,10}，A={2,4}，B={4,6}，則?U(A∪B)=(

)A.{4} B.{2,4} C.{8,10} D.{2,4,6}2.若復(fù)數(shù)a+2i1?i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則實(shí)數(shù)a=(

)A.2 B.?2 C.1 D.03.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，aA.12 B.2 C.3 D.5.已知a>0，b>0，且ab?4b+1=0，則1a+9b的最小值是(

)A.2 B.4 C.6 D.86.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)+t(ω>0)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為π2，若存在x1，x2∈[0,πA.?4 B.?2 C.4 D.27.已知函數(shù)f(x)=ex?ax,x>0?x2+(a?4)x+4a,x≤0，若關(guān)于x的不等式f(x)≥0的解集為A.(?∞,e2] B.(?∞,e] C.[0,8.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BC=433,CD=233，點(diǎn)E是線段BC上的一點(diǎn)，且BE=3EC，點(diǎn)P是線段A.1718

B.1516

C.1314二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a，b，m都是負(fù)數(shù)，且a<b，則(

)A.1a<1b B.ba<10.下列等式成立的有(

)A.tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3

B.211.已知函數(shù)f(x)=x3?3xA.若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(?∞,0)

B.點(diǎn)(1,f(1))為曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

C.若過(guò)點(diǎn)(2,m)可作出曲線y=f(x)+(a?3)x+b的三條切線，則m的取值范圍是(?5,?4)

D.若f(x)存在極值點(diǎn)x0，且f(x0)=f(三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,x)，b=(?1,3)，若a/?/b，則|13.已知函數(shù)f(x)=ex+1+x?2和g(x)=lnx+x?3的零點(diǎn)分別為a，b，則a+b=14.銳角△ABC的內(nèi)角A的對(duì)邊為a，若△ABC的面積是a2，則sinAcosBcosC的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2a3+a4=20，S10=110．

(1)求{a16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2+a2=c2+2ab,b=?acosC+2ccosA．

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，M為CD的中點(diǎn)，AD=DP=CP=4，BM=23,cos∠PAD=104．

(1)求證：BM⊥PC；18.(本小題17分)

設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P(x0,y0)是C上一點(diǎn)且|PF|2?|PF|=x02+x0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(?8,0)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)①若l與C相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若l與C在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為A19.(本小題17分)

高斯(Gauss)是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被認(rèn)為是歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，如[2.1]=2，[?1.3]=?2，已知函數(shù)G(x)=14[(?1)[x]+1+1]([x]+1)．

(1)證明：2G(x)?ex；

(2)已知函數(shù)g(x)=log2024(x+1)a+2023?G(x)，命題p：?x0∈(0,2024)，使得g(x0)?0成立；命題q：g(x)在區(qū)間(4050,4052)上有零點(diǎn).若p，q中至少有一個(gè)是真命題，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，函數(shù)F(x)=[f(x)]，若存在x0參考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BD

10.AD

11.BCD

12.1013.2

14.8

15.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

又因?yàn)?a3+a4=20，S10=110，

所以2a3+a4=2(a1+2d)+a1+3d=20S10=10a1+10×9d2=110，解得a1=2d=2，

所以an=a1+(n?1)d=2+2(n?1)=2n．

(2)由(1)知，a16.解：(1)由b2+a2=c2+2ab及余弦定理可得：cosC=b2+a2?c22ab=22，

因?yàn)?<C<π，所以C=π4，

因?yàn)閎=?acosC+2ccosA，

由正弦定理可得：sinB=?sinAcosC+2sinCcosA，

所以sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=?sinAcosC+2sinCcosA，

由C=π4，化簡(jiǎn)可得2sinA=cosA，即tanA=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以sinA=55,cosA=2517.(1)證明：∵AD=DP=4，

在△ADP中，cos∠PAD=AP2+AD2?DP22AP?AD=104，解得AP=210．

∵DP=CP=AD=CD=4，M為CD的中點(diǎn)，

∴PM⊥CD,PM=CP2?CM2=23，

在△BCM中，BC2=BM2+CM2，∴BM⊥CD，且cos∠BCD=12，

即∠BCD=π3，∴∠ADC=2π3．

∵AB/?/CD，∴BM⊥AB，∴AM=AB2+BM2=27，

在△AMP中，AP2=40=PM2+AM2，∴MP⊥MA，

又MA，CD?平面ABCD，MA∩CD=M，∴MP⊥平面ABCD，

又BM?平面ABCD，∴MP⊥BM．

又BM⊥CD，CD，PM?平面PCD，CD∩PM=M，∴BM⊥平面PCD，

又PC?平面PCD，∴BM⊥PC．

(2)解：由(1)知BM，MC，PM兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(23,?4,0),B(23,0,0),C(0,2,0),P(0,0,23)，

CB=(218.(1)解：因?yàn)閨PF|2?|PF|=x02+x0，

所以|PF|2?x02=|PF|+x0，

所以(|PF|+x0)(|PF|?x0)=|PF|+x0，

所以|P

F|?x0=1，

又P是C上一點(diǎn)，

所以|PF|=x0+p2，

所以p2=1，

解得p=2，

所以拋物線C的方程為y2=4x．

(2)解：①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2t)，

因?yàn)閥=2x，

所以y′=1x，

切線的斜率為1t，

所以切線方程為y?2t=1t(x?t)，

將Q(?8,0)代入上式，得?2t=1t(?8?t)，

所以t=8，

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(8,42)．

②證明：由①得，直線AR，BR的斜率都存在，

要證：直線AR19.解：(1)證明：令[x]+1=t，t∈Z，當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)，2G(x)=t，當(dāng)t為奇數(shù)時(shí)，2G(x)=0，

所以對(duì)任意x∈R，2G(x)≤[x]+1，所以2G(x)≤[x]+1≤x+1，

設(shè)?(x)=ex?x?1，導(dǎo)函數(shù)?′(x)=ex?1，

當(dāng)x>0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)?′(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)?′(x)<0，

所以函數(shù)?(x)≥?(0)=0，所以x+1≤ex，因此2G(x)≤ex．

(2)記f(x)=G(x)+g(x)，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)=a(x+1)ln2024>0，

因此函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，f(x)>f(0)=2023，

根據(jù)第一問(wèn)知2G(x)≤[x]+1≤x+1，所以函數(shù)G(x)≤12x+12，

所以函數(shù)G(x)≤20252，在x∈(0,2024)上恒成立，所以G(x)<f(x)，

所以g(x)>0在x∈(0,2024)恒成立．

因此命題p為假命題，又由于p，q中至少有一個(gè)為真命題，所以命題q為真命題，

q可轉(zhuǎn)化為G(x)與函數(shù)f(x)在(4050,4052)上至少有一個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)第一問(wèn)知：當(dāng)[x]=2k(k=0,1,2,3,?)時(shí)，函數(shù)G(x)=0，

當(dāng)[x]=2k+1(k=0,1,2,3,?)時(shí)，函