2025屆上海市浦東新區(qū)四校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆上海市浦東新區(qū)四校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．2．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C．6 D．83．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)4．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．25．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π6．已知函數(shù)，，則的極大值點(diǎn)為()A． B． C． D．7．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進(jìn)行抽樣測試，先將600個零件進(jìn)行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5788．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．9．存在點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．8011．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．12．已知正四面體外接球的體積為，則這個四面體的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示的流程圖中，輸出的值為______.14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______.15．函數(shù)的定義域是．16．割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率．現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，證明：，，使.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.19．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．20．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn).（1）設(shè)橢圓的離心率為，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時，的坐標(biāo)為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，討論零點(diǎn)的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解：對于實(shí)數(shù)，，不成立對于不成立．對于．利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．2、A【解析】

依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：∵雙曲線的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線的焦距為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個定義域上.4、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.5、C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.6、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，故可得，令，因?yàn)椋士傻没?，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

因?yàn)橐獙?00個零件進(jìn)行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運(yùn)算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.12、B【解析】

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積．【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a，如圖所示，設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得．因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球，則有，∴．而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個正四面體的表面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到，結(jié)束循環(huán)，輸出n，得出結(jié)果.【詳解】由題：，，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.14、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得的值.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識.15、【解析】解：因?yàn)?，故定義域?yàn)?6、【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)找到與即可證明.【詳解】（1）.①當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).②當(dāng)時，，.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).③當(dāng)時，，則在上是減函數(shù).④當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）由題意，得.由（1）知，當(dāng)，時，，.令，，故在上是減函數(shù)，有，所以，從而.，，則，令，顯然在上是增函數(shù)，且，，所以存在使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，所以，所以，命題成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問題，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道較難的題.18、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當(dāng)時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當(dāng)時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理可得，，又，所以，所以根?jù)余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.20、（1）見解析（2）【解析】分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應(yīng)用常規(guī)法，作出線面角，放在三角形當(dāng)中來求解.詳解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根據(jù)勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因?yàn)锽DDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如圖，由已知可得，，則，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點(diǎn)C做，交DB、AB于點(diǎn)G，H，則點(diǎn)G為點(diǎn)F在面ABCD上的投影.連接FG，則，DE⊥平面ABCD，則平面.過G做于點(diǎn)I，則BF平面，即角為二面角CBFD的平面角，則60°.則，，則.在直角梯形BDEF中，G為BD中點(diǎn)，，，，設(shè)，則，，則.，則，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.設(shè)平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)，則所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量為n＝(1，0，0)，由，解得，則，又,則，設(shè)CF與平面ABCD所成角為，則sin=.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為點(diǎn)睛：該題考查的是立體幾何的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有面面垂直的判定，線面角的正弦值，在求解的過程中，需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容，要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化，在求線面角的有關(guān)量的時候，有兩