專題03全等模型-手拉手模型(原卷版+解析)2

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．例2．（2022秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為8的等邊△ABC中，點D是AB的中點，點E是平面上△ABC外一點，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點D，E，F(xiàn)在同一直線上時，請你在備用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時BE的長．備用圖例3．（2022·吉林·九年級期末）如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．例4．（2022·黑龍江·虎林市九年級期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當(dāng)D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．例5．（2022·山西大同·九年級期中）綜合與實踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）拓展運用：某學(xué)習(xí)小組在解答問題：“如圖3，點是等腰直角三角形內(nèi)一點，，且，，，求的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【常見模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）邊長為4的正方形ABCD與邊長為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個定值若不是，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點G恰好落在DE上時，求α的值．例2．（2023·河南鶴壁市八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？例4．（2023·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．（正多邊形的各邊相等，各個內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專項訓(xùn)練1．（2023·重慶·七年級重慶八中?？计谥校┤鐖D：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，O為正△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤4．（2022·福建·福州九年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，且，點D在邊BC上，連按AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE，BE．則△BED的周長最小值是_________．5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD于點N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2023春·山東東營·七年級?？茧A段練習(xí)）在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下探究：（1）如圖1，兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此時BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，已知△ABC，請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)．7．（2022·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角與有公共頂點，，，．現(xiàn)將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點，，在同一直線上時，點為的中點，求的長；(2)如圖②，連接，．點為的中點，連接交于點，求證：；(3)如圖③，點為的中點，以為直角邊構(gòu)造等腰，連接，在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．8．（2022·四川省渠縣中學(xué)八年級期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，且AF=AE，連接BE，CF．M為FC的中點，連接AM．(1)如圖（1），試猜想BE和AM的關(guān)系，請寫出你所得到的結(jié)論；(2)如圖（2），將△AFE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），若將△AFE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后（0＜＜90），（1）中的結(jié)論是還成立嗎？請判斷并說明理由．9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．10．（2023春·廣東揭陽·九年級?？计谥校┮阎猂t△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)(保持點P在△ABC內(nèi)部)，連接AP、BP、BQ．（1）如圖1求證：AP＝BQ；（2）如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)到點A、P、Q在同一直線時，求AP長．11．（2022·廣東·惠州一中八年級期中）為等邊三角形，，于點．為線段上一點，．以為邊在直線右側(cè)構(gòu)造等邊．連結(jié)，為的中點．（1）如圖1，與交于點，①連結(jié)，求線段的長；②連結(jié)，求的大?。?）如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．為線段的中點．連結(jié)、．當(dāng)時，猜想的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論．12．（2022·福建·長汀縣八年級階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB邊上一點，過點D作DE⊥AB，交BC于點E，連接AE，取AE的中點P，連接DP，CP．（1）觀察猜想：

如圖（1），DP與CP之間的數(shù)量關(guān)系是，DP與CP之間的位置關(guān)系是．（2）類比探究：將圖（1）中的△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）問題解決：若BC＝3BD＝3，

將圖（1）中的△BDE繞點B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE⊥AB時，請直接寫出線段CP的長．13．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點D順逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段DE，連接AE，CE，過點A作AF⊥CE交線段CE的延長線于點F，連接BF．（1）當(dāng)AE＝AB時，求α的度數(shù)；（2）求證：∠AEF＝45°；（3）求證：AE∥FB．14．（2022·河南·方城縣一模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動．(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（1）所示．則CF的長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）(2)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（2）所示．在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長．思路梳理并填空：當(dāng)點E不與點A重合時，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；當(dāng)點E在點A處時，點F與點C重合．當(dāng)點E在點C處時，CF=CA．∴③點F所經(jīng)過的路徑長為．(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖（3）所示．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長．(4)正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F，G都在直線AE上，如圖（4）．當(dāng)點E到達點B時，點F，G，H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）15．（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖，在銳角中，，點，分別是邊，上一動點，連接交直線于點．(1)如圖1，若，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點是的中點，連接．在點，運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．16．（2022·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點在上時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由．17．（2022·福建八年級期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．18．（2022春·貴州黔東南·八年級校聯(lián)考期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對角線，垂足是O，求證：．【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長_____________．（直接填寫答案）19．（2022·福建福州·九年級?？计谥校┱叫蜛BCD和正方形AEFG的邊長分別為3和1，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，連接BE，DG，則線段BE和DG的關(guān)系為；（2）在圖1中，連接BD，BF，DF，求在旋轉(zhuǎn)過程中BDF的面積最大值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點G，E，D在同一直線上時，求線段BE的長．20．（2022·遼寧沈陽·九年級校考期中）（1）如圖①，若在等邊△ABC的邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在△ABC同側(cè)作等邊△CEN，連接AN．求證：ANBC且AN＝BE；（2）如圖②，若把（1）中的“等邊△ABC”改成正方形ABCD，同樣在邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在正方形ABCD同則作正方形CEMN，連接DN，請你判斷圖中是否有與（1）中類似的結(jié)論．若有，直接寫出結(jié)論；若沒有，請說明理由；

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，從而得，再證可得答案；（2）由，知為等邊三角形，即，繼而由，得到，再利用即可得解．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，．線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，．．．在和中，，．（2）解：如圖，，，為等邊三角形．，，．．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為8的等邊△ABC中，點D是AB的中點，點E是平面上△ABC外一點，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點D，E，F(xiàn)在同一直線上時，請你在備用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時BE的長．備用圖【答案】(1)△BEF是等邊三角形(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)即可證明△BEF是等邊三角形；（2）由△EBF是等邊三角形，可得FB=EB，再證明∠FBA=∠EBC，又因為AB=BC，所以可證明△FBA≌△EBC，進而可得AF=CE；（3）當(dāng)點D，E，F(xiàn)在同一直線上時，過B作BM⊥EF于M，再在Rt△BMD中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，∴EB=EF，∴△BEF是等邊三角形（2）∵等邊△ABC和△BEF∴BF=BE，AB=BC，∴即∠FBA=∠EBC∴△FBA≌△EBC（SAS）∴AF=CE（3）圖形如圖所示：過B作BM⊥EF于M，∵△BEF是等邊三角形∴，∵點D是AB的中點，∴在Rt△BMD中，∵DE=2∴解得或（舍去）∴【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，利用手拉手模型構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·吉林·九年級期末）如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當(dāng)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．【答案】（1）補充圖形見解析；；（2），仍然成立，證明見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖的方法作圖，再根據(jù)勾股定理求出BE的長即可；（2）根據(jù)SAS證明得AD=BE，∠1=∠2，再根據(jù)∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，從而可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，運用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，根據(jù)題意得，點D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE=由勾股定理得，；（2），仍然成立.證明：延長交于點，∵，，，∴，又∵，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴.（3）①當(dāng)點D在AC上方時，如圖1所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設(shè)AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴②當(dāng)點D在AC下方時，如圖2所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設(shè)AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴.所以,AD的值為或【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識，熟練解答本題的關(guān)鍵．例4．（2022·黑龍江·虎林市九年級期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當(dāng)D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2；（2）CD2+DB2=2DF2，證明見解析【分析】（1）由已知得，連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論；（2）連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）CD2+DB2=2DF2證明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，∴∴連接CF，BE，如圖∵△ABC是等腰直角三角形，F(xiàn)為斜邊AB的中點∴，即∴，又∴在和中∴∴，∴∴∵，∴CD2+DB2=2DF2；（2）CD2+DB2=2DF2證明：連接CF、BE∵CF=BF，DF=EF又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB∴△DFC≌△EFB

∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90°在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2∵DE2=2DF2∴CD2+DB2=2DF2【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．例5．（2022·山西大同·九年級期中）綜合與實踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）拓展運用：某學(xué)習(xí)小組在解答問題：“如圖3，點是等腰直角三角形內(nèi)一點，，且，，，求的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）=；（2）成立，理由見解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△APB≌△AEC，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEC是直角三角形，在簡單計算即可．【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，故答案為：=；（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；（3）如圖，將△APB繞點A旋轉(zhuǎn)90°得△AEC，連接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，也是本題的難點．模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【常見模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）邊長為4的正方形ABCD與邊長為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個定值若不是，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點G恰好落在DE上時，求α的值．【答案】（1）見解析；（2）48；（3）【分析】（1）通過邊角邊判定三角形全等；（2）連接，設(shè)交于點，交于點，先證明，由勾股定理可得；（3）作于點，則，且，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）四邊形與為正方形，，，，，，在和中，(SAS)，（2）連接，設(shè)交于點，交于點，，，，在△和中，，，，，由勾股定理得，，，，，，，(3)作于點，如圖，△為等腰直角三角形，，且，在中，，，，．．【點睛】本題考查四邊形與三角形的綜合問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形與直角三角形的性質(zhì)，通過添加輔助線求解．例2．（2023·河南鶴壁市八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由見解析；【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；（2）利用正方形的性質(zhì)得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；【詳解】（1）如圖1所示：和都是等邊三角形，，，即，在和中，，．（2），四邊形和均為正方形，，，，，在和中，，，例3．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？【答案】(1)BE=CD（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變（3）AE＝CG，證明見解析（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形.如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．圖形見解析.【分析】本題是變式拓展題，圖形由簡單到復(fù)雜，需要從簡單圖形中探討解題方法，并借鑒用到復(fù)雜圖形中；證明三角形全等時，用旋轉(zhuǎn)變換尋找三角形全等的條件．【詳解】（1）線段BE與CD的大小關(guān)系是BE=CD；（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變；

（3）AE=CG．證明：如圖4，正方形ABCD與正方形DEFG中，

∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．

（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形．

如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．【點睛】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和多邊形有關(guān)知識．注意對三角形全等的證明方法的發(fā)散．例4．（2023·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．（正多邊形的各邊相等，各個內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．【答案】①見解析；②60°；③90°；④108°【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ABE≌△ADC．②③④根據(jù)△ABE≌△ADC可得∠CDA=∠EBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BOD=∠BAD，從而求解．【詳解】解：①證明：如圖，∵△ABD和△AEC是等邊三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；③如圖，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，即，在和中，，，，∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；④如圖，五邊形和五邊形是正五邊形，，，，，，，在和中，，，，∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，正五邊形的性質(zhì)的運用及正邊形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023·重慶·七年級重慶八中?？计谥校┤鐖D：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用垂直的定義得到，則，于是可對①進行判斷；利用“”可證明，于是可對②進行判斷；利用全等的性質(zhì)得到，則根據(jù)三角形內(nèi)角和和對頂角相等得到，于是可對③進行判斷．【詳解】解：，，，，，即，所以①正確；在和中，，，所以②正確；，∵∠AFD=∠MFB，，，所以③正確．故選：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，O為正△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證，故①正確；證明是等邊三角形，故②說法正確；由勾股定理的逆定理可證得，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)，有，故，③說法正確；由直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，可得，④說法錯誤；將線段OA以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接OD，過A作AE⊥CD交CD延長線于點E，根據(jù)判斷④的方法，判斷⑤說法正確．【詳解】解：∵將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，∴，，∵正△ABC，∴，，∵，∴，即，在與中，∵，∴，故可由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，①說法正確，符合題意；如圖1，連接∵，，∴是等邊三角形，∵，∴．故點O與O′的距離為4，②說法正確，符合題意；∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵．故③說法正確，符合題意；如圖2，過作于點，∵是等邊三角形，，，∴，∴．∵，，，∴．∵，，，∴．∴．故④說法錯誤，不符合題意；將線段OA以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接OD，過A作AE⊥CD交CD延長線于點E，∵將線段OA以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，∴，，∵正△ABC，∴，，∵，∴，即，在與中，∵，∴，∴．∵，，∴是等邊三角形．∵，∴易求．∵是等邊三角形，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．∵，，∴．∴．∵，，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故⑤說法正確，符合題意；綜上，正確的說法有①②③⑤，故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形判定，等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022·福建·福州九年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，且，點D在邊BC上，連按AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE，BE．則△BED的周長最小值是_________．【答案】##【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AD=AE，∠DAE=60°，進而得出△ADE為等邊三角形，則DE=AD，根據(jù)“SAS”可證△ACD≌△ABE，可得CD=BE，而△BED的周長為BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，當(dāng)AD⊥BC時，AD最小，△BED的周長最小，然后求出AD的最小值即可解答．【詳解】解：∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=AD，∵△ABC是等邊三角形，AB=4，∴AB=AC，∠BAC=60°，BC=AB=4，∴∠BAC=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△ABE，∴CD=BE，∴△BED的周長為BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，∴當(dāng)AD最小時，△BED的周長最小，當(dāng)AD⊥BC，時，AD最小，過A作AM⊥BC于M，∴BM=BC=2，∴AM=，∴AD的最小值為，∴△BED的周長最小值是4+．故答案為：4+．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，將求△BED的周長最小值轉(zhuǎn)化求AD的最小值是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD于點N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)PE=AP+PD，見解析【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD=S△CAE，由三角形面積公式可得AH=AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，可得AO=AP，可證△APO是等邊三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；（2）證明：如圖，過點A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴BD×AH=CE×AF，∴AH=AF，又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE；（3）解：PE=AP+PD，理由如下：如圖，在線段PE上截取OE=PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO，∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°，∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°，又∵AP=AO，∴△APO是等邊三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△BAD≌△CAE是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東東營·七年級校考階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下探究：（1）如圖1，兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此時BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，已知△ABC，請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)．【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由見解析；（3）作圖見解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．【分析】（1）根據(jù)SAS證明兩個三角形全等即可證明；（2）通過條件證明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可證明BD⊥CE，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件證明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因為∠DAE=∠BAC=90°，如圖2．所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．所以∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS）．所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．因為∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．即∠DBC+∠ECB=90°．所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．所以BD⊥CE．綜上所述：BD=CE且BD⊥CE．（3）如圖3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．由圖可知，AD=AB，AE=AC，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE=CD，，又∵，∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，

∴∠PBC+∠PCB=60°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的知識點應(yīng)用，準(zhǔn)確分析圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2022·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角與有公共頂點，，，．現(xiàn)將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點，，在同一直線上時，點為的中點，求的長；(2)如圖②，連接，．點為的中點，連接交于點，求證：；(3)如圖③，點為的中點，以為直角邊構(gòu)造等腰，連接，在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）連接并延長交于，可得，，，再運用勾股定理可得結(jié)論；（2）延長到，使，連接，據(jù)SAS證明得，運用中位線定理證明，再證明，得，故可得結(jié)論；（3）據(jù)點F在AB上時BN的值最小，求出BN的值，運用等腰直角三角形的性質(zhì)求出NG和AB，運用三角形面積公式求解即可．(1)連接并延長交于，，點是的中點，，與都是等腰直角三角形，，，，又，，由已知可得，，，；(2)證明：延長到，使，連接，，．，，又，，．即；又，，，，A分別是，的中點，．，，，，；(3)∵AE=AD=4，∠EAF=90°，∴DE=，∵點F是DE的中點，∴AF=DE=2，∴點F在以A為圓心，2為半徑的⊙A上移動，如圖，當(dāng)點F在AB上時，BF最小，∵是等腰直角三角形，∴BF最小時，BN也最小，∴的最小值為：AB-AF=此時，∵∴∴∵是等腰直角三角形，∴∴的最小值為：【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022·四川省渠縣中學(xué)八年級期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，且AF=AE，連接BE，CF．M為FC的中點，連接AM．(1)如圖（1），試猜想BE和AM的關(guān)系，請寫出你所得到的結(jié)論；(2)如圖（2），將△AFE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），若將△AFE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后（0＜＜90），（1）中的結(jié)論是還成立嗎？請判斷并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)仍然成立，理由見解析(3)仍然成立，理由見解析【分析】（1）由已知可證，，由全等三角形的性質(zhì)可得．在中，由，M為FC的中點，可得，通過等量代換，即有．（2）設(shè)，，通過已知條件及整式加法，可得，，，故有．（3）延長至點，使得，連接，證，則，，由已知得，，通過等量代換及平行線性質(zhì)，推導(dǎo)得出，再證，可得．（1）解：，理由如下：在與中，∵，∴，∴．∵，M為FC的中點，∴，∵，∴．（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，即，理由如下：設(shè)，，∵M為FC的中點，∴，∵，∴．∵，，，∴．∵，，，∴．∵，∴．∵，，，∴，∵，∴．（3）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，即，理由如下：延長至點，使得，連接，∵M為FC的中點，∴，在與中，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．由題意得，，∵，∴．∵，，∴，∵，∴，∵，∴．在與中，∵，∴，∴，∵，∴，即．【點睛】本題考查了綜合運用全等三角形的判定及性質(zhì)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等證明的方法是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：，；拓展探究：成立，理由見解析【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點F，如圖所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案為：，；拓展探究：成立．理由如下：設(shè)與相交于點，如圖1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣東揭陽·九年級校考期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)(保持點P在△ABC內(nèi)部)，連接AP、BP、BQ．（1）如圖1求證：AP＝BQ；（2）如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)到點A、P、Q在同一直線時，求AP長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)∠ACB=∠PCQ=90°，可得∠ACP=∠BCQ，再利用SAS，即可求證；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，再由勾股定理，可得，即可求解．【詳解】證明：（1）∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，CP=CQ，∴△△ACP≌△BCQ（SAS）∴AP=BQ；（2）如圖2中，作CH⊥PQ于H，∵CP＝CQ＝2，∴，∵∠PCQ=90°，∴，∴，∵AC=4，∴，∵點A、P、Q在同一直線，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理，二次根式的化簡，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．11．（2022·廣東·惠州一中八年級期中）為等邊三角形，，于點．為線段上一點，．以為邊在直線右側(cè)構(gòu)造等邊．連結(jié)，為的中點．（1）如圖1，與交于點，①連結(jié)，求線段的長；②連結(jié)，求的大?。?）如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．為線段的中點．連結(jié)、．當(dāng)時，猜想的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）①；②；（2），證明見解析【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，，可得，是斜邊上的中線，勾股定理在中可求得的長，進而求得的長；②根據(jù)①的結(jié)論可得，根據(jù)，即可求得的度數(shù)；（2）連接，證明，進而可得，則，進而根據(jù)為的中點，為的中點，為的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得，進而可得【詳解】（1）①是等邊三角形，，是等邊三角形，為的中點②如圖，連接，；（2），理由如下，如圖，連接，為等邊三角形，,則為的中點，為的中點，為的中點【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三線合一，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的，勾股定理，中位線定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（2022·福建·長汀縣八年級階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB邊上一點，過點D作DE⊥AB，交BC于點E，連接AE，取AE的中點P，連接DP，CP．（1）觀察猜想：

如圖（1），DP與CP之間的數(shù)量關(guān)系是，DP與CP之間的位置關(guān)系是．（2）類比探究：將圖（1）中的△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）問題解決：若BC＝3BD＝3，

將圖（1）中的△BDE繞點B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE⊥AB時，請直接寫出線段CP的長．【答案】（1）PD＝PC，PD⊥PC；（2）成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可得，根據(jù)角之間的關(guān)系即可，即可求解；（2）過點P作PT⊥AB交BC的延長線于T，交AC于點O，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情況，當(dāng)點E在BC的上方時和當(dāng)點E在BC的下方時，過點P作PQ⊥BC于Q，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴，∵，∴，∵點P為AE的中點，∴，∴，，∴，∴故答案為：，．（2）結(jié)論成立．理由如下：過點P作PT⊥AB交BC的延長線于T，交AC于點O．則∴，∴，，由勾股定理可得：∴∴∴∵點P為AE的中點，∴∴在中，，∴，∴∴∴，∴∴，∴．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點E在BC的上方時，過點P作PQ⊥BC于Q．則，∴∵∴由（2）可得，，，∴為等腰直角三角形∴∴由勾股定理得，如圖3﹣2中，當(dāng)點E在BC的下方時，同法可得PC＝PD＝2．綜上所述，PC的長為4或2．【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，做輔助線，構(gòu)造出全等三角形．13．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點D順逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段DE，連接AE，CE，過點A作AF⊥CE交線段CE的延長線于點F，連接BF．（1）當(dāng)AE＝AB時，求α的度數(shù)；（2）求證：∠AEF＝45°；（3）求證：AE∥FB．【答案】（1）α＝30°；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=DE，由正方形的性質(zhì)可得AB=CE=AD，根據(jù)已知AB=AE，可得出△ADE是等邊三角形，求出∠ADE的度數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△CDE和△ADE都是等腰三角形，由題可知旋轉(zhuǎn)角是∠EDC，進而得出∠ADE、∠AED、∠CED與α之間的關(guān)系，再根據(jù)平角的特點即可求解；（3）方法一：過點B作AF與CF的垂線，可以得到一個平行四邊形，進一步可判定是矩形，根據(jù)角度關(guān)系得出∠BCF=∠BAF，判定矩形是正方形，得出∠BFC=45°，結(jié)合（2）可得出結(jié)論；方法二：過點B作BF的垂線交BF于點M，根據(jù)垂直的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可以得出∠ABF=∠CBM，∠BAF=∠BCF，AB=BC，進而判定兩個三角形全等，可得出△BFM是等腰直角三角形，求出∠BFE=45°，結(jié)合（2）可得出結(jié)論；方法三：取AC的中點O，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可得出OA=OC=OB=OF，所以A、B、C、F在同一個圓上，∠CBF=∠BAC=45°，結(jié)合（2）即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC，由旋轉(zhuǎn)可知，DC＝DE，∵AE＝AB∴AE＝AD＝DE∴△AED是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ADC＝90°，∴α＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°．（2）證明：在△CDE中，DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝，在△ADE中，AD＝ED，∠ADE＝90°－α，∴∠DAE＝∠DEA＝∴∠AEC＝∠DEC＋∠DEA＝＝135°．∴∠AEF＝45°，（3）證明：過點B作BG//CF與AF的延長線交于點G，過點B作BH//GF與CF交于點H，則四邊形BGFH是平行四邊形，∵AF⊥CE，∴平行四邊形BGFH是矩形，∵∠AFP＝∠ABC＝90°，∠APF＝∠BPC，∴∠GAB＝BCP，在△ABG和△CBH中∴△ABG≌△CBH(AAS)，∴BG＝BH，∴矩形BGFH是正方形，∴∠HFB＝45°，由（2）可知：∠AEF＝45°∴∠HFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．方法2：過點B作BM⊥BF交FC于點M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠FBN＋∠ABM＝∠ABM＋∠MBC＝90°，∴∠FBN＝∠MBC，∵AF⊥FC，∴∠AFC＝90°，又∴∠AFP＝∠PBC，∠FPA＝∠BPC∴∠FAB＝BCM,在△ABF和△CBM中，∴△ABF≌△CBM(ASA)，∴BF＝BM,∴△FBM是等腰直角三角形，∴∠MFB＝45°，由（2）可知：∠AEF＝45°∴∠MFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．方法3：取AC的中點為點O，∵AF⊥FC，∠ABC=90°∴OA＝OB＝OC＝OF·∴點A，B，C，F(xiàn)都在同一個圓上，∴∠BFC＝∠BAC＝45°·由（2）可知：∠AEF＝45°∴∠MFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線的判定；根據(jù)特殊圖形得出角的度數(shù)；根據(jù)圖形的特點，得出角之間的關(guān)系，三個角相加等于180°，得出結(jié)果；作輔助線求出∠BFC的度數(shù)，結(jié)合第二問的結(jié)果得出證明．14．（2022·河南·方城縣一模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動．(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（1）所示．則CF的長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）(2)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（2）所示．在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長．思路梳理并填空：當(dāng)點E不與點A重合時，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；當(dāng)點E在點A處時，點F與點C重合．當(dāng)點E在點C處時，CF=CA．∴③點F所經(jīng)過的路徑長為．(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖（3）所示．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長．(4)正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F，G都在直線AE上，如圖（4）．當(dāng)點E到達點B時，點F，G，H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）【答案】(1)1(2)①∠CBE；∠CBE；

②CF；AB；③3(3)點N所經(jīng)過的路徑長為(4)【分析】（1）證明△ABE≌△CBF，則CF=AE=1，問題即解決；（2）讀懂每步推理的依據(jù)，即可完成；（3）取BC的中點H，連結(jié)DH，NH，證明△BDM≌△BHN，則當(dāng)點M在點C處時，NH⊥BC，且NH=CD，此時在直角△ACD

中即可求得CD的長，從而求得結(jié)果；（4）當(dāng)E、B不重合時，取BC的中點M，連結(jié)MH，CH，可證△BFA≌△BHC，可得H、G、C三點共線，可得；當(dāng)點E在C處時，MH⊥BC，所以可確定點H所經(jīng)過的路徑，從而求得路徑長．（1）∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴CF=AE=1故答案為：1（2）當(dāng)點E不與點A重合時，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴CF∥AB當(dāng)點E在點A處時，點F與點C重合．當(dāng)點E在點C處時，CF=CA．∴點F所經(jīng)過的路徑長為3．故答案為：①∠EBC，∠EBC；②CF，AB；③3（3）如圖（3），取BC的中點H，連結(jié)DH，NH，則∵△ABC是等邊三角形，CD⊥AB∴∠ABC=60°，AB=BC，∴BD=BH∴△BDH是等邊三角形∵△BMN是等邊三角形由（2）知△BDM≌△BHN∴∠BHN=∠BDM=90°即NH⊥BC當(dāng)點M在點D處時，點N與點H重合，當(dāng)點M在點C處時，NH⊥BC，且NH=CD在Rt△ACD中，∠A=60°，AC=3∴CD=3×=所以點N所經(jīng)過的路徑長為.（4）如圖①，當(dāng)點E不與點B重合時，取BC的中點M，連結(jié)MH，CH由四邊形ABCD和四邊形BFGH都是正方形∴AB=BC，BF=BH，∠ABC=∠FBH=∠BHG=90°∴∠ABF=∠CBH∴△BFA≌△BHC∴∠BFA=∠BHC=90°∵∠BHG=90°∴H、G、C三點共線∵MH是直角△BCH斜邊上的中線∴當(dāng)點E在C處時，如圖②，MH⊥BC，所以點H所經(jīng)過的路徑長為：以點M為圓心，半徑為，圓心角為90°的弧此時弧長為：故答案為：【點睛】本題是三角形全等的綜合，考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長的計算等知識；關(guān)鍵是正確尋找到點的運動路徑，這是屬于幾何壓軸題．15．（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖，在銳角中，，點，分別是邊，上一動點，連接交直線于點．(1)如圖1，若，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點是的中點，連接．在點，運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）在射線上取一點，使得，證明，求出，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及鄰補角的性質(zhì)得出答案；（2）證明，求出，倍長至，連接，PQ，證明，求出，在CF上截取FP＝FB，連接BP，易得為正三角形，然后求出，證，可得PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，則可得為正三角形，然后由得出結(jié)論．（1）解：如圖1，在射線上取一點，使得，∵，BC＝BC，∴（SAS），∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2），證明：∵，，∴△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°，又∵，∴（SAS），∴，∴，∴，倍長至，連接，PQ，∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM，∴（SAS），∴，∠QFN＝∠CMN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC＝CM，∴，在CF上截取FP＝FB，連接BP，∵，∴，∴為正三角形，∴∠BPF＝60°，，∴，∵∠QFN＝∠CMN，∴FQ//CM，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，∴為正三角形，∴，即．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，利用全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系從而解決問題，屬于壓軸題．16．（2022·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點在上時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】，延長交于點G先證△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90o，可得∠DEC+∠CDE=90o，可推出∠FDG+∠GFD=90o即可，先下結(jié)論，，再證明，證法與（1）類似，延長交于點交于點．由四邊形為矩形且AD=CD可得，可推出．由知．由可用等量代換得由三角形內(nèi)角和得即可．【詳解】解：，延長交于點G，∵四邊形為矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90o，由旋轉(zhuǎn)的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），，∵∠DCE=90o，∴∠DEC+∠CDE=90o，∴∠FDG+∠GFD=90o∠FGD=90o，，理由如下：如答圖，延長交于點交于點，，四邊形為矩形，，，，，矩形為正方形．，在和中，．．．．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中兩線段的數(shù)量與位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是把兩線段置于兩個三角形中利用全等解決問題，會利用旋轉(zhuǎn)找全等條件，會計算角的和差，和證垂直的方法．17．（2022·福建八年級期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由見解析(2)∠ACB＝45°【分析】（1）①證明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．②當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．結(jié)合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF