2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：借助單位圓掌握公式一，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，初步體會三角函數(shù)的周期性；加深三角函數(shù)概念的認識，體會三角函數(shù)的基本性質(zhì)，以及內(nèi)在聯(lián)系；在同角三角函數(shù)關(guān)系的應用中，發(fā)展數(shù)學運算，數(shù)學推理的素養(yǎng).教學重點：發(fā)現(xiàn)、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系并簡單應用.教學難點：對三角函數(shù)的基本性質(zhì)間的內(nèi)在聯(lián)系的把握教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動2分鐘一、溫故舊知上節(jié)課我們學習了一種新的函數(shù)——三角函數(shù)，并對它的一些性質(zhì)進行研究，請同學們回憶：問題1:（1）是如何定義三角函數(shù)的呢？定義（2）根據(jù)定義以及點P所在象限可以判斷函數(shù)值的符號規(guī)律，比如點P在第二象限時，三個三角函數(shù)值的符號是什么？師生活動：教師引導學生回顧上節(jié)課的內(nèi)容.設計意圖：為本節(jié)課問題的提出和解決做出鋪墊.5分鐘3分鐘二、公式一的探究探究一：終邊相同角的同一三角函數(shù)值之間關(guān)系問題2：你能發(fā)現(xiàn)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”這個規(guī)律嗎？你能用符號語言去表示“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”嗎？稱這組公式為公式一從這組公式可知,三角函數(shù)值有“周而復始”的變化規(guī)律，說明角每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復出現(xiàn)，這也是“單位圓上的點繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.師生活動：引導學生發(fā)現(xiàn)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”，并把它符號化得到公式一，討論公式一體現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)以及它的作用設計意圖：引導學生通過建立相關(guān)知識的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)公式一及其所體現(xiàn)的三角函數(shù)周期性取值的規(guī)律，這是“單位圓上的點繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.在此過程中，可以培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題.三、學以致用例1：求下列三角函數(shù)值：分析：(1)我們可以利用三角函數(shù)的定義，在單位圓中,畫出角確定終邊的位置,求與單位圓交點坐標來求解,但是角不太好快速畫出，現(xiàn)在我們學習了公式一，能不能找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2，，說明與的終邊相同，由公式一可知，它們的三角函數(shù)值相等.(2)找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2，，說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數(shù)值相等.（3）是負角，找到與終邊相同的角，且這個角是在0~2，說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數(shù)值相等.解：追問：通過這三個小題的解答，你認為公式一有什么作用？利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2角的三角函數(shù)值，由公式一體現(xiàn)的這種周期性，使得以后我們想研究在整個定義域中三角函數(shù)的性質(zhì)，只要討論清楚三角函數(shù)在上的性質(zhì)即可.師生活動：學生思考回答，教師引導學生總結(jié)公式一的作用.設計意圖：利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2角的三角函數(shù)值，同時，由公式一可以發(fā)現(xiàn)，只要討論清楚三角函數(shù)在上的性質(zhì)，那么三角函數(shù)在整個定義域中的性質(zhì)就清楚了.在此過程中，可以培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).7分鐘四、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的探究探究二：同角的不同三角函數(shù)值之間關(guān)系1.提出問題問題3.1：公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？分析：（1）首先通過定義，我們知道三個三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.（2）再者終邊相同的角有無數(shù)多個，不方便研究，怎么辦呢？可以利用公式一，把這些終邊相同角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一個角的三角函數(shù)值，這時就可以將這個問題進一步轉(zhuǎn)化為“研究同一個角的三個三角函數(shù)值之間的關(guān)系”.師生活動：引導學生討論，利用公式一，先把問題“終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“同一個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系”，然后讓學生自主探究，得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系設計意圖：提出問題的關(guān)鍵在于終邊相同的角的三個三角函數(shù)的值都由單位圓上同一點的坐標所唯一確定，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系；由“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數(shù)之間有什么關(guān)系”的問題，再轉(zhuǎn)化為“同一個角的三個三角函數(shù)之間關(guān)系”的研究，可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.2.發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論問題3.2：給一個角,在單位圓中你能找到與點P坐標對應的線段嗎？從而建立x與y關(guān)系嗎？過P作x軸的垂線，交x軸于M,|x|=OM,|y|=PM,這時會發(fā)現(xiàn)?OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，由定義可得追問：你能證明這個結(jié)論嗎？當角為象限角時，過P作x軸的垂線，交x軸于M，因為?OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，即當角的終邊與坐標軸重合時,例如:角的終邊與y軸的非正半軸重合時，OM=0,MP=1仍然有OM2+MP2=1,其它同理，公式仍成立.綜上，角為任意角時，都有.問題3.3我們發(fā)現(xiàn)了同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，大家想想，同一個角的三角函數(shù)值還有什么關(guān)系？同一個角的正切值與正弦值、余弦值之間會不會有某種關(guān)系？由定義可知：追問1：角為任意角時，公式都成立嗎？要使公式成立，首先要使等式兩邊都有意義，等號左邊：正切函數(shù)的定義域是等號右邊：作為分母不等于0，即x≠0，所以，角的終邊不與y軸重合，即所以在這個公式中追問2：我們用和單位圓相關(guān)的勾股定理說明了，你能在單位圓中構(gòu)造圖形解釋這個公式嗎？把這個公式寫成分式的形式，你能在單位圓中找到對應的線段嗎？,過點B作OB的垂線，交OP于點C,因為,所以,因為OB=1，師生活動：學生思考、獨立完成作圖，說理，討論角適用的范圍，教師適時引導.設計意圖：通過對公式的探究，感受與單位圓相關(guān)的勾股定理與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的一致性，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力，提高學生思維的嚴謹性，發(fā)展學生邏輯推理的素養(yǎng).3分鐘五、公式理解與認識同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解與認識1.我們來一起分析兩個公式的結(jié)構(gòu)特點：（1）：第一個公式從左向右看,與的和為1;也可以從右向左看,1也可以用替換..是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦,表達不同的式子.（2）：同一個角正弦與余弦的商等于這個角的正切.第二個公式從左往右看，是把角的正弦余弦化為這個角正切，從右往左看，是把角的正切化為這個角的正弦余弦的比，所以看到角的正切就應該馬上想到這個角的正弦與余弦的關(guān)系；同樣，看到正弦余弦商的關(guān)系就應該想到了這個角的正切.2同角的理解這個“同角”應該怎么理解？（1）關(guān)系式中的角要相同，而且與角的形式無關(guān).比如：這里的“同角”是15°這里的“同角”是這里的“同角”是（2）只要能使得函數(shù)有意義，對任意一個角關(guān)系式都成立.就像第二個公式中，為了使余弦值存在，x≠0，角的終邊不在軸上，也就是要所以在這個公式中除了，其它角都可以.3.公式等價變形：當然，公式還可以寫成一些其它的形式供我們在解題中使用第一個公式可變?yōu)?,把公式進行開方運算的時候，，這里正負號不是兩個全都要，要受角所在象限的限制，二者取其一.舉例第二個公式可變?yōu)?也可以進行乘法運算.這兩個公式等價嗎？師生活動：教師引導學生進一步理解公式設計意圖：分析結(jié)構(gòu)特征，體會數(shù)學中變與不變，無限與有限的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學公式的結(jié)構(gòu)美.通過感念辨析，強化學生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)構(gòu)的認知，給出從數(shù)到字母再到式子的變化，加深學生對同角的認識.5分鐘六、學以致用例2：已知,為第三象限角，求，的值.思考1：條件“α是第三象限角”有什么作用？解：由，得因為為第三象限角，那么，從而這里不能表述為，因為受為第三象限角的限制，余弦值只能取負值.思考２：若是把題目中的“角是第三象限的角”這個條件舍去，該如何解答？解：因為，所以是第三象限或第四象限角，如果為第三象限角，那么，如果為第四象限角，那么，小結(jié)本題：如果已知某個三角函數(shù)值，且角所在象限是確定的，那么可以通過同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出其它三角函數(shù)，而且只有一種結(jié)果.如果只給了某個三角函數(shù)值，那么要按角所在象限進行討論，分別寫出答案，這時一般有兩組結(jié)果.所以在求值中，確定角的終邊位置是解題關(guān)鍵.師生活動：學生獨立思考，師生共同分析解題思路，教師給出解答示范．設計意圖：例1把角的象限給出，直接應用公式解題，降低難度，變式中去掉角范圍，提升對角所在象限判斷的重要性.例3：已知，求，的值.有學生的做法是：因為，所以，則請問這樣做可以嗎？為什么？分析:不對的，首先因為為第二或第四象限角，所以不能僅取解:因為為第二或第四象限角，如果為第二象限角，同理，如果為第四象限角，，補充說明：在第二象限中，其實是可以用為代表計算正弦值和余弦值，因為雖然在第二象限中正切值等于的角有無數(shù)多個，但是都是與終邊相同的角，那公式一可以保證它們的三角函數(shù)值是相同的，所以可以由作為代表計算，在第四象限中，就不能用代替計算，因為它們?nèi)呛瘮?shù)值的符號不同.變：，求，的值.解：解得因為，為第二或第四象限角如果為第二象限角，那么如果為第四象限角，那么師生活動：學生分析解題思路，教師給出解答示范．設計意圖：以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為基礎(chǔ)，以方程為核心思想，旨在幫助學生從方程的角度理解同角基礎(chǔ)關(guān)系，明確“知一求二”的基本方法，進而以方程滲透消元思想.練習：教科書第184頁練習1、2、3師生活動：學生做練習，教師根據(jù)學生練習情況給予反饋．2分鐘七、歸納總結(jié)、布置作業(yè)這節(jié)課我們學習了公式一以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1.公式一體現(xiàn)了三角函數(shù)周而復始的變化規(guī)律，同角基本關(guān)系式反映了各種三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.2.