2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.在信息技術(shù)的輔助下，了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的增長(zhǎng)差異；2.通過(guò)圖象和表格數(shù)形結(jié)合地體現(xiàn)各類函數(shù)間增長(zhǎng)變化的差異，了解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義，提升對(duì)三類函數(shù)的認(rèn)識(shí)；3.在認(rèn)識(shí)函數(shù)增長(zhǎng)差異的過(guò)程中，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：在信息技術(shù)的輔助下，直觀了解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義.教學(xué)難點(diǎn)：幾種增長(zhǎng)函數(shù)模型的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3min情境引入復(fù)習(xí)回顧【問(wèn)】在我們學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)中哪些函數(shù)在定義域上是增函數(shù)？我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)方式存在很大差異．事實(shí)上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的增長(zhǎng)情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來(lái)研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異．20min問(wèn)題探究，學(xué)以致用雖然它們都是增函數(shù)，但增長(zhǎng)方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反映.下面就來(lái)研究一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長(zhǎng)方式的差異.問(wèn)題探究一：以函數(shù)與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，指數(shù)函數(shù)值恒大于0，一次函數(shù)y=2x值恒小于0，所以我們重點(diǎn)研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長(zhǎng)差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········(3)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長(zhǎng)方式：結(jié)論1：函數(shù)與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4);結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)的圖象位于y=2x之上;結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)的圖象位于y=2x之下;結(jié)論4：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)的圖象位于y=2x之上.綜上：雖然函數(shù)與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長(zhǎng)速度不同，函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度不變，但是的增長(zhǎng)速度改變，先慢后快.【問(wèn)】請(qǐng)大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系?【生】隨著自變量取值越來(lái)越大，函數(shù)的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長(zhǎng)，函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度保持不變，和的增長(zhǎng)相比幾乎微不足道.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)畫出特殊的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖形，觀察歸納出兩類函數(shù)增長(zhǎng)的差異和特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；總結(jié)一：函數(shù)y=2x與在[0,+∞)上增長(zhǎng)快慢的不同如下：雖然函數(shù)y=2x與在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同.隨著x的增大，的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長(zhǎng)速度.盡管在x的一定范圍內(nèi)，，但由于的增長(zhǎng)最終會(huì)快于y=2x的增長(zhǎng)，因此，總會(huì)存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，恒有.總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長(zhǎng)都與上述類似.即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)雖然有一段區(qū)間會(huì)小于y=kx(k>0)，但總會(huì)存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度會(huì)大大超過(guò)y=kx(k>0)的增長(zhǎng)速度.如下圖，將k不斷變大：例1.三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：其中關(guān)于x呈指數(shù)增長(zhǎng)的變量是.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，鞏固對(duì)函數(shù)增長(zhǎng)差異性的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。問(wèn)題探究二：以函數(shù)與為例研究對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，對(duì)數(shù)函數(shù)沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長(zhǎng)差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：(3)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長(zhǎng)方式：總結(jié)一：雖然函數(shù)與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長(zhǎng)速度不變，在(0,+∞)上的增長(zhǎng)速度在變化.隨著的增大，的圖象離x軸越來(lái)越遠(yuǎn)，而函數(shù)的圖象越來(lái)越平緩，就像與軸平行一樣.例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；這表明，當(dāng)，即，比相比增長(zhǎng)得就很慢了.思考：將放大1000倍，將函數(shù)與比較，仍有上面規(guī)律嗎？先想象一下，仍然有.總結(jié)二：一般地，雖然對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)保持固定的增長(zhǎng)速度，而對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.不論值比值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會(huì)大于，但由于的增長(zhǎng)會(huì)慢于的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，恒有.例2．函數(shù)的圖象如圖所示．（1）試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)的大小進(jìn)行比較).解：（1）C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.（2）當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x)．問(wèn)題探究三：類比上述過(guò)程，（１）畫出一次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，并比較它們的增長(zhǎng)差異；總結(jié)一：雖然函數(shù)，函數(shù)與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長(zhǎng)速度不變，函數(shù)與在(0,+∞)上的增長(zhǎng)速度在變化.函數(shù)的圖象越來(lái)越陡，就像與軸垂直一樣；函數(shù)的圖象越來(lái)越平緩，就像與軸平行一樣.（２）試著概括一次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異；總結(jié)二：一般地，雖然一次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)保持固定的增長(zhǎng)速度，而指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.不論值比值小多少，在一定范圍內(nèi)，可能會(huì)小于，但由于的增長(zhǎng)會(huì)快于的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，恒有；同樣，不論值比值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會(huì)大于，但由于的增長(zhǎng)會(huì)慢于的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，恒有.（３）討論交流“直線上升”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“指數(shù)爆炸”的含義．直線上升：增長(zhǎng)速度不變，是一個(gè)固定的值；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)：增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，圖象越來(lái)越平緩，就像與軸平行一樣；指數(shù)爆炸：增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，以相同倍數(shù)增加，圖象越來(lái)越陡，最終就像與軸垂直一樣.【問(wèn)】你可以再舉出幾個(gè)生活中的例子嗎？例3.下列函數(shù)中隨的增大而增大且速度最快的是（）.A.B.C.D.解：A.結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象變化趨勢(shì)可知A正確.例4.函數(shù)的圖象如圖所示，則可能是（）.A.B.C.D.解：正確答案為C.從幾何的角度，各選項(xiàng)的函數(shù)圖像依次為：從代數(shù)的角度，A,B,D的值域與原函數(shù)不同.2min歸納總結(jié)課堂小結(jié)：1.研究了