2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】不同函數(shù)增長的差異-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題不同函數(shù)增長的差異教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.在信息技術(shù)的輔助下，了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的增長差異；2.通過圖象和表格數(shù)形結(jié)合地體現(xiàn)各類函數(shù)間增長變化的差異，了解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義，提升對三類函數(shù)的認(rèn)識；3.在認(rèn)識函數(shù)增長差異的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).教學(xué)重點：在信息技術(shù)的輔助下，直觀了解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義.教學(xué)難點：幾種增長函數(shù)模型的應(yīng)用.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3min情境引入復(fù)習(xí)回顧【問】在我們學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中哪些函數(shù)在定義域上是增函數(shù)？我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異．事實上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異．20min問題探究，學(xué)以致用雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.下面就來研究一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長方式的差異.問題探究一：以函數(shù)與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，指數(shù)函數(shù)值恒大于0，一次函數(shù)y=2x值恒小于0，所以我們重點研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點作圖如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········(3)觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：結(jié)論1：函數(shù)與y=2x有兩個交點(1,2)和(2,4);結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)的圖象位于y=2x之上;結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)的圖象位于y=2x之下;結(jié)論4：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)的圖象位于y=2x之上.綜上：雖然函數(shù)與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是的增長速度改變，先慢后快.【問】請大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系?【生】隨著自變量取值越來越大，函數(shù)的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和的增長相比幾乎微不足道.【設(shè)計意圖】通過畫出特殊的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖形，觀察歸納出兩類函數(shù)增長的差異和特點，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)；總結(jié)一：函數(shù)y=2x與在[0,+∞)上增長快慢的不同如下：雖然函數(shù)y=2x與在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定范圍內(nèi)，，但由于的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個，當(dāng)時，恒有.總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.即使k值遠遠大于a值，指數(shù)函數(shù)雖然有一段區(qū)間會小于y=kx(k>0)，但總會存在一個，當(dāng)時，的增長速度會大大超過y=kx(k>0)的增長速度.如下圖，將k不斷變大：例1.三個變量y1，y2，y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：其中關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是.【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識，鞏固對函數(shù)增長差異性的認(rèn)識，增強學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。問題探究二：以函數(shù)與為例研究對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，對數(shù)函數(shù)沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點作圖如下：(3)觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：總結(jié)一：雖然函數(shù)與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變，在(0,+∞)上的增長速度在變化.隨著的增大，的圖象離x軸越來越遠，而函數(shù)的圖象越來越平緩，就像與軸平行一樣.例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；這表明，當(dāng)，即，比相比增長得就很慢了.思考：將放大1000倍，將函數(shù)與比較，仍有上面規(guī)律嗎？先想象一下，仍然有.總結(jié)二：一般地，雖然對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.不論值比值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會大于，但由于的增長會慢于的增長，因此總存在一個，當(dāng)時，恒有.例2．函數(shù)的圖象如圖所示．（1）試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對的大小進行比較).解：（1）C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.（2）當(dāng)x<x1時，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x)．問題探究三：類比上述過程，（１）畫出一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，并比較它們的增長差異；總結(jié)一：雖然函數(shù)，函數(shù)與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變，函數(shù)與在(0,+∞)上的增長速度在變化.函數(shù)的圖象越來越陡，就像與軸垂直一樣；函數(shù)的圖象越來越平緩，就像與軸平行一樣.（２）試著概括一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長差異；總結(jié)二：一般地，雖然一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)保持固定的增長速度，而指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快；對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.不論值比值小多少，在一定范圍內(nèi)，可能會小于，但由于的增長會快于的增長，因此總存在一個，當(dāng)時，恒有；同樣，不論值比值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會大于，但由于的增長會慢于的增長，因此總存在一個，當(dāng)時，恒有.（３）討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義．直線上升：增長速度不變，是一個固定的值；對數(shù)增長：增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與軸平行一樣；指數(shù)爆炸：增長速度越來越快，以相同倍數(shù)增加，圖象越來越陡，最終就像與軸垂直一樣.【問】你可以再舉出幾個生活中的例子嗎？例3.下列函數(shù)中隨的增大而增大且速度最快的是（）.A.B.C.D.解：A.結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象變化趨勢可知A正確.例4.函數(shù)的圖象如圖所示，則可能是（）.A.B.C.D.解：正確答案為C.從幾何的角度，各選項的函數(shù)圖像依次為：從代數(shù)的角度，A,B,D的值域與原函數(shù)不同.2min歸納總結(jié)課堂小結(jié)：1.研究了