《工程力學(xué)》課件第11章

第11章壓桿穩(wěn)定

11.1壓桿穩(wěn)定的概念11.2細(xì)長壓桿的臨界壓力11.3歐拉公式適用范圍與臨界應(yīng)力總圖11.4壓桿的穩(wěn)定計算11.5提高壓桿穩(wěn)定性的措施11.1壓桿穩(wěn)定的概念構(gòu)件除了會發(fā)生強度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。穩(wěn)定和不穩(wěn)定是針對物體的平衡狀態(tài)而言的。例如圖11.1(a)所示小球，在下凹曲面的最低點處于靜止平衡狀態(tài)，若給小球一干擾力使其離開平衡位置，則在重力和曲面反力的作用下，小球最終將恢復(fù)到原來的靜止位置。這時，小球原來的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。在圖11.1(b)中，小球在凸曲面的最高點處于靜止平衡狀態(tài)，若給小球一干擾力使其離開平衡位置，小球?qū)⒉辉倩氐皆瓉淼钠胶馕恢?。這時，小球原來的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。在圖11.1(c)中，小球在光滑水平面上，若不計摩擦，則小球可以在任意位置上處于靜止平衡狀態(tài)。這種現(xiàn)象稱為隨遇平衡狀態(tài)，也就是穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)。圖11.1對于受壓構(gòu)件也有和上述情況類似的三種不同的平衡狀態(tài)。圖11.2(a)所示豎直桿，設(shè)壓力與桿軸線重合。在橫向干擾力作用下，桿產(chǎn)生橫向彎曲變形(圖11.2(b))。當(dāng)壓力小于某一極限壓力值時，若去掉干擾力，桿將恢復(fù)原有直線平衡狀態(tài)，這說明壓桿在直線狀態(tài)下的平衡是穩(wěn)定的(圖11.2(c))。當(dāng)壓力大于這一極限壓力值時，去掉了干擾力后，壓桿就不會回到原有直線狀態(tài)，而是在曲線狀態(tài)下保持平衡(圖11.2(d))，這說明壓桿原有直線形式的平衡是不穩(wěn)定的。圖11.2從穩(wěn)定直線平衡到不穩(wěn)定直線平衡必然有一個臨界狀態(tài)(圖11.2(e))，我們把臨界狀態(tài)下的極限壓力值稱為壓桿的臨界壓力或臨界力，并用Fcr表示。當(dāng)軸向壓力達到或超過壓桿的臨界壓力時，稍有一點橫向干擾，壓桿就將產(chǎn)生突然彎曲，由穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定的曲線平衡狀態(tài)。這種現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)或屈曲。實際桿件常有初彎曲、材料不均勻和壓力偏心等情況，為非理想受壓桿，當(dāng)軸向壓力大于臨界壓力時，壓桿的彎曲變形會突然增大，因而突然喪失承載能力。因此，穩(wěn)定問題在工程設(shè)計中占有重要地位，對于壓桿穩(wěn)定性的研究，關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界壓力。11.2細(xì)長壓桿的臨界壓力

1.兩端鉸支壓桿的臨界壓力兩端鉸支等截面壓桿如圖11.3(a)所示。設(shè)壓桿在微彎的狀態(tài)下保持平衡，在x－y坐標(biāo)系中，依據(jù)彎曲變形的內(nèi)力和撓度符號規(guī)定，任意截面x處的彎矩為

M(x)=－Fw(x)

(a)在線彈性小變形的前提下，撓曲線近似微分方程為(b)圖11.3將(a)式代入(b)式得：(c)令，得微分方程:(d)該方程為二階齊次常微分方程，其通解為w(x)=Asinkx+Bcoskx

(e)式中，

A、B為積分常數(shù)，可由壓桿的邊界條件確定。對兩端鉸支壓桿，邊界條件為：x=0，w=0；x=l，w=0將邊界條件代入(e)式得：B=0(f)Asinkl=0(g)要滿足(g)式，只有A=0或是sinkl=0。而由式(e)知，若A=0，則有w=0，即壓桿沒有彎曲變形，這與開始假設(shè)的壓桿處于微彎平衡狀態(tài)的情況不符。因此，只能是sinkl=0，即kl=nπ(n=0、1、2、…)。由此得出:進而得到使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的軸向壓力為由于n可以取多個值，因此上式就可以給出多個結(jié)果。然而，使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小非零軸向壓力才是壓桿的臨界壓力。因此，取n=1，即得到兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力為(11.1)上式最早由歐拉(L.Euler)于1744年確定，因而稱為歐拉公式，F(xiàn)cr也稱為歐拉臨界壓力。此式表明，F(xiàn)cr與抗彎剛度EI成正比，與桿長的平方l2成反比。這說明：壓桿越細(xì)越長，其臨界壓力就越小，越容易失穩(wěn)。

2.其它約束條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力當(dāng)壓桿的約束條件不同時，壓桿的臨界壓力也不同，可以采用與前述類似的方法來推導(dǎo)。現(xiàn)略去推導(dǎo)過程，由表11.1給出幾種典型的理想約束條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力表達式。綜合起來，可以得到歐拉公式的一般形式為式中，μl稱為相當(dāng)長度，μ稱為長度系數(shù)。(11.2)表11.1常見理想約束條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力由表11.1可知：桿端的約束愈強，則μ值愈小，壓桿的臨界力愈高；桿端的約束愈弱，則μ值愈大，壓桿的臨界力愈低。因此，長度系數(shù)反映了約束情況對臨界壓力的影響。對于后三種約束情況的壓桿，如果將它們的撓曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀加以比較，就可以用幾何類比的方法求出它們的臨界力。從表11.1中的撓曲線形狀可以看出，長為l的一端固定、一端自由的壓桿，與長為2l的兩端鉸支壓桿相當(dāng)；長為l的兩端固定壓桿，其兩個拐點之間的撓曲線形狀，與長為0.5l的兩端鉸支壓桿相當(dāng)；長為l的一端固定、一端鉸支的壓桿，約與長為0.7l的兩端鉸支壓桿相當(dāng)。因此，相當(dāng)長度反映了壓桿的臨界力與其撓曲線形狀的關(guān)系。應(yīng)該注意的是，歐拉公式的推導(dǎo)中應(yīng)用了撓曲線近似微分方程，因此歐拉公式只適用于線彈性穩(wěn)定問題。另外，上述各種μ值都是對理想約束而言的，實際工程中的約束情況要復(fù)雜一些，有的約束并不是理想約束。例如，壓桿一端在與其他構(gòu)件固接在一起時，很難保證整個端截面完全沒有轉(zhuǎn)動。有轉(zhuǎn)動就不是理想的固定端約束，但又不是可以自由轉(zhuǎn)動的理想的鉸支座，而是介于兩者之間的一種約束。這時，μ

值應(yīng)根據(jù)桿端固接的程度，在0.5與1之間選擇。對于工程中其它支座情況的長度系數(shù)值，可從有關(guān)設(shè)計手冊或規(guī)范中查到。

【例11.1】細(xì)長壓桿兩端約束情況如圖11.4所示，桿長l=6m，橫截面直徑d=100mm，材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa。試確定壓桿的臨界力。

解壓桿兩端均為固定端約束，長度系數(shù)μ=0.5。桿截面的慣性矩為由式(11.2)得桿的臨界壓力為圖11.4從歐拉公式看，壓桿的臨界力與截面的抗彎剛度有關(guān)，而與橫截面的面積無關(guān)。因此，對橫截面面積相同的圓截面桿，空心圓截面比實心圓截面桿的臨界力要大。這一點也說明，壓桿穩(wěn)定問題與壓桿的壓縮強度問題的性質(zhì)是不同的。11.3歐拉公式適用范圍與臨界應(yīng)力總圖前面介紹的歐拉公式給出了壓桿的臨界壓力計算公式。若用臨界壓力Fcr除以桿的橫截面面積A，則可得到桿在臨界狀態(tài)時的應(yīng)力，稱為臨界應(yīng)力，并用σcr表示，即(a)將式中的慣性矩I表示為I=i2A(b)式中，稱為截面的慣性半徑，則(a)式改寫為(c)引入(11.3)可得(11.4)式中的無量綱量λ，稱為壓桿的柔度或長細(xì)比。它綜合地反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力σcr的影響。細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度愈大，臨界應(yīng)力愈小?？梢?，柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個非常重要的參數(shù)。前面曾指出，在應(yīng)用歐拉公式時，要求材料在線彈性范圍內(nèi)，其臨界應(yīng)力不能超過材料的比例極限σp，即或令(11.5)可得λ≥λp(11.6)這是用柔度表示的歐拉公式的適用范圍。式(11.5)表明，λp值只與材料的彈性模量E及比例極限σp有關(guān)，是材料常數(shù)。例如Q235鋼，E=200GPa,σp=200MPa，用式(11.5)可得λp≈100。即對由這種Q235鋼構(gòu)成的各種壓桿，其λp是相同的，而不同的材料則會有不同的λp。通常把柔度λ≥λp的壓桿，稱為大柔度桿或細(xì)長桿。如果壓桿的柔度λ<λp，則說明臨界應(yīng)力σcr大于材料的比例極限σp，已超過歐拉公式的適用范圍，屬于非彈性穩(wěn)定問題。這類壓桿的臨界應(yīng)力通常采用建立在實驗基礎(chǔ)上的經(jīng)驗公式進行計算。常見的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式。下面給出較簡單的直線經(jīng)驗公式：σcr=a－bλ

(11.7)式中λ是壓桿的柔度，a、b是與材料性能有關(guān)的常數(shù)，單位為MPa。幾種常用材料的a和b值見表11.2。表11.2常用材料的a和b值經(jīng)驗公式(11.7)也有適用范圍，其應(yīng)力要求大于比例極限，同時還應(yīng)小于材料的屈服極限。因為當(dāng)壓桿的應(yīng)力超過屈服極限時，壓桿將由于強度不夠而失效，應(yīng)屬于強度問題而不是穩(wěn)定問題。因此，直線經(jīng)驗公式的適用范圍為或令(11.8)則有λp≥λ≥λs(11.9)這是用柔度表示的直線經(jīng)驗公式的適用范圍。由以上分析知，可以按柔度將壓桿分為三類，并分別按不同的公式計算臨界應(yīng)力，即：

(1)λ≥λp，壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿，用歐拉公式計算臨界應(yīng)力。

(2)λp≥λ≥λs，壓桿稱為中柔度桿或中長桿，采用經(jīng)驗公式計算臨界應(yīng)力。

(3)λ≤λs，壓桿稱為小柔度桿或短桿，這類壓桿應(yīng)按強度問題處理，若歸于穩(wěn)定問題，則可取臨界應(yīng)力σcr=σs。上述三類壓桿臨界應(yīng)力與λ的關(guān)系，可用σcr－λ曲線表示，如圖11.5所示，該圖稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。顯然，對λ≥λs的壓桿穩(wěn)定問題，柔度越大，臨界應(yīng)力越小，則壓桿越容易失穩(wěn)。圖11.5需要注意的是，求解穩(wěn)定問題時，正確地選用計算公式非常重要。因為，不論是對大柔度桿錯用了經(jīng)驗公式，還是對中柔度桿錯用了歐拉公式，結(jié)果都將偏于危險。

【例11.2】空心圓截面桿如圖11.6所示,桿長l=1.7m,外徑D=140mm，內(nèi)徑d=120mm，材料為Q235鋼。試求壓桿的臨界力及臨界應(yīng)力。圖11.6

解首先計算壓桿的柔度，以判斷壓桿的類型。本題中壓桿的長度系數(shù)μ=2，桿長l=1.7m。截面的慣性半徑i可由定義求得：故壓桿的柔度為由表11.2查得Q235鋼的λp=100，λs=61.6，則有λp≥λ≥λs。由此可知，壓桿屬于中柔度桿，應(yīng)按經(jīng)驗公式先計算臨界應(yīng)力，然后再求臨界力。由表11.2查得Q235鋼的a=304MPa，b=1.12MPa，代入式(11.7)得臨界力為

σcr=a－bλ=304－1.12×73.7=221.5MPa則臨界應(yīng)力為查Q235鋼的σp=200MPa，σs=235MPa，而求得的臨界應(yīng)力滿足σp≤σcr≤σs，說明按經(jīng)驗公式計算是正確的。

【例11.3】一端固定一端鉸支壓桿如圖11.7所示。桿長l=3m，材料為20號槽鋼，彈性模量E=205GPa，比例極限σp=257MPa。試求桿的臨界力及臨界應(yīng)力。圖11.7

解先計算壓桿的柔度。從型鋼表中查得20號槽鋼的橫截面面積A=32.837cm2，截面對形心主軸的慣性半徑有兩個值：ix=7.64cm，iy=2.09cm，應(yīng)采用較小的值。因為桿端的約束情況在所有縱向平面內(nèi)是相同的，桿若失穩(wěn)，則橫截面應(yīng)繞慣性矩最小的軸轉(zhuǎn)動，相應(yīng)的慣性半徑就是最小慣性半徑，即壓桿失穩(wěn)總是發(fā)生在抗彎能力最弱的平面內(nèi)。將桿的長度系數(shù)μ=0.7，桿長l=3m，慣性半徑i=imin=iy=2.09cm，代入柔度計算公式得：由式(11.5)得:可見，λ>λp，壓桿為大柔度桿，應(yīng)采用歐拉公式計算。即臨界應(yīng)力為則臨界力為Fcr=σcrA=200.3×106×32.837×10－4=658kN也可以先求臨界力，再求臨界應(yīng)力。即由式(11.2)得臨界力為則臨界應(yīng)力為兩種算法結(jié)果應(yīng)是相同的。11.4壓桿的穩(wěn)定計算

1.安全系數(shù)校核法為了保證受壓桿件正常工作而不失穩(wěn)，應(yīng)使其具有一定的安全儲備，即壓桿的工作壓力F應(yīng)滿足下式：(a)式中，nst為大于1的系數(shù)，稱為規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。若定義n=Fcr/F，將上式寫為(11.10)則式(11.10)稱為壓桿的穩(wěn)定條件，n稱為工作穩(wěn)定安全系數(shù)。由于壓桿失穩(wěn)通常具有突發(fā)性，危害較大，并且實際的壓桿還常有初曲率和載荷偏心等不利因素的影響，因此，通常規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)的值都大于強度安全系數(shù)，具體取值可查閱有關(guān)的設(shè)計規(guī)范。還應(yīng)指出，在壓桿穩(wěn)定計算中，有時會遇到壓桿局部截面被削弱的情況，如桿上有開孔、切槽等。這時，與截面尺寸有關(guān)的量仍按未被削弱的截面尺寸進行計算。這是因為，壓桿的臨界載荷是從研究整個壓桿的彎曲變形來決定的，局部截面的削弱對整體變形影響較小。但截面被削弱對強度計算有明顯影響，故必須對削弱了的截面進行強度校核。

2.折減系數(shù)校核法在某些結(jié)構(gòu)設(shè)計中，穩(wěn)定計算常采用下述的折減系數(shù)法。壓桿的穩(wěn)定條件若用應(yīng)力的形式來表達，可寫為(11.11)式中，F(xiàn)為壓桿的工作壓力；σ為工作應(yīng)力；A為橫截面面積；［σ］st=σcr/nst，稱為穩(wěn)定許用應(yīng)力。由于［σ］st總是小于強度問題中的許用應(yīng)力［σ］，于是式(11.11)又可表達為(11.12)此式即為折減系數(shù)法的穩(wěn)定條件。其中φ稱為折減系數(shù)，由下式確定：式中，σu為強度計算中的危險應(yīng)力，nu為強度安全系數(shù)。由臨界應(yīng)力總圖可知，σcr<σu，且通常有nu<nst，故φ為小于1的系數(shù)，而σcr與壓桿材料性能及壓桿柔度有關(guān)，所以φ還是材料及柔度的函數(shù)。表11.3所列為幾種常用工程材料的φ－λ對應(yīng)值。對于柔度為表中兩相鄰λ值之間的壓桿，φ可由直線內(nèi)插法求得。表11.3壓桿的折減系數(shù)

【例11.4】圓截面壓桿如圖11.8所示。桿直徑d=55mm，長度l=1.5m，材料是Q235鋼，彈性模量E=200GPa,比例極限σp=200MPa，λp=100，λs=61.6。若工作壓力P=90kN，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst=4，試校核壓桿的穩(wěn)定性。圖11.8

解(1)計算壓桿的柔度λ。慣性半徑：長度系數(shù)μ=0.7，桿長l=1.5m。由此求得壓桿的柔度為可見，λp≥λ≥λs，壓桿為中長桿。

(2)計算臨界壓力。由經(jīng)驗公式得：

(3)校核穩(wěn)定性。壓桿的工作穩(wěn)定安全系數(shù)為故壓桿滿足穩(wěn)定性要求。

【例11.5】矩形截面壓桿如圖11.9所示。壓桿長度l=2.2m，h=60mm，b=40mm，材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa。在正視圖11.9(a)的平面內(nèi)彎曲時，相當(dāng)于兩端鉸支；在俯視圖11.9(b)的平面內(nèi)彎曲時，相當(dāng)于兩端固定。規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3，試求壓桿的許可載荷。圖11.9

解(1)計算壓桿的柔度λ。由于壓桿在xy平面和xz平面內(nèi)的約束不同，并且矩形截面對兩個形心主慣性軸的慣性矩不相等(Iy≠Iz)，所以應(yīng)分別計算其柔度。在xy正視平面內(nèi)，長度系數(shù)μ=1，慣性半徑為則壓桿的柔度為在xz俯視平面內(nèi)，長度系數(shù)μ=0.5，慣性半徑為則壓桿的柔度為可見，λz>λy，因而壓桿可能在柔度較大的xy正視平面內(nèi)失穩(wěn)。

(2)計算臨界壓力。查表知Q235鋼的λp=100，由于λz>λp，因此壓桿為細(xì)長桿。此時，應(yīng)由歐拉公式計算臨界壓力，即

(3)確定壓桿的許可壓力［F］。由壓桿的穩(wěn)定條件，得故壓桿的許可壓力為98kN。

【例11.6】承載結(jié)構(gòu)如圖11.10所示。AB梁長l=4m，截面為正方形，邊長b=200mm，材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa。BD桿的截面為圓形，長度ld=1m，材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa，λp=100，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst=5。若載荷F=50kN，試確定BD桿的直徑，并分析結(jié)構(gòu)是否安全。圖11.10

解結(jié)構(gòu)中的AB梁屬于彎曲強度問題，BD壓桿可以按穩(wěn)定問題考慮，下面分別進行分析。

(1)對BD桿，由AB梁的平衡方程得所以，BD桿承受的壓力F=FB。要滿足壓桿的穩(wěn)定條件，壓桿的臨界壓力應(yīng)為Fcr≥nstF=3×25=75kN(a)本題需要確定壓桿的直徑，從而使壓桿的臨界壓力能夠達到這一數(shù)值。而欲求臨界力，必須先根據(jù)壓桿的柔度確定所用的公式，可是壓桿的直徑待定，無法求出柔度。為此，先試用歐拉公式確定直徑，再判斷是否滿足歐拉公式適用條件。

BD桿可以看成兩端鉸支，按歐拉公式，臨界力為(b)由(a)和(b)式解得d≥29.7mm取d=30mm計算壓桿柔度，則有可見λ>λp，說明用歐拉公式試算是正確的，BD桿的直徑可以取30mm。

(2)對AB梁，顯然C截面為危險截面，最大彎矩為最大彎曲正應(yīng)力為故AB梁滿足強度要求。所以，本結(jié)構(gòu)是安全的。11.5提高壓桿穩(wěn)定性的措施壓桿的穩(wěn)定性主要與壓桿的臨界應(yīng)力或臨界壓力有關(guān)，而壓桿的臨界應(yīng)力則與壓桿的柔度和材料性能有關(guān)。壓桿柔度越小，臨界應(yīng)力就越大，所以提高壓桿穩(wěn)定性的措施主要是盡量減小壓桿的柔度(即選用合理的截面形狀，減小壓桿的長度，增加約束的牢固性)，并且合理地選用材料。

1.選擇合理的截面形狀壓桿的柔度和截面的慣性半徑成反比，慣性半徑則與慣性矩成正比。因而，在截面積相同的情況下