2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題專項匯編：不等式（含答案）

(6)不等式

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

1.[2024屆.長沙市第一中學(xué).模擬考試]若正數(shù)a,6滿足工+工=1，則--+0-的最小值為()

aba-lb-1

A.4B.6C.9D.16

2.[2024屆.長沙市第一中學(xué)?二模]已知函數(shù)/⑺=log2±log2'，若"%)=/(%2)(其中

28

1Q

X。九2)，則一+一的最小值為()

x1x2

33

A.4B.2C.-D.-

24

3.[2024屆.湖北.模擬考試聯(lián)考]已知集合4={.同犬-2x-3>0},集合5滿足30A,則3

可以為()

A.[-l,3]B.(-oo,-l]C.(-oo,-l)D.(-oo,3)

4.[2024屆?江蘇省前黃高級中學(xué)?一模]設(shè)實數(shù)x,y滿足X〉3,y〉3,不等式

2

左(2*—3)(y—3廠8爐+y3—12必—3y2恒成立，則實數(shù)左的最大值為()

A.12B.24C.2石D.473

5.[2024屆.重慶市第八中學(xué).模擬考試]已知集合知={引-2<x<3},N={x\x2-5x+4>0},

則WN=()

A.(-2,1)B.(-2,4)C.(^,1)._(4,4W)D.(Y,3)L(4,y)

6.[2024屆.河北.模擬考試]已知a,6均為正實數(shù)，且滿足工+3=2,則上-+」—的最小

ab2a-Ilb-3

值為()

A.2Bq&C.273D.2?

7.[2024屆海南.模擬考試校考]已知集合河={-2,-1,0,1,2},2{小2+2>8叫，則凹N=

()

A.{-2,2}B.{-2}C.{2}D.2

二、多項選擇題

8.[2024屆.湖北.模擬考試聯(lián)考]若a>O>A>c,則()

A.->-B.b-a>c2a

cb

C.--->—D.a-c>2yl(a-b)(b-c)

a-cc

9.[2024屆.吉林吉林.模擬考試?？糫mb,c,d均為實數(shù)，且〃>匕>0,c>d>Q,則下列

結(jié)論正確的是()

ab

A.ac>bdB.a—ob—dC.a^ob+dD—>—

ac

三、填空題

10.[2024屆?貴州?模擬考試聯(lián)考]以maxM(minM)表示數(shù)集M中最大(小)的數(shù).設(shè)〃〉0,b>0，

c>0,已知a2c+b2c=

11.[2024屆.河北衡水.二模聯(lián)考]設(shè)集合A={x,—2x-3<0”R},B={x^x\>a,a>0)},則

AB=R,則實數(shù)a的取值范圍為.

191

12.[2024屆.海南省華僑中學(xué).二模]已知九>0，y>0,且》+2'=上，則一+—的最小值為

-2xy

13.[2024屆.全國?模擬考試]已知王，/是實數(shù)，滿足片+知-4%々=8,當(dāng)國取得最大值時，

|石+司=.

4

14.[2024屆.吉林吉林.模擬考試校考]設(shè)％>-1,則函數(shù)y=x+—；+6的最小值是.

X+1

15.[2024屆?合肥一六八中學(xué)?模擬考試]設(shè)x,y是正實數(shù)，記S為x,y+工，工中的最小值,

則s的最大值為.

參考答案

1.答案：A

解析：方法一：由工+工=1,可得—也，

abb-1

所以」1+」_

a-1b-1b-1

由a,6為正數(shù)且工+工=1，可得a>l，b>l,

ab

1+1T+44

所以=4,

a—1~b^ib-1

當(dāng)且僅當(dāng)>-1=/一，即6=3，a=2時等號成立.

b-12

故選：A.

方法二：由工+2=1,可得_J_=2,J—=￡,

aba-1ab-1b

crpi14b4aAlb4a.

a-1b-1ab、ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=四，即a=3，b=3時等號成立.

ab2

故選：A.

2.答案：C

2

解析：/(x)=log21-log2-|=(log2%-1)-(log2^-3)=(log2x)-41og2x+3,

2o

由/(西)=/(%),,1082%+1。82馬=4,

19「9c33

即xrx2=16,—I----->2/-----=2x—=—,

%]x2%%42

1o

當(dāng)且僅當(dāng)L=2L,

再X2

即％i=g,%=12時等號成立.故選C.

3.答案：C

解析：由集合A={x￡R|%2—2x—3>o}={x|x>3或xv—1},50A則

(-oo,-l)0(3,4w)(-oo,-l).

故選：C

4.答案：B

a

解析：x>j,y〉3,變形為2x-3>0,y-3>0,

令a=2x-3>0，b=y-3>0，

貝I左（2x—3）（y—3）W8/+.一12*—3/轉(zhuǎn)化為

8x3+y3-12x2-3y2

即工上>k,

（2x-3）（y-3）y—32x—3

其中4%2?=（a+3>?S+3『>。島）?（2回）

y-32x-3baba

a=3

當(dāng)且僅當(dāng)'=3,即％=3，y=6時取等號，可知心24.

b_a

b

故選：B

5.答案：D

6.答案：B

解析：因為b均為正實數(shù)，且工+』=2,得3a+b=2ab，

ab

匕「7236〃+4b-96a+4b-96〃+48-9

ffr以------1---=--------=---------=------

2a-l2b—3（2a—1）（26—3）4ab-6a-2b+33

又6a+46=；（6a+46產(chǎn)+|1=,18+2與]之9+60,

1+V2

4b_18aa=

2523

當(dāng)且僅當(dāng)ab即<時取等號，所以--------1-------->272.

14=23（2+碼2?-12b—3

b=

b4

故選：B.

7.答案：C

解析：因為N={x|x2+2x-820}={x[x<-4或％22}，

所以MN={2}.

故選：C.

8.答案：ACD

解析：---=a(Z7~c),又a>O>b>c,所以〃—c>0,b>0,所以0〉0,即故

cbbecbcb

A正雄l；

當(dāng)a=l,b=-l,c=—2時，b2a<c2a,故B錯誤，曰上=(a-b)c-(a-c)b=運出,又

a-cc(a-c)c(a-c)c

a>O>b>c,所以a—c>0,c-b<0,所以j—白>0,即故C正確

a-cca-cc

因為a>0>6>c,所以b-c>0,所以a-c=a-b+b-cN21(a-b)(b-c),當(dāng)且僅

當(dāng)a-》=Z?-c時等號成立，故D正確.

故選ACD.

9.答案：ACD

解析：因為a,b,c,d均為實數(shù)，且a>/?>0,c>d>0,

由不等式的基本性質(zhì)可得ac,a+c>b+d,AC選項正確；

因為c>d>0,則±>!>0,故=>?，D選項正確；

acac

取〃=3,b-2,c=2,d=1,貝！Ja—c=b—d,B選項錯誤.

故選：ACD.

10.答案：次

解析：由〃20+82。=],得6+52=工,設(shè)max口」」]=",貝!!

c[abC)

111.

>-=a92+b92>2ab，由

abc

3M=2JAf,VM+M22廠—產(chǎn)+2ab=1—H—~j=+2ab23yf2,所以知>^2，當(dāng)且僅當(dāng)

yjayjby/aby/ab~

a-b=c=時取等號.

v2

11.答案：（0,1）

解析：由題意人=卜,2一21一3〈0,無￡口}={]|-1<%<3},B=|x||x|>〃,a>0}={%|%或

若滿足43=R,則=又因為4_B={X|—Q<XV〃},

-1<-a

所以卜<3,解得Ova<l.故答案為：（0,1）.

a〉0

12.答案：16

翻+二21(21V0\c8y2]、0c18y2x“

角牛析：—I—=2—I—(x+2y)=8H128+2/--------=16,

當(dāng)且僅當(dāng)空=空時等號成立.即當(dāng)x=J_?=J_時，2+,取得最小值為16.故答案為：16.

xy4.8xy

13.答案：5

解析：%；+8考一4$%2=8.

/.16>,「JxJV4.

取等條件：芯-2”2%,%=4或x-4*.

玉=±4[%2=1[x2=-1

14.答案：9

解析：由光>一1,可得％+1>0,

44I4―

則y=%+-----+6=x+l+------+5>2J（x+l）-------+5=9,

x+1x+1V7x+1

4

當(dāng)且僅當(dāng)%+1=’7時，即光=1時，等號成立，

x+1

4

所以函數(shù)y=%+—；+6的最小值是最小值為9.

故答案為：9.

15.答案：72

解析：方法~k：設(shè)〃=1>0，b=—>0,c=y+—=—+—>0>當(dāng)〃=Z?=c='+工時，a=b=V2

yxbaba"

不妨設(shè)，S—+—

[ba

①當(dāng)Q=b=企時，S=疝11]〃也：+：；=行

②當(dāng)0<〃4后時，5=min|^,Z?,y+-l=min|d!,y+-|，

[ba][Z?a]

若〃WW貝！Jmin]〃—+」=4<友;

ba16

a>—+—，貝Umin1〃,工+工]='+'<〃<百；

bayba]ba

③當(dāng)0<a〈b〈后時，L2顯,Lz顯,c=l+l>V2,

a2b2ba

S=min\a,b,—+—\=a<A/2；

[ba]

④當(dāng)夜KaKb時，乂也，L比，c=-+-<V2，

a2b2ba

S=min—+—>=—+—<^2

[ba]ba

同理，當(dāng)時，可以證明

綜上所述：S的最大值為血.

方法二：由題意知0<SWx，0<5<-,則工〈工，y<-

一yxSS

所以sw丁+,4工+工=2,解得o<s〈血，故s的最大值為近.

xSSS~

故答案為：血

(7)空間向量與立體幾何

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

1.[2024年新課標I卷高考真題]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高

均為百，則圓錐的體積為（）

A.2舟B.37371C.67371D.9岳

2.[2024年新課標H卷高考真題]已知正三棱臺ABC-A4G的體積為?，AB=6,4片=2,

則4A與平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.[2024屆.合肥一六八中學(xué).模擬考試]設(shè)。，。表示兩條直線，a,〃表示兩個平面，則下列

命題正確的是（）

A.若?！╝，cua,則MeB.若/JUI，bile，則cua

C.若〃/a，a±j3,則c，/?D.若〃/a，c±J3,則。，分

4.[2024屆?浙江溫州?二模]在正三棱臺ABC-A與G中，下列結(jié)論正確的是（）

A.%BC.ABG=3匕]_83?B.AA]_L平面AB?

C.±B[CD.A4]±BC

5.[2024屆.山東臨沂.二模]已知正方體ABCD-AgGA中，M,N分別為CC「G。的中點,

則（）

A.直線MN與AC所成角的余弦值為逅

3

B.平面3MN與平面夾角的余弦值為典

10

C.在BC]上存在點Q,使得BtQ1BDX

D.在B}D上存在點P,使得PAII平面BMN

6.[2024屆.遼寧省實驗中學(xué).模擬考試]將邊長為正的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得

BD=6,則異面直線AB和CD所成角的余弦值為（）

V2

ADR.--------c

-I24D-T

7.[2024屆.遼寧省實驗中學(xué).模擬考試]已知正四棱錐P-ABCD各頂點都在同一球面上，且正

四棱錐底面邊長為4,體積為程，則該球表面積為（）

4冗

A.9兀B.3671C.4KD.——

3

二、多項選擇題

8.[2024屆.河北邢臺.模擬考試聯(lián)考]在△回（3中，B=~,AB=2,BC=3,E為AC的中點，

2

點R在線段3C上，且CF=23尸，將△回（?以直線3c為軸順時針轉(zhuǎn)一周圍成一個圓錐，D

為底面圓上一點，滿足4。=兀，貝女）

A.BA1BD

B.FE在48上的投影向量是工氏4

2

C.直線EF與直線8所成角的余弦值為小畫

65

D.直線EF與平面ACD所成角的正弦值為生黑

9.[2024屆.河南.模擬考試聯(lián)考]將圓柱的下底面圓q置于球。的一個水平截面內(nèi)，恰好

使得。]與水平截面圓的圓心重合，圓柱OjQ的上底面圓。2的圓周始終與球。的內(nèi)壁相接（球

心0在圓柱UR內(nèi)部）.已知球0的半徑為3,00]=|.若R為上底面圓Q的圓周上任意一點,

設(shè)R。與圓柱002的下底面所成的角為a，圓柱OQ2的體積為匕貝1K）

A.a可以取到（0,3中的任意一個值

77TT

B.V=--cos2a（l+2sina）

C，v的值可以是任意小的正數(shù)

8171

D.y

max4

三、填空題

10.[2024屆.遼寧省實驗中學(xué).模擬考試]如圖，四邊形ABCD是正方形，K4_L平面ABCD,且

PA=AB=2,M是線段PB的中點，則異面直線DM與Q4所成角的正切值為.

11.[2024屆.海南.模擬考試?？糫米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行的必備的

用具.為使堅固耐用，米斗多用上好的木料制成.米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征,

帶有濃郁的民間文化韻味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品.如圖的米斗可以看作一個正四

棱臺，已知該米斗的側(cè)棱長為5a，兩個底邊長分別為4夜和3a，則該米斗的外接球的表面

積是.

四、雙空題

12.[2024屆?福建.階段性考試]已知圓錐SO的母線&!=5,側(cè)面積為15兀，則圓錐SO的內(nèi)切球

半徑為;若正四面體4-四GA能在圓錐SO內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正四面體4-用62的

最大棱長為.

五、解答題

13.[2024年新課標I卷高考真題]如圖，四棱錐P-ABCD中，上4,底面ABCD,PA=AC=2,

BC=I,AB=6.

p

(1)若ADLPB,證明：AD〃平面P3C；

⑵若ADLOC'且二面角人一。一0的正弦值為年'求AD

14.[2024年新課標H卷高考真題]如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=56,

9i

ZADC=90°,ZBAD=30°,點E,R滿足AE=-AD,AF=-ABZxAEF沿ER翻折至4PEF,

52

(1)證明：EFLPD：

(2)求平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值.

15.[2024屆.湖北.模擬考試聯(lián)考]如圖，在三棱錐尸-ABC中，與△ABC都為等邊三角

形，平面平面ABC,M,。分別為Q4,A3的中點，且POBM=G,N在棱上,

且滿足BN=2NC,連接GN.

(1)求證：GN〃平面PAC；

(2)設(shè)AB=2,求直線PN與平面6GN所成角的正弦值.

參考答案

1.答案：B

解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為廣，因為它們的高均為百，且側(cè)面積相等，所以

2Tirx6=Tir，(6)2+戶，得產(chǎn)=9,所以圓錐的體積V=g兀產(chǎn)義6=3岳，故選B.

2.答案：B

解析：設(shè)正三棱臺ABC-45cl的高為人，三條側(cè)棱延長后交于一點P,作POL平面ABC于

點。，尸。交平面4片。1于點。1，連接Q4,aa，如圖所示.由A3=34%可得尸a=",

2

尸。=J又S?c=gx22x#=GSAABC=1X6X^=973,所以正三棱臺ABC-4用G

的體積V=%.BC—匕"G=396x，—；x百義?=三,解得八#,故PO='h=26

由正三棱臺的性質(zhì)可知，。為底面A3C的中心，則04=2義而與=26，因為P。，平面

3

PC

ABC,所以NPA0是4A與平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=-^=1,故選B.

3.答案：D

解析：若Z?//a，cua,則b//c或〃與。異面，故A錯誤；

若〃uiz，bl1c?則cua或clla故B錯誤；

若〃/a，al/3,則cu分或c〃尸或c與，相交，相交也不一定垂直，故C錯誤;

若clla,過c的平面與a相交，設(shè)交線為a,則c//a又c1(3,則a_L，,而aua,則tz_L，,

故D正確.

故選：D.

4.答案：D

解析：

5.答案：C

解析：

6.答案：A

解析：如圖所示:

分別取AC,BD,中點為E,F,G,

連接BD,EF,EG,FG,DE,EB,

則EG//CD,EG//AB,

所以NFGE為異面直線AB與CO所成的角，

因為正方形邊長為0,則FG=正，EG=YZ,

22

在等腰直角三角形ABC中，

因為AB=BC=0,

所以AC=2.

因為點E為AC的中點，

所以3E」AC=1,

2

同理可得，DE=1.

因為叱=2=BD°,

所以△BED是等腰直角三角形.

又因為點R為3。的中點，

所以EF=^BD=也.

22

在中，F(xiàn)G=EG=EF=匚,

2

所以是等邊三角形，

所以NFGE=60。，

所以cos/FGE=cos60°=

2

故選：A.

7.答案：B

解析：如圖，設(shè)P在底面ABCD的射影為H,則平面ABCD,

且“為AC,的交點.

因為正四棱錐底面邊長為4,故底面正方形的面積可為16,且AH=』x40=2VJ,

2

164

故一xP〃xl6=—,故PW=4.

33

由正四棱錐的對稱性可知0在直線PH上，設(shè)外接球的半徑為R,

則OH=|4—/，故A?=8+（4—火）2,故火=3,

故正四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4x7ix9=36兀，

故選：B.

解析：△ABC旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點為C,底面圓心為3,半徑AB=2,所以所對的

圓心角為NABD=巴，A正確.易知B正確.以3為原點，

2

建立如圖所示的空間直角坐標系，則4（020）,0（2,0,0）,C（0,0,3），E[1，|]，/（0,0,1）

所以CD=(2,0,-3),C4=(O,2,-3)

所以cos〈EF,CD)=fl；8尸，C錯誤.

|EF||CD|65

_Q7—n

設(shè)平面AGO的法向量為〃=(x,y,z),則令z=2,貝1J"=(3,3,2).

設(shè)直線EF與平面ACD所成的角為。，貝心垣6=嚴尚=生叵，D正確.

EFH55

9.答案：BCD

解析：過R作圓柱a。2的軸截面PQRS,過。作MN,a.交圓柱軸截面的邊于〃，N,

由R。與圓柱的下底面所成的角為a,則。M=3cosa,MR=3sina,所以

277T

222

V-TI-OM-QR=71?(3coscif)(OO1+3sincif)=cosdf(l+2sincif)，

即y=^^cos2a(l+2sina)=^^(l—sin2a).(l+2sina),故B正確;

當(dāng)點P,Q均在球面上時，角a取得最小值，此時=oa=|，所以a=弓，

所以aj30,故A錯誤;

[62；

令sina=teg，l］，所以V=—=2/—/+2/+1

所以展學(xué)（―），

6"2t+2另—6?—2，+2=0,

解得兩根/=1y/13,>=］+"7^,

1222

所以口=出（_6『—2f+2）W出x—6義［工］-2x-+2=—出<0,

212y224

）在］

所以V=—（―2/—/+2/+1feg,l時單調(diào)遞減,

所以匕ax=2x-f-1+2xf-Ll=—,0<V<—，故CD正確；

max2[UJUJ^2jJ44

故選：BCD.

10.答案：V5

解析：因為上4，平面ABCD,則B4_L4）,PA±AB,又四邊形ABCD是正方形,

則ABLAD,以A為坐標原點，AP,AB,AD分別為x,?z軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，且B4=AB=2,則￡>（0,0,2）,

P（2,0,0）,5（0,2,0）,又航是線段Pfi的中點，則2（1,1,0）,

APDM276

則。M=（LL—2）,AP=（2,0,0）,則cos（AP,DM）=

|AP|.|DM|2瓜6，

設(shè)異面直線DM與上4所成角為，，即COS，=COS<AP,￡>M〉=Y5,

6

則sin0=71-cos20-,所以tan。="""_6，

6cos<9

即異面直線DM與PA所成角的正切值為V5.

故答案為：6.

11.答案：100兀

解析：由題意，米斗的示意圖如下：設(shè)棱臺上底面中心為勒，下底面中心為。2,

由棱臺的性質(zhì)可知，外接球的球心。落在直線002上，

由題意該四棱臺上下底面邊長分別為40和3加，側(cè)棱長為5加，

則|O]A|=4,|Q5|=3，|AB|=5近，

所以玄。|=5川「—（似山—口即2=7,

設(shè)外接球的半徑為R,設(shè)|。。21="，

若。在線段002上，則1。。11=7—/2,

因為002垂直于上下底面，

所以DaF+lQBF即肥+32=7?2,

又|OO『+QIA「=R2,BP（7-/I）2+42=7?2，

聯(lián)立解得人=4,R2=25,

所以該米斗的外接球的表面積為4兀爐=100兀.

若。在aa的延長線上，貝U|oqi=7+/z,

同理有（7+獷+42=/+9，解得/z=T（舍）.

故答案為：100兀一

解析：如圖，在圓錐so中，設(shè)圓錐母線長為/,底面圓半徑為廠,

因為側(cè)面積為15兀，所以?！?15兀，即力=15.

因為/=&1=5，所以r=3，所以SO=j52-32=4?

棱長為。的正四面體4-如圖所示，

則正方體的棱長為正。，體對角線長為逅q,

22

所以棱長為a的正四面體4-四￡2的外接球半徑為亞a.

取軸截面SAB，設(shè)△&LB內(nèi)切圓的半徑為八

則、4乂6=工(6+5+5)廠，解得「=』，

22'，2

即圓錐SO的內(nèi)切球半徑為3.

2

因為正四面體4-耳￡0能在圓錐SO內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，所以1a<3,

a＜娓,

42

所以正四面體4-的最大棱長為".

故答案為：—；布.

2

13.答案：(1)證明見解析

(2)AD=6

解析：(1)由于PA_L底面ABC。，ADu底面ABC。，.-.PAA.AD,

又ADLP5,PAPB=P,平面Q4B,..AD_L平面勿B(yǎng),

又ABu平面Q4B,:.AD±AB.

AB2+BC2=AC7,AB±BC,：.BC//AD,

AD仁平面PBC,BCu平面PBC,.?.AD〃平面PBC

(2)由題意知。C,AD,AP兩兩垂直，以。為坐標原點，AO所在直線為x軸，OC所在直

線為y軸，過點。且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則￡>(0,0,0),

P(^,0,2),C0=(0,—14-4,0),AC=(_a,“一〃2,0),

設(shè)平面CPD的法向量為〃=(x,y,z),

CD-n=Q74—a2y=0

則{,即1J,可取〃=(2,0,—a).

CPn=0ax-(4-a2y+2z=0

設(shè)平面ACP的法向量為/n=(芭,y,zj,

「」帆?CP=0ax-"-a、y.+2z.=0.仃/----r

則＜,即nr＜l}____,可取m=“4—a,a,0).

帆-AC=0-axx+X=0

二面角A-CP-D的正弦值為四，

7

二余弦值的絕對值為五，

7

痂/\|\mn\244-Y幣

故|cos〈》i,〃〉|=------=/,=——，

\m\-\n\,“+,27

又a>0,:.a=6即AD=技

14.答案：（1）證明見解析

8765

65

解析：（1）由題，AE=-AD=2y/3,AF=-AB=4,又/a4￡）=30。，

52

所以由余弦定理得"2:4^+人嚴―2鉉.4/40530。=4,故EF=2.

EF~+AE~=AF2,所以EFLAE.

由EFLAE