數(shù)學(xué)模型實驗報告5_第1頁
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文檔簡介

1、左上方框里填寫學(xué)號后兩位,學(xué)習(xí)委員按此順號(報告展開排序)交給老師 31數(shù)學(xué)模型實驗報告專業(yè) 信息與計算科學(xué) 班級 15級1班 組別 指導(dǎo)教師 許小芳 姓名 史博強(qiáng) 同組人 實驗時間 2017 年 11 月 4 日 實驗地點 k7403 實驗名稱 數(shù)學(xué)規(guī)劃問題 實驗?zāi)康模豪斫庖浑A、二階微分法在建模過程中的應(yīng)用,熟悉利用MATLAB軟件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的泛性。實驗儀器:1、支持Intel Pentium 及其以上CPU,內(nèi)存256MB以上、硬盤1GB以上容量的微機(jī); 軟件配有Windows98/2000/XP操作系統(tǒng)及LINGO軟件等。2、了解LINGO等軟件的特點及系

2、統(tǒng)組成,在電腦上操作LINGO等軟件。實驗內(nèi)容、步驟及程序:實驗內(nèi)容:一個半球體狀的雪堆,其體積V的融化速率與半球面面積S成正比,比例系數(shù)K>0. 假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀,已知初始半徑為r0的雪堆在開始融化的3小時內(nèi),融化了其原體積的7/8,問該雪堆全部融化需要多少時間?過程:1分析雪堆的融化過程;2建立雪堆融化的微分方程模型;3利用所給數(shù)據(jù),確定參數(shù);4確定初始條件,求解方程(模型)5擴(kuò)展討論:雪堆形狀不同時的建模和求解方法(供參考,不作要求)模型建立:解:設(shè)雪堆在t時刻的體積為。由題設(shè)知,積分得r=-kt+C,由又。因雪堆全部融化時r=0,可得t=6,即雪堆全部融化需要

3、6個小時。程序:format longglobal rr=10r0=rtspan=0:10T,Y=ode45('funf',tspan,r0)N=find(Y<=0)t=T(N(1)y=dsolve('Dy=k','y(0)=r0')function dy=funf(t,y)global rdy=-r/6;運行結(jié)果:tspan = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y = 10.00000000000000 8.33333333333333 6.66666666666667 5.

4、00000000000000 3.33333333333333 1.66666666666666 -0.00000000000000 -1.66666666666667 -3.33333333333334 -5.00000000000000 -6.66666666666667t = 6y =k*t+r0結(jié)果分析:因雪堆全部融化時r=0,可得t=6,即雪堆全部融化需要6個小時。實驗內(nèi)容:現(xiàn)有一只兔子、一匹狼,兔子位于狼的正西100米處,假設(shè)兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑,兔子往正北60米處的巢穴跑,而狼在追兔子。已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問兔子能否安全回到巢穴?過程:(1)建立

5、狼的運動軌跡微分模型。 (2)畫出兔子與狼的運動軌跡圖形。 (3)用解析方法求解,問兔子能否安全回到巢穴? (4)用數(shù)值方法求解,問兔子能否安全回到巢穴?模型建立:問題分析:1. 以t0時,兔子的位置作為直角坐標(biāo)原點,兔子朝向狼的方向為x軸正向;則顯然有兔子位置的橫坐標(biāo) 2. 對狼來說,當(dāng)x100,y0,即在t0剛開始追擊時,狼的奔跑方向朝向兔子,此時即x軸負(fù)方向, 則有Y B-60C(x,y)y=f(x)XA(100,0) 0 兔子與狼的運動軌跡追擊方向的討論:由于狼始終朝向兔子,則在狼所在位置P),(yx點過狼的軌跡處的切線方向在距y軸上的截為1y。 設(shè)切線上的動點坐標(biāo)為(X,Y),則切線

6、方程為 - 在(1)中,令X0,則截距。 此時。 則此時截距等于兔子所跑過的路程,即:, 從而可得 狼與兔子速度關(guān)系的建模: 在t時刻,兔子跑過的路程為 ,由于狼的速度是兔子的r倍,則狼跑的路程為 = 狼跑過的路程可以用對弧長的曲線積分知識得到,如下。 ¢+ 聯(lián)立(2)、(4)、(5)得 =¢+ò 對(6)兩邊求對x的導(dǎo)數(shù),化簡得 =¢¢ 微分方程(7)式的初始條件有: 是否追上的判斷: 要判定狼是否追上兔子,可以通過(7)式判定。 對(7)式, 當(dāng)x0,如果計算求解得到60>=y,則視為沒有追上; 當(dāng)x0,如果計算求解得到60<y

7、,則視為兔子被追上; 程序:t=100:-0.1:0.1;y0=0 0;T,Y=ode45('odefun',t,y0)n=size(Y,1);Y(n,1)plot(T,Y(:,1),'-')x1=0 0;y1=0 60;plot(T,Y(:,1),'-',x1,y1,'r')y=dsolve('t*D2y=sqrt(1+Dy2)/2','y(100)=0','Dy(100)=0')function f=odefun(x,y)f(1,1)=y(2)f(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x);運行結(jié)果:ans = 63.50067735974328y =10/3*(-3+1/100*t)*t(1/2)+200/3結(jié)果分析:根據(jù)運行結(jié)果知, 63.50067735974328大于60,故沒有追上。實驗小結(jié):通過此次試驗,解決實際問題時可以轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行求解,要善于運用數(shù)學(xué)軟件解決生活的問題。 教師評語:1. 實驗結(jié)果及解釋:( 準(zhǔn)確合理、 較準(zhǔn)確、

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