2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：特殊的平行四邊形2（解答題）

2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

特殊的平行四邊形（解答題）2

一、解答題

1.（2024北京豐臺(tái)初二下期中）如圖，已知口ABED,延長AD到C,使得AD=OC,若AB=BC,連接

BC、CE,BC交DE于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形8ECD是矩形；

（2）連接AE,若4AC=6O。，AB=4,求AE的長.

2.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E為對角線3D上任意一點(diǎn)（不與3,。重

合），連接AE,過點(diǎn)石作石尸,隹，交線段BC于點(diǎn)F,以E尸為鄰邊作矩形連接8G.

⑴求證：AE=EF；

（2）猜想線段A8,BE,8尸之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并證明.

（3）若正方形A3CD的邊長為2,設(shè)四邊形AG8E的周長為加，直接寫出優(yōu)的取值范圍.

3.（2024北京豐臺(tái)初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系x0v中，對于點(diǎn)A和線段MN,如果點(diǎn)A,O,M,N

按逆時(shí)針方向排列構(gòu)成菱形AOMN,且NAQW=a,則稱線段MN是點(diǎn)A的相關(guān)線段”.例如，圖1

中線段MN是點(diǎn)A的“30。一相關(guān)線段如圖2,已知點(diǎn)8的坐標(biāo)是（0,2）.

杉

5-

4-

圖1圖2

(1)在圖2中畫出點(diǎn)B的“30。一相關(guān)線段“MN,并直接寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)8的“a-相關(guān)線段”經(jīng)過點(diǎn)(有,1),求a的值.

4.(2024北京H^一學(xué)校初二下期中)如圖所示，四邊形ABCD為正方形，F(xiàn)、G分別為邊AD、3C上的

點(diǎn)，BE1.FG于G.

備用圖

(1)求證：ZABE^ZGFD；

(2)在E尸上截取皿=BE,連接。為的中點(diǎn)，連接AO、AE.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段4。和AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.(2024北京海淀初二下期中)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC和5。交于。.過8做3H垂直AD于

H,并延長至使得BM=BC,連接回.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)設(shè)/。84=口,求/。4”的大?。?/p>

(3)用等式表示線段AM,AO和30之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.(2024北京海淀初二下期中)如圖，正方形ABCD中，G是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，AELCG交CG延長線于

點(diǎn)E,DFLDE交CG于點(diǎn)、F,連接

(1)若止=2,求E尸的長；

(2)若點(diǎn)G是仞的中點(diǎn)，猜想所、CF、D尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.(2024北京豐臺(tái)初二下期中)如圖，在VA8C中，AB=BC,。為AC中點(diǎn).過點(diǎn)。作AB的平行線,

過點(diǎn)8作AC的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)E,BC交DE于點(diǎn)F,連接CE.求證：

c

(1)四邊形3ECD是矩形；

(2)取AB的中點(diǎn)M,連接ZW,若。W=2,AD=3,直接寫出矩形3ECD的面積.

8.(2024北京西城初二下期中)如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是直線A3上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線BD上一

備用圖備用圖

(1)如圖，點(diǎn)E在線段B4的延長線上，點(diǎn)F在線段6。的延長線上，

①記/DE4=a,求/BEG的度數(shù)(用含a的式子表示)；

②用等式表示班，BD,8G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在射線A3上，點(diǎn)尸在直線上時(shí)，直接用等式表示BE,BD,BG之間的數(shù)量關(guān)系.

9.(2024北京第十四中學(xué)初二下期中)如圖，在VABC中，BC=2AB,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，過

點(diǎn)、A作AF〃BC交DE的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形板)尸是菱形；

(2)連接BE,若AB=2,NABC=60。，則BE的長為.

10.(2024北京育才學(xué)校初二下期中)如圖，Rt^ABC中，/ABC=90。，點(diǎn)D,E分別是AC,A3的中

點(diǎn)，CF//DB,BF//DC.

(1)求證：四邊形OBEC是菱形;

⑵若AD=3,DE=1,求四邊形。3FC的面積.

11.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）如圖，折疊矩形ABCD的一邊3C,使點(diǎn)3落在AD邊上的點(diǎn)尸處,

折痕為CE,若AZ>=5,CD=3,求AE的長.

12.（2024北京朝陽初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果P,。為某個(gè)菱形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，且

該菱形的兩條對角線分別與無軸，y軸平行，那么稱該菱形為點(diǎn)P,。的“相關(guān)菱形”.圖1為點(diǎn)P,。的

“相關(guān)菱形”的一個(gè)示意圖.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,4）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,0）,

4-

圖1圖2

（1）如果6=3,那么R（T,0）,S（5,4）,T（6,4）中能夠成為點(diǎn)A,B的“相關(guān)菱形”頂點(diǎn)的是二

（2）如果點(diǎn)A,B的“相關(guān)菱形”為正方形，求點(diǎn)2的坐標(biāo).

（3）如圖2,在矩形OEFG中，F(xiàn)（3,2）.點(diǎn)/的坐標(biāo)為（租,3）,如果在矩形OEFG上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)

M,N的“相關(guān)菱形”為正方形，直接寫出機(jī)的取值范圍.

13.（2024北京H^一學(xué)校初二下期中）如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AB=AD,對角線AC,

3D交于點(diǎn)。，AC平分過點(diǎn)C作交43的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB=?,BD=2,求BE的長.

14.（2024北京第十四中學(xué)初二下期中）如圖1,把一個(gè)含45。角的直角三角板ECT和一個(gè)正方形ABCD

擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C始終重合，連接AF,取AF的中點(diǎn)E尸的中點(diǎn)

N,連接MD、MN.

⑴若直角三角板Eb和正方形A5CD如圖1擺放，點(diǎn)￡、尸分別在正方形的邊CB、CD上，判斷MD與

MN之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若直角三角板Eb和正方形A8CD如圖2擺放，點(diǎn)、E、尸分別在3C、DC的延長線上，其他條件不變，

則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由

(3)若4?=3,CE=2,連接DV,在擺放的過程中，AOMN的面積存在最大值5和最小值邑，請直接寫出

，和邑的值.

15.(2024北京人大附中初二下期中)在VABC中，ZABC=90°,AB=BC,點(diǎn)。為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)

(不與點(diǎn)3、C重合)，點(diǎn)8關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)為E,作射線DE,過點(diǎn)C作的平行線，與射線OE

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E恰好在線段AC上時(shí)，用等式表示。尸與2D的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長線上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示4DB和NAFE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

16.(2024北京人大附中初二下期中)在RtaABC中，NACB=90。，點(diǎn)。是邊A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

CD.作AE〃OC,CE//AB,連接。E.

圖1圖2

(D如圖1,當(dāng)CD_LA3時(shí)，求證：AC=DE-

(2)當(dāng)四邊形ADCE是菱形時(shí)，

①在圖2中畫出四邊形ADCE,并回答：點(diǎn)。的位置為

②若46=10,DE=8,則四邊形ADCE的面積為

17.（2024北京房山初二下期中）已知點(diǎn)4（-2,0）,B（0,-4）,C（2,0）,D（0,4）.

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中作出點(diǎn)A,B,C,D；

（2）順次連接點(diǎn)A,B,C,。所得的圖形是哪種特殊的四邊形？并說明理由.

18.（2024北京通州初二下期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,AD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作

于點(diǎn)E,延長3C到點(diǎn)F,使CF=8E,連接￡（尸.

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE,若AB=10,BE=6,求OE的長度.

19.（2024北京通州初二下期中）如圖，在矩形ABCD的邊AD上取一點(diǎn)E,使BE=BC.過點(diǎn)C作

CFA.BE,垂足為點(diǎn)尸.如果AB=3,BC=5.求所的長.

20.（2024北京通州初二下期中）如圖，在四邊形ABCD中.AB//CD,AB=CD,對角線AC,BD交于

點(diǎn)0,AC平分/A4D.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與8,C重合），過點(diǎn)P作PFYBD,垂足分別為E,F,連接

EF、OP.求證：OP=EF.

21.（2024北京通州初二下期中）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊3c上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)5、C重

合），點(diǎn)E關(guān)于直線OC的對稱點(diǎn)為尸，連接C/,過點(diǎn)歹作/GLDE交小于點(diǎn)G,交對角線8D于點(diǎn)

H.

AD

(1)依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

(2)如果NCDE=a,求NDHF的大小(用含a的式子表示)；

(3)用等式表示線段3〃與E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

22.(2024北京西城初二下期中)在查閱勾股定理證明方法的過程中，小明看到一種利用“等積變形一同底

等高的兩個(gè)平行四邊形的面積相等”證明勾股定理的方法，并嘗試按自己的理解將這種方法介紹給同學(xué).

(1)根據(jù)信息將以下小明的證明思路補(bǔ)充完整：

①如圖1,在VABC中，ZACB=90°,四邊形ADEC,四邊形BCFG,四邊形ABPQ都是正方形.延長

QA交OE于點(diǎn)過點(diǎn)C作CN〃3交OE的延長線于點(diǎn)N,可得四邊形AMNC的形狀是；

②在圖1中利用“等積變形”可得/方彩皿。=;

③如圖2,將圖1中的四邊形AMNC沿直線"Q向下平移M4的長度，得到四邊形即四邊形

QACC.

④設(shè)CC交AB于點(diǎn)T,延長CC'交QP于點(diǎn)”，在圖2中再次利用“等積變形”可得S則…=,

貝！J有S正方物SEC=-

⑤同理可證S正方形BCFG=S正方形mp,因此得到S正方*4OEC+S正方形BBC=S正方形鉆股,進(jìn)而證明了勾股定理.

(2)小芳閱讀完小明的證明思路后，對其中的第③步提出了疑問，請將以下小明對小芳的說明補(bǔ)充完整：圖

1中A,則有=AB=AQ,由于平行四邊形的對邊相等，從而四邊形

AWC沿直線向下平移的長度，得到四邊形QACC'.

23.(2024北京東城初二下期中)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線3。上任意一點(diǎn)，連接CE,以點(diǎn)

E為垂足，過點(diǎn)E作鏟，加，交A3于點(diǎn)P,連接。尸，取0P的中點(diǎn)。，連接EO.

DC

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若NADP=a,求ZPOE的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

⑶用等式表示線段CE與。P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

24.（2024北京東城初二下期中）如圖，RtZXABC中，ZABC=90°.

B°-------------------

求作：矩形

作法：

①作線段AC的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)。；

②連接8。并延長，在延長線上截取8=03；

③連接ZMDC.

則四邊形ABC。為所求作的矩形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）；

5°---------------------

（2）完成下面的證明.

證明：?.?"N是線段AC的垂直平分線，

:.OA^OC,

?;OD=OB,

二四邊形ABCD為平行四邊形（）（填推理依據(jù)）.

/ABC=90。，

二平行四邊形ABCD為矩形（）（填推理依據(jù)）.

25.（2024北京人大附中初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn),給出如

下定義：取點(diǎn)4（0,"）與點(diǎn)3（餌0）,以AB為直角邊作等腰Rt^ABC,使/R4C=90。，且點(diǎn)C與點(diǎn)尸在同

一象限內(nèi)，則稱點(diǎn)C為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”，VABC為點(diǎn)P的“對應(yīng)三角形

⑴已知點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”為點(diǎn)C,

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3/），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為」

②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,3）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為「

（2）已知點(diǎn)P（m,n）,過點(diǎn)尸作x軸的垂線I,當(dāng)直線/恰好將點(diǎn)P的“對應(yīng)三角形”的面積分成兩個(gè)相等的部

分時(shí)，求”滿足的數(shù)量關(guān)系；

（3）已知點(diǎn)尸的"），且滿足療+7?=左（左＞o）為定值，點(diǎn)c為點(diǎn)p的“對應(yīng)點(diǎn)”，若。C的最大值為2,直接

寫出發(fā)的值.

26.（2024北京交大附中初二下期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC,3。相交于點(diǎn)0,過5點(diǎn)作

BE//AC,B.BE=-AC,連結(jié)EC,ED.

2

⑴求證：四邊形8EC。是矩形；

⑵若AC=2,ZABC=60°,求小的長.

27.（2024北京海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二下期中）如圖，在VA8C中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，E是AE）的中

點(diǎn)，過點(diǎn)A作A/〃8C交CE的延長線于點(diǎn)尺連接求證：四邊形A/汨尸是矩形.

28.（2024北京大峪中學(xué)初二下期中）如圖，平行四邊形"CD中，AC1BC,過點(diǎn)。作DE||AC交3C

的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)M為力B的中點(diǎn)，連接CM.

（1）求證：四邊形ADEC是矩形；

（2）若。0=6.5,且AC=12,求四邊形的面積.

29.（2024北京大峪中學(xué)初二下期中）（1）【觀察猜想】我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直

角.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊8上，連接AE,AP,EP,并延長C8到點(diǎn)G,使

BG=DF,連接AG.若N￡4F=45。，則之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上，且㈤F=45。時(shí)，試探究32跖,止之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在Rt^ABC中，AB=AC,D,E在BC上，ND4E=45。，若VABC的面積為

16,BDCE=4,請直接寫出V4組的面積.

30.(2024北京第一?■b—中學(xué)初二下期中)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE//BD,AE與CB的延

長線交于點(diǎn)E,DE交AB于F.

(2)連接CP,若NFDA=NFCB,判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由.

31.(2024北京H^一實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二下期中)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在BC,CD上,

BE=CF,AE,BF交于點(diǎn)G；

(1)ZAGF=.

(2)在線段AG上截取MG=3G,連接@0,/AGF的角平分線交ZW于點(diǎn)N.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段與NQ的數(shù)量關(guān)系，并證明.

32.(2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中)如圖，在VABC中，BA=BC,9平分/ABC交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)

E在線段上，點(diǎn)尸在RD的延長線上，且=D尸，連接AE,CE,AF,CF.求證：四邊形AECF

是菱形；

參考答案

1.(1)答案見解析

(2)2A/7

【分析】

(1)先求出四邊形3ECD是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，&)C=90。，根據(jù)矩形的判定得出

即可；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出"CE=90。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出AC,求出CE,根據(jù)勾股

定理求出AE即可.

【詳解】(1)

證明：?.?四邊形ABED是平行四邊形，

:.BE//AD,BE=AD,

-.-AD=DC,

:.BE//DC,BE=DC,

，四邊形BECD是平行四邊形，

在VABC中，-：AB^BC,AD^DC,

:.BD±AC,

:.ZBDC^90°,

四邊形BECD是矩形；

(2)

解：???四邊形BECD是矩形,

QN&4c=60°,AB=BC,

.?△ABC是等邊三角形，

.'.ZBCD=ZAfiC=60°,AC=3C=AB=4,

?：AD=CD,

NCBD=-ZABC=-x60°=30°,

22

:.CD^-AC^2,

2

由勾股定理得："二1r=26，

CE=BD=273,AC=AB=4,

由勾股定理得：4E=JAC?+CE?=也2+(2回=2幣?

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的判定，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三

角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

Q)AB+BF=@BE，證明見解析

⑶4拒4加＜4+2夜

【分析】(1)過點(diǎn)E作于點(diǎn)尸，交8c于點(diǎn)。，證明AAE/運(yùn)百Q(mào),即可得出結(jié)論；

(2)連接CE,過點(diǎn)E作EHJ.BC于點(diǎn)H,由得至IJAADE絲ACDEGAS),AE=CE,結(jié)合A￡=EF，

EH13C,根據(jù)等腰三角形三線合一得到切=』/C,BH=-(BC+BF),由BH=^BE,通過等量代

2272

換，即可求解；

(3)由正方形的判定與性質(zhì)可得ND4￡=NB4G,再由全等三角形的判定與性質(zhì)及最值問題即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過點(diǎn)片作于點(diǎn)尸，交5C于點(diǎn)。則NAPE=ND尸E=90。，

FQC

???四邊形ABC。是正方形,

：.AD//BC,

：.NEQF=180?！猌APE=90°,

ZAPE=ZEQF；

ZPAB=ZABQ=90°,

???四邊形A8QP是矩形,

AP=BQ,

VZC=90°,BC=DC,

?,./CBD=/CDB=45。，

：.ZQEB=ZCBD,

.??BQ=EQ,

?,.AP=EQ.

'：EF±AE,

ZAEF=90°,

AAEP=90°-NFEQ=ZEFQ,

AAEP^AEFQ（AAS）,

，AE=EF；

(2)解：連接CE,過點(diǎn)石作四人3c于點(diǎn)H,

四邊形ABC。是正方形,點(diǎn)E在BD上,

:.AD=DC,ZADE=ZCDE=ZDBC=45°,DE=DE,

：.AADE沿ACDE（SAS）,

AE=CE,

?：AE=EF，EHIBC,

：.EF=EC,

：.FH=-FC,

2

BH=BF+FH=BF+gFC=BF+g（BC—BF）=g（BC+BF）,

VZDBC=45°,EHIBC,

:.BH=—BE,

2

=+即：①BE=BC+BF,

???BC=AB,

AB+BF=>/2BE，

（3）解：由（1）得，AE=EF,

?.?四邊形AEFG是矩形，

，四邊形但'G是正方形，

AG^AE,ZG4E=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZGAE=9O°,

BD=42AD=0x2=2應(yīng)，

二ABAD-ABAE=Z.GAE-ZBAE,

:.ZJDAE=ZBAG,

AD=AB

在和△BAG中，\ZDAE=ZBAG,

AE=AG

/.△ZME^ABAG(SAS),

:.DE=BG,

m=AG+AE+BG+BE

=AE+AE+DE+BE

=2AE+BD

=2AE+2①,

???”?隨HE的增大而增大，

當(dāng)AELa)時(shí)，AE最小，機(jī)的值最小，

此時(shí)4￡=且4。)=受'2=夜，

22

"1的最小值為2AE+2點(diǎn)=2應(yīng)+2衣=4加,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8或點(diǎn)。重合時(shí)，AE最大，山的值最大，

此時(shí)AF=2,機(jī)的最大值為2AE+2啦=2x2+2應(yīng)=4+2a，

:點(diǎn)E不與8、。重合，

40<m<4+2夜，

故答案為：4A/2</M<4+2A/2.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是：正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造全等三角形.

3.(1)圖見解析，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,8),點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,如+2).

(2)60?；?20。.

【分析】(1)根據(jù)“a-相關(guān)線段”的定義求解；

(2)由題意點(diǎn)M必在直線了=石上，記軸于則可得MH=(OM?-OH?=］，

ZMOH=30°,然后分點(diǎn)M在x軸上方和點(diǎn)M在x軸下方兩種情況分別求出a的值即可；

【詳解】(1)如圖，即為所求.

過點(diǎn)M作M4_Lx軸于點(diǎn)A,

;四邊形為菱形，

/.BO//MN,OB=MO=MN=2,

丁點(diǎn)B在y軸上，

3O_Lx軸，

，MN_Lx軸，即N、M、A三點(diǎn)共線，

???NBOM=30°,

：.ZMOA=90°-30°=60°,

在RtzXMOA中，AO=-OM=1,MA=BMO=6,

22

...點(diǎn)M的坐標(biāo)是,點(diǎn)N的坐標(biāo)是(1,0+2).

(2)解：?.?點(diǎn)2的“a-相關(guān)線段”ACV經(jīng)過點(diǎn)(點(diǎn)1),

點(diǎn)M必在直線尤=石上.

記直線x=6與x軸交于點(diǎn)H(A/3,0),

,/OM=OB=2,OH=6

MH=^OM--OH-=1-^MOH=30°.

分兩種情況：

a)如圖，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，點(diǎn)M恰為(8,1),符合題意，止匕時(shí)/80"=60。,。=60。；

■??

r—「I—16)如圖，當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，點(diǎn)M為(6,-1),由MN=2知點(diǎn)N為

>

Ox

120。,a=120。.

綜上，a的值為60。或120。.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、勾股定理、含30。直角三角形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和

分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.⑴見解析

(2)①圖見解析②AE=V2A0，證明見解析

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，合理作出輔助線.

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及同角的余角相等，即可證明結(jié)論；

(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②連接并延長至點(diǎn)使=證明AEO"/AMOD,得到

EH=MD,ZDMO=ZHEO,再證明AAB-440欣，推出為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：??,正方形ABCD,

ZABD^90°,AD//BC,

：.ZBGE=NGFD/GBE+ZABE=90°,

,?BELFG,

NGBE+NBGE=90。,

?.ZBGE=ZABE,

ZABE=ZGFD；

(2)①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形如下：

②AE=叵AO，證明如下：

連接EO并延長至點(diǎn)M,使OE=OM,

DO=OH,

又,:/EOH=ZMOD,

：.&EOH%MOD,

：.EH=MD,ZDMO=ZHEO,

???DM//EF,

：?ZADM=/GFD,

由（1）知：ZABE=ZGFD,

:.ZADM=ZABE,

*.*EH=BE,

：.DM=BE,

???正方形ABCQ,

/.AB=AD,ZBAD=90°,

△ABEWAADM,

AE=AM,ADAM=ZBAE,

：.ZDAM^ZEAD=ZBAE+ZEAD=ZBAD=90°,即：NE4M=90。，

2X3f為等腰直角三角形，

,/OE=OM,

：.AO±EM,AO^-ME^OE,

2

■■AE=yjAO2+OE2=42AO-

5.(1)見詳解

(2)45°

(3)OA=—AM+OB

2

【分析】該題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點(diǎn)，解題

的關(guān)鍵是正確作出輔助線和圖象.

(1)根據(jù)題意畫圖即可；

(2)根據(jù)=BH±AD,和四邊形ABC。是菱形，得出NABD=90。一/ZBAO=e,

ZABM^90°-2i,再根據(jù)=得出NBA4=45。+0,即可得出NQ4M=—NBAO=45。.

(3)過M作MNLAO,結(jié)合(2)的結(jié)論得AN=MN,根據(jù)勾股定理得AN=也AM,證明

2

NABNAMBN,得出乙的=45。-1,從而得出？ONB45?,證明ON=3O,即可解答；

【詳解】(1)補(bǔ)全圖形如下：

（2）,:/DBH=a,BHJ.AD,

：.4印）=90°,

?四邊形ABC。是菱形，

.AD=AB=BC,ZDAO=ZBAO,AC1BD,

1180°-2(90°-er)

..ZADB=ZABD=90°-a,ZBAO=ZDAO=-/BAD=------------------L=a,

22

JZABM=90°-a-a=9Q0-2af

?；BM=BC,

AB二BM,

…“彳180°-ZABM

,/BAM=ZBMA=----------------=45°+a,

2

JZOAM=ZBAM-ZBAO=45°-ba-a=45°.

(3)OA=-AM+OB.

2

證明：過M作

JZOAM=45°=ZAMN,

：.AN=MN,

在RhAW中，AM2=AN2+MN2=2AN2,

???AN=—AM,

2

?：AN=MN,AB=BM,BN=BN,

：.^ABN^MBN(SSS),

/ABN=/MBN=-ZABM=45。-。，

2

JAONB=AOAB+ZABN=a+^°-a=^°,

：.ZONB=ZOBN,

：.ON=BO,

OA=AN+ON=—AM+OB.

2

6.(1)2A/2

(2)BF=CF+—DF,理由見解析

2

【分析】（1）由題意得NAQE=NCD尸，由/皿）+4收；+/4（近=180。=/尸CD+NCDG+NCGD,

ZAGE=/CGD,可得NEAD=NFCD,證明△ADEw/kCDF(ASA)，則。產(chǎn)=。石=2,由勾股定理得，

EF=^DF2+DE2，計(jì)算求解即可；

(2)如圖，作DHLCE于H,證明△OGH^^AG—AAS),則=由△ZDE三4CDF(ASA)，可得

AE=CF,則OH=CV,證明△CDH2―CWSAS),則CB=B尸，由ADEF是等腰直角三角形，

DHYEF,可得DH=PH,由勾股定理得，DF=^FH，貝!J尸”=交。尸，

2

BF=CH=CF+FH=CF+—DF,然后作答即可.

2

【詳解】(1)解：:正方形ABC。，AE1CG,

：.AD=CD,ZADC=9Q°,ZAEG=90°f

「ZADF+ZADE=90。=ZADF+NCDF,

：.ZADE=ZCDFf

,?NE4D+ZAEG+ZAGE=1800=N尸CD+NCDG+NCG。，ZAGE=/CGD,

：?/EAD=/FCD,

■:/EAD=/FCD,AD=CD,ZADE=/CDF,

***AADE=ACDF(ASA)，

:.DF=DE=2,

由勾股定理得，EF=y/DF2+DE2=2V2，

???￡F的長為20;

(2)解：BF=CF+—DF,理由如下；

2

如圖，作DHLCE于H,

：.ZDHG=9Q0=ZAEG,

?；/DHG=ZAEG,ZDGH=ZAGE,DG=AG,

：.ADGH/AAGE(AAS),

DH=AE,

V△ADE=△CDF(ASA),

:,AE=CF,

：.DH=CF,

■:ZCDH+ZDCH=90°=ABCF+ADCH,

ZCDH=ZBCF,

,:CD=BC,/CDH=/BCF,DH=CF,

ACDH^ABCF(SAS),

CH=BF,

：4EF是等腰直角三角形，DH±EF,

：.DH=FH,

由勾股定理得,DF=YJDH2+FH2=y/2FH,

/.FH^—DF,

2

/?BF=CH^CF+FH^CF+—DF,

2

...BF^CF+—DF.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三

角形內(nèi)角和定理等知識.熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判

定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

(2)377

【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，證明四邊形3EC。是矩形

是解題的關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形ABED是平行四邊形，則=AB=DE,由AD=CD,B￡?J_AC得到BE=8,

證明四邊形BECD是平行四邊形；又由2或心=90。即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出CZ)=AD=3,BD=?,即可求出矩形的面積.

【詳解】(1)證明：?..過點(diǎn)。作的平行線，過點(diǎn)8作AC的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)E,

.?.四邊形極汨是平行四邊形；

/.AD=BE,AB=DE,

VAB=BC,。為AC中點(diǎn).

AD=CD,BD±AC,

BE=CD,

?.?BE||CD,

四邊形BECD是平行四邊形；

NBDC=90。

二四邊形3EC。是矩形；

(2)如圖，

D.FE

MB

?.?DM=2,AABZ)是直角三角形，的中點(diǎn)為M,

；?AB=2DM=4，

VAD=3,。為AC中點(diǎn).

?*-CD=AD=3,BD=>jAB2-AD2=V42-32=A/7，

矩形BECD的面積為BDCD=3A/7.

8.(l)?ZBEG=90°-a；②?BE=BD+BG;

(2)BG=s/2BE+BD.

【分析】(1)利用正方形和等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)行角的等量代換求解即可得到①；過尸作用于點(diǎn)

H,利用正方形的性質(zhì)證出△曲是等腰直角三角形，得至"FH=RB,通過勾股定理建立等量關(guān)系可得到

HB=aBG和DA=^BD,接著判定出即可得到Ea=QA=^BD,代入

222

3E=團(tuán)+即可得到關(guān)系式；

(2)根據(jù)題意作出圖象后，過E作尸于點(diǎn)M,利用等腰三角形的性質(zhì)可以得到ZW=MF,利用勾

股定理求出BG^BF^BM+MF^BM+DM=BM+BD+BM^2BM+BD,代入求

2

解即可.

【詳解】(1)①解：：ABC。是正方形，3D為對角線，

NADB=ZCDB=/DBA=NDBC=45°,

ZFDE=ZDEA+ZADB=a+45。，

*/ED=EF,

：.ZEFD=ZFDE=a+45°,

:點(diǎn)G與尸關(guān)于直線AB對稱，

AEFB芬EGB,

二NG=NEFD=a+45°,NEBG=/DBA=45。,

：.ZBEG=180°—ZEBG—NG=180°—45°-a—45°=90°—a；

②解：過下作于點(diǎn)H,如圖所示：

F

DC

E\HA/B

G

,/ABCD是正方形，

ZDAB=90°ZFHB,

FH//DA,

:.NHFB=/ADB=45。,

△FHB是等腰直角三角形，

FH=HB,

.?.在中，F(xiàn)H2+HB2=FB2,

2HB2=FB2,

；?HB^—FB^—BG,

22

.?.在RtUMB中，ZM2+AB2=BZ)2.

2DA2=BD1,

/.DA=—BD,

2

由①得AEFBZAEGB,

：.ZFEH=ZBEG=90°-a,

又：ZEDA=90°-ZDEA=90°-a,

?*.NFEH=NEDA,

，在AEHF和VADE中

ZFEH=ZEDA

<EF=ED,

ZFHE=ZDAE

:.AEHFqAADE(ASA),

/.EH=DA=—BD,

2

"：BE=EH+HB,

/?BE=—BD+—FB,

22

4IEB=DB+FB-,

(2)解：由題意作圖，過E作上以_15尸于點(diǎn)M,如圖所示:

VED=EF,EMA.BF,

DM=MF,

'：NEBM=NDBA=45。,

為等腰直角三角形，

:.BM=EM,

.,.在中，BM2+EM2=BE2,

?*-2BM2=BE2，

/?BM=?BE,

2

:點(diǎn)G與尸關(guān)于直線AB對稱，

：.BG=BF=BM+MF=BM+DM=BM+BD+BM=2BM+BD,

，BG=IBM+BD=2x—BE+BD=y/2BE+BD.

2

【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定，等腰三角形的性質(zhì)及判

定，軸對稱圖形，勾股定理等知識點(diǎn)，合理作出輔助線進(jìn)行邊的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

Q)幣

【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理及勾股定理等知

識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由三角形中位線定理可得上〃AB,DE=-AB,可證四邊形ABD尸是平行四邊形，然后由菱形的判

2

定即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)E作砒由四邊形4?尸是菱形，可得筋=即=。9=2,AB〃所從而得出

/ED"=/4BC=60。，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出DH==DE=g,然后由勾股定理得BE的長.

22

【詳解】(1)證明：???點(diǎn)。、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),

,上是AABC的中位線，BC=2BD,

DE||AB,DE=—AB,

2

又

四邊形MDF是平行四邊形，

vBC=2AB,BC=2BD,

AB=BD.

■■■平行四邊形ABD尸是菱形；

(2)解：如圖，過點(diǎn)E作EH上BC,

AF

???四邊形ABDF是菱形,

/Hl

DH

；.AB=BD=DF=2,AB〃DF,

:"EDH=ZABC=6。。,

:./DEH=3。。，

由(1)^DE=-AB=1,

2

.-.DH=|DE=1,EH=y/DE2-DH2=^l2

:.BH=DB+DH=2+L=),

BE=\lBH2+EH2-5

2

故答案為："

10.⑴見解析

(2)S四邊形DBFC=

【分析】考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線以及勾股定理，熟練堂

握相關(guān)的定理與性質(zhì)即可解題，難度中等.

(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理首先推知四邊形“狙C為平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半得到其鄰邊相等：CD=BD,得證；

(2)由三角形中位線定理和勾股定理求得邊的長度，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行解

【詳解】(1)證明：尸〃BF//DC,

:.四邊形DBFC是平行四邊形.

?.?在Rt^ABC中，ZASC=90°,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

BD=CD=-AC.

2

，平行四邊形O8R?是菱形.

(2)解：：￡>,E分別是AC,A3的中點(diǎn)，

?*.OE是VABC的中位線.

；AD=3,DE=1,

AC=2AZ)=6,BC=2DE=2,

二AB=7AC2-BC2=762-22=4及?

:四邊形OBFC是菱形，

?'S四邊形DBFC=2SADBC=S4ABe=—AB-BC=-x4五x2=4A/2.

4

11.AE的長為］.

【分析】本題考查了折疊和勾股定理.根據(jù)折疊找到相等線段，再由勾股定理得出D尸的長，設(shè)他=x,

貝|3E=EF=3—x,在RtAE4產(chǎn)中勾股定理即可求出AE的長.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

AAD=BC=5,CD=AB=3,ZA=ZD=90°.

???沿CE折疊，

；.CF=CB=5,BE=EF,

.?.在Rt^CD產(chǎn)中，DF=A/CF2-CD2=752-32=4-

AFAD-DF=5-4=1,

設(shè)AE=x,貝ij8E=EF=3-x,

在Rt^E4R中，由Ag+AFZuE1尸2得：x2+l2=(3-x)2,

44

解得：x=-,即AE的長為

12.(1)7?,S

⑵(-3,0)或(5,0)

(3)-3<m<6

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思

想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)觀察圖象可知：R、S能夠成為點(diǎn)A,8的“相關(guān)菱形”頂點(diǎn)；

(2)如圖2中，過點(diǎn)A作AH垂直無軸于X點(diǎn).根據(jù)正方形的性質(zhì)可知9=4,由此可求得點(diǎn)2的坐標(biāo)

即可；

(3)過點(diǎn)M作龍軸，垂直為G,可得到AMGN為等腰直角三角形，然后分為點(diǎn)N與點(diǎn)E重合、點(diǎn)

N與點(diǎn)O兩種情況求得m的最大值和最小值，從而可確定出m的范圍.

【詳解】(1)如圖1中，觀察圖象可知：R、S能夠成為點(diǎn)A,B的“相關(guān)菱形”頂點(diǎn).

圖1

故答案為：氏S；

(2)如圖2中，過點(diǎn)A作AHr垂直無軸于X點(diǎn).

V八

A

圖2

;點(diǎn)A,B的“相關(guān)菱形”為正方形，

為等腰直角三角形.

VA(l,4),

AH=4,OH=1,

；?BH=AH=4.

6=-3或5.

.??B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)或(5,0).

(3)如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)，過點(diǎn)"作尤軸，垂直為G.

/.ANMG為等腰直角三角形，

EG=GM=3,

M(6,3).

如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)。重合時(shí)，過點(diǎn)M作灰ZGJLx軸，垂直為G.

:點(diǎn)M,N的“相關(guān)菱形”為正方形，

...△M0G為等腰直角三角形，

OG=GM=3,

M(-3,3).

.?.根的取值范圍是：-3<m<6.

13.⑴見解析

eDr36

(2)BE=—^―

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)，勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

Q)利用平行線和角的平分線，證明AO=CD,繼而判斷四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合=得

證.

(2)由菱形的性質(zhì)得OA=OC=；AC,BDA.AC,OB=OD^-BD=1,AB=CB=5由勾股定理可

22

得：OA=YJAB2-OB2=2>在RtABCE中，CE2=BC2-BE2,在RIAACE中，

CE2=AC2-AE2=AC2-(AB+BE)2,BPBC--BE2=AC2-(AB+BE)2,求解即可.

【詳解】(1)證明：：A5〃DC,

二Z.OAB^ZDCA,

AC平分

ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,則AD=CD,

又?:AB=AD,

CD=AD=AB,

,/AB//CD,

/.四邊形ABC。是平行四邊形，

?/AB=AD,

四邊形ABC。是菱形.

(2)解：???四邊形ABCD是菱形，

：.OA=OC=^AC,BD1AC,OB=OD=；BD=1,AB=CB=非,

由勾股定理可得：OA=\IAB2-OB2=2>

CE1AB,

在RtABCE中，CE2=BC2-BE1,

在Rt^ACE中，必=AC?-姐=AC?一(A3+㈣?,

：.BC2-BE2=AC2-(AB+BE)2,即：5-BE2=16-(75+BE)2,

解得：BE=—.

5

14.Q)MD=MN

⑵MD=MN

⑶S_11+6及$_11-6@

]—4，2—4

【分析】⑴連接AE,證明AME烏必￡>尸，得=再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和三角形

中位線定理可得答案；

(2)連接AE,由(1)同理可證明結(jié)論；

(3)連接AE,連接AE,AC,設(shè)AE交皿/于0,交CD于G,首先證明ADMN是等腰直角三角形，可

得%MV=：A尸?，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系知3夜-2WAR43后+2，從而解決問題.

O

【詳解】(1)MD=MN,

證明如下：

???四邊形ABCD是正方形，

:.AB=BC=CD=DA,NB=NADF=90°,

?；CE=CF,

:.BE=DF,

/.△ABE^AADF(SAS),

:.AF=AE,

???MN為/\AEF的中位線，

.\MD=-AF,

2

:.MD=MN；

(2)仍然成立，證明如下:

如圖，連接AE,

四邊形A5c。是正方形,

AB=BC=CD=DA,ZABE=ZADF=90°

?：CE=CF

:.BC+CE=DC+CF,

即BE=DF,

/.△ABE^AADF(SAS)

:.AF=AE,

???加,"為4尸,跖的中點(diǎn)，

:.AM=MF,FN=EN

:.MD=-AF,MN=-AE

22

:,MD=MN；

(3)如圖3,連接AE,AC,

設(shè)A七交"f于。，交CO于G,

\DM=MF=AM

ZMDF=AMFD=ZAEB,

???ZDGO=NCGE,ZODG=ZCEG,

:.ZDOG=ZECG=90°,

-.-MN//AE,

:./DOG=/DMN=9。。,

.\MN.LDM,

???四邊形ABC。是正方形，AB=3,

:.AC7AB2+BC2=3萬

?;MN=DM=AM,

??.SQMN二:MMOM=；AAf2尸］=；A產(chǎn)

ZZ