2024-2025學年高中數(shù)學第三章推理與證明課時作業(yè)83.1.2類比推理含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE1課時作業(yè)8類比推理時間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共7個小題，每小題5分，共35分)1．下面類比推理中恰當?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【答案】C【解析】結(jié)合實數(shù)的運算律知C是正確的．2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行類比【答案】C【解析】由扇形的弧長與半徑分別類比于三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式．3．已知Rt△ABC的兩條直角邊長分別為a，b，則其面積S＝eq\f(1,2)ab.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，類比上述結(jié)論可得此三棱錐的體積VP－ABC等于()A.eq\f(1,2)abc B.eq\f(1,3)abcC.eq\f(1,6)abc D．a(chǎn)bc【答案】C【解析】VP－ABC＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,6)abc.4．下列類比正確的是()A．平面內(nèi)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，則空間中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B．平面內(nèi)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，則空間內(nèi)兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形C．平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行，則空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行D．平面內(nèi)n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，則空間內(nèi)n面體的各面內(nèi)角和為n(n－2)×180°【答案】B【解析】空間內(nèi)兩組對邊分別相等的四邊形不肯定是平行四邊形，但兩組對邊平行，則肯定在一個平面內(nèi)是平行四邊形．5．平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由類比思想，我們可以得到()A．空間中平行于同一條直線的兩條直線平行B．空間中平行于同一個平面的兩條直線平行C．空間中平行于同一條直線的兩個平面平行D．空間中平行于同一個平面的兩個平面平行【答案】D【解析】一般來說平面幾何中的線要類比到空間中的平面，所以雖然選項A中結(jié)果正確，卻不能算作類比結(jié)果．6．電子計算機中運用二進制，它與十進制的換算關(guān)系如下表：十進制123456…二進制11011100101110…視察二進制1位數(shù)、2位數(shù)、3位數(shù)對應的十進制的數(shù)，當二進制為6位數(shù)時能表示十進制中最大的數(shù)是()A．29B．63C．45D．32【答案】B【解析】通過閱讀，不難發(fā)覺：1＝1×20，2＝0×20＋1×21，3＝1×20＋1×21，4＝0×20＋0×21＋1×22，5＝1×20＋0×21＋1×22，6＝0×20＋1×21＋1×22，7＝1×20＋1×21＋1×22，寫成二進制為111.于是知二進制為6位數(shù)時能表示的最大的數(shù)是111111，化成十進制為1×20＋1×21＋1×22＋1×23＋1×24＋1×25＝eq\f(26－1,2－1)＝63.7．下列類比錯誤的是()A．三角形的兩邊中點連線得到的中位線平行并且等于第三邊的一半，類似地，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的一半B．三角形兩邊中點連線得到的中位線平行且等于第三邊的一半，類似地，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的eq\f(1,4)C．三角形被平行于一邊的直線所截得的三角形與原三角形相像，面積比等于相像比的平方，類似地，棱錐被平行于底面的平面所截得的多邊形與底面相像，面積比等于相像比的平方D．梯形的中位線等于兩底和的一半，類似地，圓臺的中截面半徑等于上、下兩底半徑和的一半【答案】A【解析】選項A錯誤，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的eq\f(1,4).二、填空題(本大題共3個小題，每小題7分，共21分)8．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長C(r)＝2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)．對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請寫出類似于①的式子：②______________，②式可用語言敘述為：____________________.【答案】(eq\f(4π,3)R3)′＝4πR2球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)9．如圖(1)所示的圖形有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則如圖(2)所示的圖形有體積關(guān)系：eq\f(VP—A′B′C′,VP—ABC)＝________.【答案】eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)【解析】由體積公式V＝eq\f(1,3)Sh及相像比可得．10．在平面幾何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，點A在BC邊上的射影為D，有AB2＝BD·BC”．類比平面幾何定理，探討三棱錐的側(cè)面面積與射影面積、底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“在三棱錐A—BCD中，AD⊥平面ABC，點A在底面BCD上的射影為O，則有________．”【答案】Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD三、解答題(本大題共3個小題，11,12題每小題14分，13題16分，共44分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)11．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間中，并推斷類比的結(jié)論是否成立；(1)假如一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交；(2)假如兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線相互平行．【解析】平面幾何與空間幾何的類比中，點的類比對象是線，線的類比對象是面，面的類比對象是體．(1)的類比結(jié)論為：假如一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交．由空間幾何的學問易得此結(jié)論成立．(2)的類比結(jié)論為：假如兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面相互平行．由空間幾何的學問易得此結(jié)論不成立，假如兩個平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面還可能相交．12．我們已經(jīng)學過了等差數(shù)列，你是否想過有沒有等和數(shù)列呢？(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；(2)探究等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項各有什么特點，并加以說明．(3)在等和數(shù)列{an}中，假如a1＝a，a2＝b，求它的前n項的和Sn.[分析]本題主要考查等差數(shù)列與等和數(shù)列定義的類比，關(guān)鍵是把握兩個定義的相像性和相異性．【解析】(1)假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等和數(shù)列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2.∴an＋2＝an.∴等和數(shù)列的奇數(shù)項相等，偶數(shù)項也相等．(3)當n為奇數(shù)時，令n＝2k－1，k∈N＋，則Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝eq\f(2k－2,2)(a＋b)＋a＝eq\f(n－1,2)(a＋b)＋a＝eq\f(n＋1,2)a＋eq\f(n－1,2)b，當n為偶數(shù)時，令n＝2k，k∈N＋，則Sn＝S2k＝k(a＋b)＝eq\f(n,2)(a＋b)．∴它的前n項的和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)a＋\f(n－1,2)bn為奇數(shù),\f(n,2)a＋bn為偶數(shù))).13．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．[分析]首先利用綜合法證明結(jié)論正確，然后依據(jù)直角三角形與四面體之間形態(tài)的對比猜想結(jié)論，并予以證明．【解析】如圖所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2)又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)類比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想：四面體A－BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF，∵AB⊥AC，AB⊥AD，