2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：軸對稱壓軸訓(xùn)練（構(gòu)造等腰三角形、手拉手模型9類壓軸）解析版

軸對稱壓軸訓(xùn)練

（構(gòu)造等腰三角形、手拉手模型9類壓軸）

01壓軸總結(jié)

目錄

壓軸題型一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形................................................1

壓軸題型二過腰或底作平行線構(gòu)造等腰（邊）三角形................................................7

壓軸題型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形.....................................................15

壓軸題型四等腰三角形中底邊有中點時，連中線................................................21

壓軸題型五等腰三角形中底邊無中點時，作高..................................................26

壓軸題型六巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形........................................32

壓軸題型七共頂點的等邊三角形手拉手模型....................................................40

壓軸題型八共頂點的等腰直角三角形手拉手模型................................................46

壓軸題型九共頂點的一般等腰三角形手拉手模型................................................51

02壓軸題型

壓軸題型一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形

例題：（23-24八年級下?陜西?期中）如圖，在△/3C中，AB=AC,N4BC與N/C8的角平分線交于點

O,過點。作分別交48,NC于點N.

（1）證明：ABOC是等腰三角形；

（2）期與CN相等嗎？對你的結(jié)論說明理由.

【答案】（1）見解析

⑵BM=CN,理由見解析

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義：

(1)根據(jù)等邊對等角得到=再由角平分線的定義可得NO5C=NOCB,進而推出08=0C,

由此即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)等邊對等角和平行線的性質(zhì)推出=得到=據(jù)此可證明瓦l/=CN.

【詳解】(1)證明：???/5=/C,

/ABC=/ACB,

又。與—4C5的角平分線交于點0,

???/ABC=2/0BC,ZACB=2/0CB,

??.ZOBC=AOCB,

OB-0C,

??.EOC是等腰三角形.

(2)解：BM=CN,理由如下：

vAB=AC,

：,/ABC=/ACB,

?:MN〃BC,

AAMN=ZABC,ZANM=ZACB,

??.ZAMN=ZANM,

AM=AN,

??.AB-AM=AC-AN,

^BM=CN

鞏固訓(xùn)練

1.(2024下?湖南株洲?八年級?？计谀?已知在。3C中，//C3的平分線CD交42于點。，DE//BC.

(1)如圖1,求證：ACZJE是等腰三角形;

(2)如圖2,若DE平分NADC交AC于E,ZABC=30°,在3c邊上取點尸使3尸尸，若BC=12,求DE

的長.

【答案】(1)見解析

⑵4

【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握角平分線的定義，平行線的

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義得出/2。=乙4。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙BCD=/EDC,進而得出

ZEDC=ZACD，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出答案；

(2)利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)得出//DE=/CDE=30。，進而得出NOBC=30。+30。=60。，根

據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出。尸=gpC,進而可得出答案.

【詳解】(1)證明：???。是//C3的平分線，

ZBCD=ZACD,

?「DE//BC,

/./BCD=ZEDC,

/./EDC=/ACD,

:.ED=EC,

即△S石是等腰三角形；

(2)解：???DE//BC,AABC=30°,

ZADE=/ABC=30°,

又YDE平分NADC,

ZADE=ZCDE=30°,

由(1)可知，ZACD=ZBCD=ZCDE=30°,

?:BF=DF,

ZB=ZBDF=30°,

.-.ZZ)FC=30o+30o=60o,

在RtZXMC中，ZFDC=90°,ZFCD=30°,

DF=-FC,

2

又?；DF=BF,BC=\2,

DF=-BC=-xU=4.

33

2.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測)課本再現(xiàn)

(1)如圖1,/C4E是△Z8C的外角，AD平分/CAE,AD//BC,則居AC.(填，，“=”或

“<”)

類比遷移

(2)如圖2,在△4BC中，/D是△4BC的一條角平分線，過點。作。E〃N8交/C于點E,求證：

AE=DE.

拓展運用

(3)如圖3,在△Z8C中，AB=AC,。是△Z8C角平分線皿上一點，延長8。至點X,使2O=(W,

過點/作MN〃/3交/C于點N,猜想&W與NC的數(shù)量關(guān)系，并進行證明.

【答案】(1)=；(2)見解析；(3)MN=NC,見解析

【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助

線是解答本題的關(guān)鍵.

(1)由角平分線的定義得ZZM￡=ZZMC,由平行線的性質(zhì)得=,ADAC=AC,等量代換得

NB=NC,進而可證4B=HC；

(2)由角平分線的定義得=由平行線的性質(zhì)得加3=乙。￡,等量代換得

ZDAC=ZADE,進而可證/E=OE；

(3)由角平分線的定義得4048=/CMC,根據(jù)SAS證明△480四ZUC。得ZABO=N4CO,OB=OC,然

后證明2CMN=ZMCN即可得出MN=NC.

【詳解】(1),??40平分NC4E,

:.ZDAE=ZDAC.

■：AD//BC,

：.ADAE=NB,ZDAC=ZC,

:"B=NC,

???AB=AC.

故答案為：=；

(2)???皿平分NB/C,

：.NDAB=/DAC.

-DE//AB,

：?ZDAB=ZADE,

??.ADAC=/ADE,

AE=DE；

(3)連接CM,CO.

A

圖3

???AD平分NBAC,

ADAB=ZDAC.

vAB=AC,AO=AO,

??.△Z30之△/CO(SAS),

??.ZABO=/ACO,OB=OC.

???BO=OM,

：,OM=OC,

??.ZOMC=ZOCM.

-MN//AB,

"ABO=40MN,

：./AC0=40MN,

??.4CMN=4MCN,

:?MN=NC.

3.（23?24八年級上?河北石家莊?階段練習(xí)）（1）如圖1,AE//BC,4E平分ND4C,則ZX/BC的形狀是

三角形；

(2)如圖2,BC平分/ABD,AC//BD,AC=3,則/8=_.

(3)如圖3,有△4BC中，BE是角平分線，DE〃BC交AB于點、D.若DE=7,AD=5,則=_.

(4)如圖4,在△ABC中，/ABC與NNC5的平分線交于點尸，過點尸作。石〃8C,分別交/C于

點。，E.若/2=12,/C=18,2C=24,則△/￡)￡的周長為一

(5)如圖，在△ABC中，BC=5cm,AP,C尸分別是248C和2NC8的平分線，且尸。〃/8,尸￡〃/C則

△PDE的周長是一

D/4AA

BCBDE

圖3

【答案】(1)等腰；(2)3；(3)12；(4)30；(5)5cm

【知識點】角平分線的有關(guān)計算、兩直線平行同位角相等、兩直線平行內(nèi)錯角相等、等腰三角形的性質(zhì)和

判定

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對角對等邊.

(1)平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到乙8=/C,即可得出結(jié)果；

(2)平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得至l]/"C=N4C3,進而得到=即可；

(3)同法(2)可得：BD=DE,利用4B=4D+AD,求解即可；

(4)同法(2)得到FD=BD,CE=EF,推出△/￡)￡的周長等于/8+/C,即可得出結(jié)果；

(5)同法(2)得到PD=BD,PE=CE,推出△尸DE的周長等于BC的長即可.

掌握平行線加角平分線往往存在等腰三角形，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(1)"AE//BC,

NDAE=乙B,NCAE=ZC,

???4E平分/D/C,

ZDAE=NCAE,

ZB=ZC,

.?.△N8C是等腰三角形；

故答案為：等腰；

(2)?:BC平分NABD,AC//BD,

NABC=ZDBC,ZACB=ZDBC,

.-.ZABC=ZACB,

;.AB=AC=3；

故答案為：3；

(3)同法(2)可得：BD=DE=7,

.-.AB=AD+BD=5+1=12-

故答案為：12；

(4)同法(2)可得：FD=BD,CE=EF,

??.△ADE的周長=AD+/￡+DE=AD+/E+Z)P+￡F=AD+NE+8Z)+CE=/B+NC=30；

故答案為：30；

(5)同法(2)可得：PD=BD,PE=CE,

.-.APDE的周長MPA+PE+OEnBO+CE+OEnBCMScm；

故答案為：5cm.

壓軸題型二過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形

例題：(23-24八年級下?浙江金華?開學(xué)考試)已知，在等邊三角形N3C中，點。在上，點尸在C3的延

長線上，且OP=OC.

(1)如圖1,當(dāng)點。為48的中點時，確定線段4?與總的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論；

(2)如圖2,當(dāng)點。為邊上任意一點，確定線段與總的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論，并說明理由;

(3)在等邊三角形N8C中，點。在直線48上，點尸在直線3c上，且。P=OC,若△4BC的邊長為2,

AO=5,求CP的長.

【答案】(1)/。=%

(2)相等，見解析

(3)7或3

【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的

判定和性質(zhì)

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)，三線合一性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，計算說明即可.

(2)過。作。0113c交/C于。，證明△NO。是等邊三角形，以及〃05名AOCQ(AAS)即可證明.

(3)分為點。在射線上或點。在射線切上兩種情況，利用全等、等腰三角形的性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)解：40=PB,理由如下：

?.?△NBC為等邊三角形，點。為的中點，

ZABC=ZACB=60°,CO平分，/C8,AO=BO,

:.ZOCB=-ZACB=30°,

2

OP=OC,

NP=NOCB=30°,

ZABC=ZP+ZPOB,

ZPOB=ZABC-ZP=30°,

ZP=ZPOB,

PB=BO,

AO=PB；

(2)解：相等，即=理由如下：

如圖，過。作。QU8C交/C于。，

?.?△4BC是等邊三角形,

ZABC=ZACB=ZA=60°,AB=AC=BC,

ZAOQ=ZABC=60°,AAQO=ZACB=60°,

即ZAOQ=ZAQO=ZA=60°,

.“N。。是等邊三角形,

/.AO-AQ=OQ,

?「ZABC=ZACB=ZAQO=60°,

ZPBO=ZOQC=120°,ZP+ZBOP=Z.QCO+Z.OCP=60°,

???PO=OC,

:.ZP=ZOCP,

,\ZBOP=ZOCQ,

APBO=ZOQC

在△尸08和△OC0中，＜ZPOB=ZOCQf

PO=OC

/AR1^TX^(AAS),

?.PB=OQ,

:.AO=PB.

(3)解：如圖③，當(dāng)點。在射線48上時，過。作。0118c交4。的延長線于。,

則△/OQ為等邊三角形，NQ產(chǎn)=N?,

AQ=A0=0Q=5,ZQ=60°,

???PO=CO,

:"P=/OCP,

ZCOQ=ZP,

?.?△48C是等邊三角形，

；.BC=AC=2,ZABC=60°,

NPBO=NABC=60°,

/.AQ=ZPBO,

AQ=ZPBO

在△CO0和△OPB中，＜ZCOQ=ZP,

OC=PO

.\zJn^tX^(AAS),

..BP=OQ=5,

.\CP=BP+BC=2+5=7；

如圖，當(dāng)點O在射線A4上時，???氏4=2,4。=5,

OB=7,

???△Z3C是等邊三角形，

Z5=60°,BC=BA=2,

過點O作。。13P,則/3。。=30。,

17

：.BD=-OB=-,

22

73

：.CD=BD-BC=——2=-,

22

又「OC=OP,

：.PC=2CD=3；

綜上所述，尸C長為7或3.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三

角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024上?天津濱海新?八年級?？计谀?已知直線切，”相交于點8,點A,C分別為直線加，”上的

點，AB=BC=1,且N45c=60。，點￡是直線打上的一個動點，點。是直線”上的一個動點，運動過程

(1)如圖1,當(dāng)點E運動到線段43的中點，點。在線段C3的延長線上時，求的長.

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段上運動，點D在線段C3的延長線上時，試確定線段3。與/E的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

【答案】⑴!

(2)BD=AE,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；

(1)證明。3C為等邊三角形，得出乙4c2=/48C=60。，由等邊三角形的性質(zhì)得出

NECB=g/ACB=3Q。,由等腰三角形的性質(zhì)得出/EDB=30。,由三角形的外角性質(zhì)得出ZDEB=ZEDB,

即可得出結(jié)論；

(2)過點￡作E尸〃3c交/C于點/，由平行線的性質(zhì)得出乙4尸￡=乙4。2=60。，證出

NEFC=120。,NAFE=NA,得出斯=E4,ffitB^DEB=AECF,由AAS證明GACEF,得出

BD=EF,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：?.?N/8C=60o,AB=2C,

.?.A/8C為等邊三角形，

.-.ZACB=ZABC=60°,

???點￡是線段的中點，

.-.ZECB=-ZACB=30°,

2

DE=CE,

ZEDB=ZECB=30°,

???ZABC=ZEDB+ZDEB

ZDEB=30°=ZEDB,

:.BD=DE=-AB=--

22

(2)解：BD=AE,理由如下：

過點￡作斯〃BC交/C于點尸，如圖，

NAFE=ZACB=60°,

ZEFC=120°,NAFE=N/,

EF=EA

ZABC=60°,

:.ZEBD=nO0,

/EFC=ZEBD,

CE=DE,

ZEDB=ZECB,

NEDB+ZDEB=NECB+ZECF=60°,

ZDEB=ZECF,

在AEDB和△CEF中,

■:NDEB=ZECF,ZEBD=ZEFC,DE=CE,

“EDB、CEF（AAS）,

:.BD=EF,

???EF=EA,

BD=AE.

2.（23-24八年級下廣東茂名?期中）（綜合與實踐）己知，在等邊三角形中，點￡在M上，點。在CB

的延長線上，且EZ）=EC.

圖1圖2圖3

（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1,當(dāng)點E為奶的中點時，確定線段功與DZ?的大小關(guān)系，請你直接寫

出結(jié)論：AEDB（填或"="）；

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2,當(dāng)點￡為邊上任意一點時，確定線段/￡與。2的大小關(guān)系，請你

直接寫出結(jié)論，AEDB（填“>”、“<”或“="）；理由如下，過點E作E/〃3C,交/C于點尸.（請

你完成以下解答過程）：

（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】如圖3,在等邊三角形23C中，點￡在直線N3上，點。在線段C2的延長線上,

且ED=EC,若ZUBC的邊長為1,AE=2,求CD的長（直接寫出結(jié)果）.

【答案】（1）=

⑵二

（3）3

【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)

【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：

(1)根據(jù)等邊三角形三線合一，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得到/E=8￡=O5即可；

(2)過點E作E尸〃3C,交/C于點尸，易得尸為等邊三角形，證明A/MEZAEFC,即可得證；

(3)作EFC,易得△EEB為等邊三角形，證明△D3E之△<?/?￡,得到BD=CF,進一步求解即可.

【詳解】(1)解：???等邊三角形4BC,

.-.ZA=ZABC=NACB=60°,AB=AC=BC,

???點￡為48的中點

NBCE=-NBCA=30。，BE=AE,

2

???ED=EC,

.-.ZD=ZBCE=30°,

?；NABC=NBDE+/DEB,

."DEB=30°=ZBDE,

*，?AE=BE-DB；

故答案為：-;

(2)AE=DB,理由如下：

過點后作￡尸〃3C,交/。于點尸,

-LABC為等邊三角形，

??.NA=/ABC=ZACB=60。,AB=AC,

???EF//BC,

AAEF=/ABC=60°,ZAFE=ZACB=60°,

???△4?為等邊三角形，

**.AE=EF=AF，

：,BE=CF,

?；ED=EC,

???ZD=/ECD,

???/DEB=60°-/D,ZECF=60°-/ECD,

???/DEB=ZECF,

在ADBE和△石尸C中,

'DE=CE

</DEB=ZECF,

BE=FC

小DBE”八EFC(SAS),

DB=EF,

*'?AE=DB；

故答案為：=;

(3)由題意，點E在線段Z3的延長線上，作EF〃4C,則N耳%=44以=60。,/人陽=44=60\

-ZFBE=ZABC=60°,

???△/咕為等邊三角形，

*'.BE=EF=BF,

同(2)可得LDBE注LCFE,

；.BD=CF,

VAB=T,AE=2,

*'.BE=19

???BE=EF=BF=\,

?；DB=FC=FB+BC=2,

CD=BC+DB=BA+DB=3.

壓軸題型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形

例題：(2023上?河南信陽?八年級統(tǒng)考期中)閱讀材料：截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添

加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一

長邊相等，解答下列問題：如圖1,在“3C中，交3C于點D,4。平分/B/C,且4B=2NC.

(1)為了證明結(jié)論“/2+8O=/C"，小亮在NC上截取/E,使得，E=”，解答了這個問題，請按照小亮的

思路寫證明過程；

(2)如圖2,在四邊形/BCD中，已知NR4Z)=58。，ZD=109°,ZACD=42°,ZACB=S0°,AD=10,

CELABEB=3,求4B的長.

【答案】(1)見解析

⑵16

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖

形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

(1)在/C上截取NE,使得4E=4B,連接。E,根據(jù)角平分線的定義可得=/CMC,再利用SAS證

明當(dāng)/ED,從而可得NB=N4EQ,BD=DE,進而可得44￡D=2NC,然后利用三角形的外角性質(zhì)

可得/4ED=NC+NEDC,從而可得/C=/EDC,進而可得。E=CE,再根據(jù)等量代換可得3。=EC,

最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答；

(2)在4E上截取=連接。，先利用三角形內(nèi)角和定理可得/D/C=29。，從而可得

ZDAC=ZFAC=29°,再利用SAS證明AZMC會AE4C,從而可得ZAFC=ZD=109。，進而可得NCFE=71。，然

后利用三角形內(nèi)角和定理可得4=NC/芯=71。，從而可得C尸=2C,再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得

BF=2BE=6,最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答.

【詳解】(1)解：證明：在/C上截取4E,使得4E=/B,

；AD平分/R4c,

:"BAD=ADAC,

AD=AD,

???△4502△NE7)(SAS),

：?/B=/AED,BD=DE,

???ZB=2ZC,

???ZAED=2/C,

???NAED是ADEC的一個外角，

,,"AED=NC+/EDC,

：,ZC=ZEDC,

??.DE=CE,

??.BD=EC,

??,AE+EC=AC,

：,AB+BD=AC；

(2)在上截取=連接CF,

vZZ)=109°,ZACD=42°,

???ADAC=180。一N。-ZACD=29°,

???/BAD=58。，

ZFAC=ABAD-ZJDAC=29°,

ZDAC=ZFAC=29°f

?:AC=AC,

.-.ADAC^AFAC(SAS),

.-.ZAFC=ZD=109°,

ZCFE=180°-ZAFC=71°,

vZACB=80°,ZFAC=29°,

/.ZB=180°-ZACB-ZFAC=71°,

???/B=/CFE,

:,CF=BC,

-CE1AB,

BF-2BE=6,

AB=AF+BF=10+6=16,

■■AB的長為16.

鞏固訓(xùn)練

1.在RM/8C中，/B/C=90。，點。在邊3c上，AB=AD,點E在線段班上，/BAE=3/EAD.

圖1圖2

(1)如圖1,若點。與點C重合，則0；

(2)如圖2,若點。與點C不重合，試說明/C與NE4D的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(1)的情況下，試判斷班，CD與4C的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由.

【答案】⑴67.5

⑵NC=2NEAD

(3)BE+CD=AC,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到乙0=45。，根據(jù)題意求出NE4D,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計

算，得到答案；

(2)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到乙8=90。-/(1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到

ABAD=2AC,進而證明結(jié)論；

(3)在3。上截取防=￡)￡,連接加，證明4/臺尸三ZUOE,根據(jù)求等三角形的性質(zhì)得到

N切尸=根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/C4F=/CE4,得到/C=W,進而得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：在RtAB/D中，NBAD=90。,AB=AD,

則ZD=45°,

ZBAD=90°,ZBAE=3/EAD,

:.ZEAD=22.5°,

NAEB=ZEAD+ZD=67.5°,

故答案為：67.5；

(2)解：NC=2NEAD,

理由如下：■：ABAC=90°,

ZS=90°-ZC,

???AB=AD,

ZADB=ZB=90°-ZC,

/BAD=180。-2(90。-ZC)=2ZC,

/BAE=3/EAD,

/.ABAD=4NEAD,

/.ZC=2ZEAD；

(3)解：BE+CD=AC9

理由如下：如圖2,在班上截取跳連接好\

A

圖2

則BE=BF+EF=DE+EF=DF,

:.BE+CD=DF+CD=CF,

在△45b和△/￡)￡1中，

AB=AD

</B=ZADE,

BF=DE

,\AABF=^ADE(SAS),

ZBAF=ZDAE=-ZC,

2

ZCAF=90°-NBAF=90°--ZC,

2

???/CE4是AZB9的外角，

ZCFA=ZB+ZBAF=90°-ZC+-ZC=90°--ZC,

22

ZCAF=ZCFA,

：.AC=CF=BE+CD.

【點睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運用全等三角形的判定定理是

解題的關(guān)鍵.

2.(2023上?遼寧大連?八年級大連市第三十四中學(xué)校考期中)已知，在。3c中，點G是43邊上一點，點

￡是8c延長線上一點，GE交/C于點點尸是4D上一點，連接

GF,ZGFC=2NBAC/FGE=2NBEG,AC=GE,GH±BC于點H.

圖1圖2

(1)寫出圖1中與/B/C相等的角，NBAC=；

(2)如圖1,若NGFC=ZFGE,在圖中找出與/G相等的線段并證明;

(3)如圖2,若HC=2,CE=3,求BC的長度.

【答案】(1)//GF

(2)AG=CE,證明見解析

【分析】(1)運用三角形外角性質(zhì)即可求得答案；

(2)利用AAS證明△加CGABEG,可得3C=2G,AB=EB,即可得出答案；

(3)延長FG交C5的延長線于M,過點/作MV〃AC交AB的延長線于N,可證得ANBM0A/3C(AAS),

則沒BH=X,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得=建立方程求解即可得出答案.

【詳解】(1)；NGFC=NBAC+NAGF,NGFC=2NBAC,

ABAC+ZAGF=2ABAC.

ABAC=ZAGF,

故答案為：ZAGF；

(2)AG=CE,理由如下，

vZGFC=2ZBAC,NGFC=NFGE,ZFGE=2ABEG,

ABAC=ZBEG,

在AB/C和ABEG中，

/B=/B

</BAC=/BEG

AC=GE

￡G(AAS),

：.BC=BG,AB=EB.

AB-BG=EB-BC,

即/G=CE；

(3)如圖2,延長尸G交CB的延長線于M,過點M作MN〃力。交43的延長線于N,

/MGN=ZAGF=ABAC,

則/N=/BZC,

:"N=/MGN,

:.MG=MN,

???ZFGE=2/BEG=/BEG+ZGME,

/BEG=ZGME,

:.MG=GE,

AC=GE,

:.MN=AC,

在△NBM和△Z3C中，

ANBM=/ABC

<ZN=ABAC

MN=AC

BM=BC,

設(shè)BH=x,

,:HC=2,CE=3,

：.BM=BC=x+2,EH=5.

:.MH=BM+BH=2x+2,

,:MG=GE,GH1BC,

/.MH=EH.

2x+2=5,

3

解得：x=-

3

2

37

BC=BH+HC=-+1=~,

22

7

故3c的長度為

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角

的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型四等腰三角形中底邊有中點時，連中線

例題：（2023上?浙江寧波?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，NB4c=120。,48=/C,。為8c的中點,

DEJ.AC于E.

⑴求/EOC的度數(shù)；

（2）若ZE=2,求CE的長.

【答案】（1）60。

⑵6

【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識,

（1）連接2。，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可作答；

（2）根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可作答.

【詳解】（1）連接4）,

/.AD1BC,平分/a4C,

ZDAC=-ZBAC=60°,ZADC=90°,

2

-DEIAC^E,

ZAED=ZCED=90°,

??.ZEDC=90°-30°=60°；

(2)-ZAED=90°,ZDAE=60°,

???/ADE=30°,

在RtaNDE中，AE=2,

*'?AD=2AE=4,

在RM/DC中，AD=4,ZC=30°,

:.AC=2AD=S,

]Sl|CE=NC-/E=8-2=6.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023上?遼寧葫蘆島?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在AASC中，48的垂直平分線跖交BC于點￡,交AB

于點尸，。為線段CE的中點，且8￡=ZC.

⑴求證：AD1BC.

（2）若/3/C=90。，DC=2,求8D的長.

【答案】（1）見解析

⑵6

【分析】（1）連接/E,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE=4E,證明ZE=/C,根據(jù)等腰三角形的三線

合一證明結(jié)論；

（2）證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）證明：連接NE,

???EF是AB的垂直平分線，

BE=AE,

'：BE=AC,

AE=AC,

.?.△AEC是等腰三角形，

為線段的中點，

AD1BC；

（2）解：?：BE=AE,

/.AEAB=4B,

/.NAEC=ZEAB+NB=2Z5,

vAE=AC,

:.ZAEC=ZC9

/C=2/B,

???NB4c=90。,

?.ZC=60°,

?.△AEC為等邊三角形，

???DC=ED=2,

AE=EC=BE=2DC=4,

:.BD=BE+ED=4+2=6.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰

三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，已知。3c中，AB=AC,/84C=90。，點。為的中點，

點、E、尸分別在直線48、/C上運動，且始終保持/E=C尸.

(1)如圖①，若點E、尸分別在線段48、AC±,OE與。尸相等且。E與。尸垂直嗎？請說明理由;

(2)如圖②，若點￡、尸分別在線段/反C4的延長線上，(1)中的結(jié)論是否依然成立？說明理由.

【答案】(1)DE=DF且DE工DF,見解析

(2)成立，見解析

【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到/840=/以。=48=/。=45。和40=80=。。，再證明

"ED"ACFD(SAS),利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到/840=/。4。=48=/。=45。和40=80=。。，再證明

“EDmACFD(SAS),利用全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)DE=DF且DE1DF,理由是：

如圖①，連接4D,

■：ABAC=90°,AB=AC,。為BC中點，

ABAD=ADAC=ZB=ZC=45°,

AD=BD-DC,

'AE=CF

在和△(功中，\ZEAD=ADAC

AD=DC

???"EDaCFD(SAS),

:.DE=DF,/ADE=/CDF,

又???/CDF+/ADF=90。,

ZADE+ZADF=90°f

???NEDF=90。，

-DEIDF.

圖①

（2）若點￡、尸分別在線段C/的延長線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接理由如下:

AB=AC,/胡C=90。，點。為3c的中點，

,"BAD=ADAC=/B=/C=45°,

AD=BD=DC,

AE=CF

在△ZE。和△CTO中，\ZEAD=ZDAC

AD=DC

:,八AED/小CFD(SAS)；

：.DE=DF,/ADE=/CDF,

又???/CDF-ZADF=90°,

.-.ZADE-ZADF=90°,

???/EDF=9。。,

?-DEIDF.

圖②

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造

全等三角形.

壓軸題型五等腰三角形中底邊無中點時，作高

例題：（2023上?福建廈門?八年級廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知/4。8=60。，點尸在邊04上，0P=12,

點M、N在邊OB上,PM=PN,若。河=5,求九CV的長.

'A

p

dMNB

【答案】2

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì).作PCLO2交08于C,由等腰三

角形的性質(zhì)可得CM=CN,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出OC=^OP=6,計算出CM即可得到答

案.熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵.

CM=CN,

在AOPC中，/PCO=90°,ZPOC=30°,OP=12,

OC=-OP=6,

2

???(W=5,

CM=OC-OM=6-5=1,

CN=CM=\,

:.MN=CM+CN=\+\=2.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023上?河南省直轄縣級單位?八年級校聯(lián)考期末）在力BC中，點是邊上的兩點.

A

AA

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若4B=/C,AD=AE.求證：BD=CE；

(2)如圖2,若/胡C=90°,BA=BD,設(shè)/3=x°,^CAD=.

①猜想》與》的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②在①的條件下，CA=CE,請直接寫出NONE的度數(shù).

【答案】(1)見解析

⑵①x=2y；②45。

【分析】(1)過/作“尸［8。于凡根據(jù)三線合一得到=DF=EF,利用線段的和差可得結(jié)果；

(2)①根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出/840=/氏0/=90。-；廿，再根據(jù)ZB/。+NC4。=90。，整

理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出NC4E=NCE/=90O-gNC,再根據(jù)

ZDAE=ZBAD+ZCAE-90°,代入化簡可得結(jié)果.

【詳解】(1)解：如圖，過N作《尸」3c于R

AB=AC,AD=AE,

BF=CF,DF=EF,

：.BF-DF=CF-EF,§PBD=CE-

圖1

(2)①猜想：x=2y,理由是:

■：BA=BD,ZB=x°,

ZBAD=ABDA=g(180。-ZB)=90。-；x。

■：ABAC=90°,ZCAD=y°,

ABAD+ACAD=90°,即90°一=90°,

整理得：x=2y-

②???CA=CE,

ACAE=NCEA=1(1800-ZC)=90°-1zC,

ABAD=ABDA=1(180°-ZS)=90°-1zS,

ZDAE=ABAD+NCAE-90°

=90°--ZB+900--ZC-90°

22

=90°-g(/3+/C)

=90°-1(180°-Z5^C)

=90°-1(180°-90°)

=45°.

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計算，解題的關(guān)

鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系.

2.（2023上?河南商丘?八年級?？茧A段練習(xí)）在&ABC中，”=4C,過點C作射線,使ZACB'=ZACB

（點9與點2在直線/C的異側(cè)）點。是射線CB'上一動點（不與點C重合），點E在線段3C上，且

ZDAE+ZACD=90°.

圖1圖2

（1）如圖1,當(dāng)點￡與點C重合時，4D與C8'的位置關(guān)系是_,若BC=a,則CO的長為二（用含°的式子

表示）

⑵如圖2,當(dāng)點E與點C不重合時，連接OE.

①用等式表示/A4c與ND4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線段BE,CD,OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）互相垂直；

（2）①NBAC=2ND4E,證明見解析；②BE=CD+DE,證明見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得40與C8'的位置關(guān)系是互相垂直，過點/作于點根

據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到利用AAS證明根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可

22

得出CD=CM=ga；

（2）當(dāng)點E與點C不重合時，①過點/作于點M、ANLCB'于點N,利用AAS證明

“ACD%ACM,根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到NBAC=2ZDAE；

②在3c上截取2尸=8,連接相，利用SAS證明A4B/絲ZUCZ）,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到/尸=ND,

ZBAF=ZCAD,根據(jù)角的和差得到=再利用SAS證明△9石,根據(jù)全等三角形性

質(zhì)及線段和差即可得到BE=CD+DE.

【詳解】（1）解：當(dāng)點E與點。重合時，NDAE=ZDAC，

???ZDAE+ZACD=90°,

ZDAC+ZACD=90°,

???/ZQC=90。，

AD_LCB',

即AD與CBr的位置關(guān)系是互相垂直，

若BC=a,過點4作于點如圖：

???AB=AC,

：,CM=BM=-BC=-a,

22

在△4CZ）與△4CM中，

AADC=ZAMC

<NACD=NACM

AC=AC

,-.AACD^AACM(AAS),

:.CD=CM=—a,

2

即CO的長為

2

故答案為：互相垂直；\a-

2

(2)解：①當(dāng)點E與點C不重合時，用等式表示NB4C與2D4E之間的數(shù)量關(guān)系是：ZBAC=2ZDAE,

證明如下：

過點/作NATEC于點〃、AN1CB'千&N,如圖：

ZCAN+ZACB'=90°,

VZDAE+ZACD=90°,

即ND4E+ZACB'=90。,

/DAE=ZCAN,

vAB=AC,AMLBC,

ABAC=2ZCAM=2ZBAM,

在△ZCN與△4CM中，

ZNC=ZAMC

</ACN=/ACM,

AC=AC

AACN^AACM(AAS),

??.ZCAN=ZCAM,

ABAC=2ZCAM=2ZCAN=2ZDAE；

②用等式表示線段正，CD,之間的量關(guān)系是：BE=CD+DE,證明如下:

在5C上截取5b=8,連接相，如圖：

A

C

???AB=AC,

??.ZB=ZACB,

???ZACBr=ZACB,

??.ZB=/ACB'=/ACD,

在Aasb和△/CQ中，

AB=AC

<AB=NCD,

BF=CD

“ABF知ACD（SAS）,

??.AF=AD,ZBAF=ACAD,

??.ZBAF+ZCAE=/CAD+NCAE=/DAE,

由①知：/BAC=2/DAE,

^ZDAE=-BAC,

2

??.ZBAF+ZCAE=-ABAC,

2

??.ZFAE=ABAC-[ABAF+ZG4E）=|ABAC,

???ZFAE=/DAE,

在&FAE和ADAE中，

AF=AD

</FAE=/DAE,

AE=AE

???△融強△/）阻SAS）,

???FE=DE,

BE=FE+BF=CD+DE.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、

垂直定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)

鍵.

壓軸題型六巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形

例題：(2022春?上海普陀?八年級校考期中)如圖，在中，AD平分/BAC,E是5c的中點，過點E

作尸GL4D交4D的延長線于交AB于F,交/C的延長線于G.

求證：

⑴4F=/G；

(2)BF=CG.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)ASA證明即可得出AF=/G；

(2)過點C作。/〃23交尸G于點由咨A/HG可得//F"=/G,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZCMG=ZAFH,可得/CMG=/G,進而得出CM=CG,再根據(jù)據(jù)ASA證明好也ACEN,得出

BF=CM,等量代換即可得到BF=CG.

【詳解】(1)證明：:4刀平分/A4C,

:"FAH=ZGAH,

???FGVAH,

：.AAHF=ZAHG=90°,

NFAH=ZGAH

在△4HF和AZ//G中，lAH^AH

ZAHF=ZAHG

A4HFAHG(ASA),

；.AF=AG；

(2)證明：過點C作。0〃48交尸G于點M,

“AHF知AHG,

,,"AFH=4G,

-CM//AB,

.?"CMG=/AFH,

.?"CMG=/G,

:.CM=CG,

??上是5C的中點，

??.BE=CE,

-CM//AB,

???/B=/ECM,

ZB=ZECM

在石尸和△CEM中，=

/BEF=/CEM

??.AS￡F^ACW（ASA）,

BF=CM,

：.BF