2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中必刷題（壓軸6類考點(diǎn)專練）（解析版）

高二上學(xué)期期中必刷題精選（壓軸6類考點(diǎn)專練）

間向量夾角、距離中的參數(shù)及最值問題

一、單選題

1.（24-25高三上?云南玉溪?階段練習(xí)）在下圖所示直四棱柱4BCD-481GA中，底面488為菱形,

2,動(dòng)點(diǎn)尸在體對(duì)角線5。上，則頂點(diǎn)5到平面/PC距離的最大值為（

1V2「V3

A.-RL?----D.V2

222

【答案】A

【分析】連接/C交班＞于點(diǎn)0,由題意得NC上8。，接著建立空間直角坐標(biāo)系求出向量方和平面NPC的

AB-n\

法向量?即可根據(jù)向量法的點(diǎn)到平面距離公式d=―求解.

同

【詳解】連接4c交3D于點(diǎn)O,

由題意，得4C/BD,OB-OD——AB=—,

OA=OC=y/AB2-OB2=

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則d。,一'、

,0|,5|p0,0］，C0,

\一77

所以就=（0,后0）,羽=|—,0，西=（一1,0,2）,設(shè)麗=2西（0V2V1）,

7

,0+A（-l,0,2）=-2+1，4,21,

^X^AP=AB+BP=AB+ABDl=

\272）

G

nrAC

設(shè)平面/PC的一個(gè)法向量為力=（x,y,z）,貝小----9

iiLAP

n-AC=^y=0y=0

、一;卜,取x=42,

所以x+^y+2Azn

n-2P=I-2+10

z——22~

則為=(440,24-1),

設(shè)頂點(diǎn)B到平面APC距離為d,

22

，20力-42+1

當(dāng)4=0時(shí)d=0,

當(dāng)0<4?l時(shí),

所以當(dāng)!=2即4=1時(shí)點(diǎn)3到平面APC距離最大為4==i

故選：A.

2.（24-25高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）在正方體N8CD-48CQ|中，平面a經(jīng)過點(diǎn)2,D,平面月經(jīng)過點(diǎn)

A,2,當(dāng)平面a,夕分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面a與平面￡的夾角的余弦值為（）

A.—B.—C.-D.-

3323

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為過體對(duì)角線的平面2D。由與平面/3G2夾角的余弦值，利用向量坐標(biāo)法求

平面的法向量，即可求解.

【詳解】如圖：因?yàn)檎襟w中過體對(duì)角線的截面面積最大，

所以題目轉(zhuǎn)化為求平面BDDR與平面ABCR夾角的余弦值,

以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)正方體棱長為1,平面。與平面△的夾角為夕，

因?yàn)開1_平面48cD,NCu平面48cD,所以

且4C7,8。，BDClDD}=D,BD,DD[u平面BDDR,

所以/CL平面也乂）4,同理80，平面N5G。，

所以衣為平面月的一個(gè)法向量，麻為平面/8G2的一個(gè)法向量,

A（1.0,0）,c（o,l,o）,A（1，1，1），

—__西麗11

用C=（T。,-1）,則儂"由鬲=萬道=于

故選：C.

3.（24-25高二上?河北?階段練習(xí)）在正三棱柱/BC-481G中，NB=2,44=日BC=2BO,M為梭Bg

上的動(dòng)點(diǎn)，N為線段4以上的動(dòng)點(diǎn)，且”MN=2MO"，則線段"N長_度的最小值為（）

MOMA

A.2B.V3C.—D."

22

【答案】D

【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)

求最值即可.

【詳解】因?yàn)檎庵?8C-44C中，有芯=2麗，所以。為3C的中點(diǎn)，取中點(diǎn)0,

連接。。，如圖，以。為原點(diǎn)，。。,。4。。為工//軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),A(0,50),4(-1,o,6),G(1,0,5,

因?yàn)镸是棱3c上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（a,0,?且

因?yàn)橥豬=b°,有，-6），且誓=整，

\7MOMA

…MO2a2+3/+3-----廣廠

所以MN=M=K、（5、S=R，于是令"中心函而,

所以:2+3^[76,77],

J/+6ftL」

又函數(shù)y=在[庭,近]上為增函數(shù)，

所以當(dāng)""時(shí)，"[mm=&-/==半，即線段"N長度的最小值為逅.

t7622

故選：D.

4.（24-25高二上?云南大理?階段練習(xí)）在長方體/BCD-48JGR中，AB=AD=2,44=1,。是ZC的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段4G上，若直線。尸與平面4CR所成的角為夕，則Sin。的取值范圍是（）

A.1旦￡

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸（應(yīng)2-見1）,其中04。42,利用空間向量法求出sin。的取值范圍.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、所在直線分別為x、歹、z軸建立如下圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則。(0,0,0)、A(2,0,0)、C(o,2,o)、0(1,1,0),A(0,0,1),

設(shè)點(diǎn)尸(a,其中0<a<2,則礪=

M=(-2,0,1),^C=(-2,2,0),

設(shè)平面ACDt的法向量為五=(x),z),

n-AD,=-2x+z=0(、

則—',取X=l,可得乃=1,1,2,

萬?/C=-2x+2y=0

I—I\n-OP\|a-l+l-a+2|21

所以,sin0=cosn,OP\=--(=4-=—-----.==—T=?.=

剛0PlV6-^2(a-l)2+l娓^2(a-l)2+l

因?yàn)?WaW2,貝!貝!)04(a-lj41,則荷”1)，+1e[l,可

所從亞六丁忤4則仙?！栋傺远z闿.

故選：B.

5.(24-25高二上?重慶?階段練習(xí))長方體/BCD-N5G，，AB=BC=1,BBl=2,動(dòng)點(diǎn)P滿足

麗=2元+〃函(4〃e[0,l]),APLBD,,則二面角尸-AD-2的正切值的取值范圍是()

【答案】B

【分析】先建系，再根據(jù)向量垂直得出彳-1+4〃=0再結(jié)合-4〃?0』，得出〃e0,：,最后應(yīng)

用空間向量法計(jì)算二面角余弦結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出正切范圍即可.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，分別以DC,DD｝所在直線為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

已知A8=3C=1,BBt=2,

則41,0,0),5(1,1,0),烏(1,1,2)W(0,0,2),Z)(0,0,0),C(0,l,0).

因?yàn)?尸=九改7+484(4〃€[0,1]),所以BP=ABC+/JBB1=A(-1,0,0)+//(0,0,2)=(-2,0,2〃),

2?=A8+SP=(0,1,0)+(-2,0,2//)=(-A,1,2,u),=(-1,-1,2)

因?yàn)樗匀f?西=2-l+4〃=0,

因?yàn)樗浴╡0,1,

設(shè)平面ADB的法向量為1=(0,0,1),

設(shè)平面4DP的法向量為0=(%,%,Z2),歷=(1,0,0),AP=(-2,1,2//).

n2?DA=0+y2+2JLIZ2-0

由彳------，即4八，

n2-AP=0〔工2=°

令%2=0,則歹2=24,=-1,

則Z=(0,2〃,-1)為平面ADP的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角尸-為。，由圖可知。為銳角，

所以COS&=|一||一|?

網(wǎng)網(wǎng)

=0x0+0x2//+lx(-l)=-1.

同=1,區(qū)|=府+(_1)2+4〃2=，4〃2+1.

[=[4/

所以儂I211+47

則tana=2〃￡0,—.

則二面角尸-力。-2的正切值的取值范圍是0，；

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用向量關(guān)系得出2T+4M=0結(jié)合即可得出

正切值取值范圍.

二、多選題

6.（24-25高二上?江西南昌?階段練習(xí)）在長方體工88-4片中，4B=BC=2,C3=4,點(diǎn)E在棱

上，且=.點(diǎn)M為線段與。上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)刊為中點(diǎn)時(shí)，平面叫DQ

B.過E點(diǎn)作與直線22垂直的截面夕，則直線3與截面a所成的角的正切值為好

5

C.三棱錐E-8。”的體積是定值

D.點(diǎn)/到直線5G距離的最小值為亞

3

【答案】ABC

【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助直線方向向量與平面法向量計(jì)算得到A；設(shè)平面a與8月、CQ

分別交于點(diǎn)尸（2,2,加）、。（0,2〃），則可通過線面垂直的性質(zhì)，即而西=0,QE-BD^O,從而確定平

面a,再求出其法向量，結(jié)合皿的方向向量與空間向量夾角公式得到B；結(jié)合長方體性質(zhì)及體積公式可得

C；借助空間向量中點(diǎn)到直線的距離公式可得D.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-型，

則有。(0,0,0)、A(2,0,0)、4(2,0,4)、8(2,2,0)、左(2,2,4)、C(0,2,0)、

G（0,2,4）、2（0,0,4）,則￡（2,0,3）,

對(duì)A：當(dāng)點(diǎn)M為8e中點(diǎn)時(shí),則可7=(1,-1,0),

有函=(0,0,4),方函=(2,2,0),

,-m=Az=0

設(shè)平面3BQQ的法向量為記=(x,y,z),B

令x=l,則有y=—l,z=0,即Hi=(1,—1,0),

有不7=浣，故麗://浣，故G”，平面曲QQ,故A正確;

對(duì)B：設(shè)平面a與8片、CQ分別交于點(diǎn)尸(22加)、。(0,2,〃)，

則麗=(0,-2,3-加)、QE=(2,-2,3-n),西=(-2,-2,4),

由題意可得麗?西=0x(-2)+(-2)x(-2)+(3-優(yōu))x4=0,解得旭=4,

班?西=2x(-2)+(-2)x(-2)+(3-")x4=0,解得〃=3,

即而=(0,-2,-1)、QE=(2-2,0),

設(shè)平面a的法向量為il=(a,b,c),則有\(zhòng)—.,

OE-n=2a-2b=0

令a=l,則有6=1,c=-2,即元=（1,1,一2）,

25_-276

又25=（-2,0,0）,則cosAD,n=

⑷.向71+1+4-26

則直線4D與截面a所成的角的余弦值為

直線3與截面a所成的角的正弦值為-噲=修,

OO

工=叵

即直線川與截面a所成的角的正切值為故B正確;

屈5

對(duì)C：由BD//BA，則點(diǎn)M到直線3。的距離為定值，故S-Mm為定值,

又由長方體性質(zhì)可得AAXU平面BBRD,

故點(diǎn)￡到平面B8QO的距離為定值，設(shè)為〃，

故三棱錐E-BDM的體積『=g?SAMBD-h為定值，故C正確；

對(duì)D：苑=（-2,0,4）,設(shè)5^?==（24,2/1,0）,0W4W1,

貝（1m=西+疝瓦=（2422_2,0）,

8分-"+4一弁

故點(diǎn)M到直線8G距離的最小值為g4,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B選項(xiàng)中，可設(shè)平面a與B用、CG分別交于點(diǎn)尸（2,2,加）、。（0,2,〃），則可通過線

面垂直的性質(zhì)，即而的=0,QEBDi=Q,從而確定平面a.

7.（24-25高二上?吉林?階段練習(xí)）在棱長為1的正方體/BCD-4用G2中，P為棱8片上一點(diǎn)，且

B\P=2PB,。為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中正確的是（）

A.若畫平面4叫則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條長為弋的線段

B.存在點(diǎn)。，使得2。，平面4尸。

c.三棱錐尸。的最大體積為三

D.若20=半，且4。與平面4尸。所成的角為夕，則sin。的最大值為嚕

【答案】ACD

【分析】在4G，CG取點(diǎn)E，尸，使得C,E=2B,E,C,F=2CF,證得平面DEFII平面AXPD,進(jìn)而得到D.Q!/

平面4尸D,可判定A正確；以2為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量

m=(3,-2,3).根據(jù)麗=/石，得出矛盾，可判定B不正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算及三角形的面積公

式，求得5/加=叵，在求得點(diǎn)。到平面4勿的最大距離12=去，結(jié)合體積公式，可判定C正確；根

據(jù)題意，求得點(diǎn)點(diǎn)。的軌跡，結(jié)合線面角的公式，求得。(g,l,g)時(shí)，取得最大值，進(jìn)而可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，分別在4G，eq取點(diǎn)凡尸，使得C|E=2B⑸CF=2CF,

可得EF//B。,因?yàn)樗訣尸///Q,

因?yàn)?。U平面4尸。，EF①平面4尸￡),所以收//平面4尸。，

又由。尸〃4尸，且4Pu平面49，O/Z平面4陽，所以。///平面

又因?yàn)镋FcD[F=F,且SEA廠u平面￡>￡尸，所以平面DEF//平面4PD,

且平面DEFn平面BCC'B、=EF,

若20//平面4尸。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為線段既，旦EF;巫,所以A正確;

3

對(duì)于B中，以。為原點(diǎn)，以。4，RG，OQ所在的直線分別為無，％z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

2——.---?

可得4(1,0,0),D(0,0,l),尸(1,1,-),則AQ=(-1,0,1),4尸=(0,1,J),

設(shè)Q(x,1,z)(0<x<l,0<z<l),可得麗=(x,1,z),

m-AXD=-a+c=0

設(shè)而=(a,6,c)是平面4包》的一個(gè)法向量，貝！I_—.2，

m-A1P=b+—c=0

取。=3,可得z=3,b=-2,所以機(jī)=(3,-2,3),

若2。，平面4尸。，則麗〃藍(lán)，所以存在4ER,使得麗=2浣，

3-

則x=z=-2史［°」，所以不存在點(diǎn)。，使得2。，平面4陽，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于c中，由45=(-1,0,1),甜=(0,《)，可得|朝=岡羽=半,麗.不=：,

——2----,—.J?2

所以5山4。，4尸二手

則COS4。,AXP=r--

V26V26

=；物"畝"4尸=3岳—、卷=一,

所以S44Po

要使得三棱錐。-4P。的體積最大，只需點(diǎn)0到平面的距離最大,

—?4。?玩1

由40=(X-1,1,Z),可得點(diǎn)。到平面APD的距離d==，=|3(x+z)_5|,

\m\si22

因?yàn)?4X4l,04Z〈l,所以當(dāng)X+Z=0時(shí)，即點(diǎn)。與點(diǎn)G重合時(shí)，可得右叫=言,

722

所以三棱錐。-4陽的最大體積為人加口=上學(xué)-口=，所以c正確；

31V2236V2218

對(duì)于D中，在正方體中，可得。G，平面BCGA，且GQu平面

所以則GQ=jDg-2C；=1,

所以點(diǎn)。的軌跡是以G為圓心，以孝為半徑的圓弧，其圓心角為

則電=(x,0,z),所以|函卜6+z2=1,BPx2+Z2=1,

又由麗=(x,l,z),設(shè)4。與平面4尸。所成的角0,

JI|3(x+z)_2|

所以sin6=

產(chǎn)的㈤。卜同麗「后.G77?乂邪

因?yàn)椋?/=；,可得(x+zyW2(/+Z2),當(dāng)且僅當(dāng)x=z時(shí)，等號(hào)成立,

所以x+zWl,即x=z=；時(shí)，2。與平面4Po所成的角最大值,

sin。的最大值為奈宗=曙，D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題與存在性問題的策略：

1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、

性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；

3、對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有

解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時(shí)，用已知向量來表示未

知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.

三、填空題

8.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面4BCD,ND48為直角，

ABHCD,AD=CD=2AB,E,尸分別為PC,CD的中點(diǎn)，PA=kAB*>0）,且二面角E-BD-C的平面

角大于30。，則上的取值范圍是.

【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=1,向量法表示出二面角E-3。-C的平面角的余弦值,

結(jié)合題意建立關(guān)于k的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】以A為原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)N8=l,則/（0,0,0）,8（1,0,0）,。（2,2,0）,。（0,2,0）,尸（0,0,左）,《1,1,3,

麗=（-1,2,0）,^=fo,l,|\且平面CDB的一個(gè)法向量為麗=（0,0,1）,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為W=（x,y,z）,

n?BD=-x+2y=0

則_—.1，取歹=1,有x=2,z=-7,可得拓=

n-BE=y+—7kz=0k

2

V3

設(shè)二面角E-BD-C的大小為6,貝1!cos6=|cosm,n\=k

2，

化簡得所以八智'

2V15、

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍

2V15)

故答案為:----,+oo

15J

9.（湖北省問津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）正方體/8CD-4片GA中,

點(diǎn)E是44的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為正方形44出田內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且C尸〃平面￡史￡,若異面直線CF與4A所成角為

9,則cos0的最小值為.

【答案】亞

5

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2,0,0）,求出平面。的一個(gè)法向量為五=。,2,-2）,找

2

到加-〃-1=0,再求出cos。=1_不,分析當(dāng)機(jī)=1或2時(shí)，cos。最小即可解答.

721n-6m+9

【詳解】分別以DA,DC,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A（2,0,0）,F（2,m,n）,0<m<2,0<n<2,

則。（0,0,0）,￡（2,0,1）,C（0,2,0）,G（022）,

故C尸=（2,加一2,〃），DE=（2,0,1）,DC1=（0,2,2）,DA=（2,0,0）.

n-DE=2x+z=0

設(shè)平面DEG的一個(gè)法向量為記=（xyz）,貝!——?,

n-DCx=2y+2z=0

[y=2xz、

解得、,令X=l,則行=1,2,-2,

[2=-2x

因?yàn)?。尸〃平?EG，所以麗?元=2+2（冽一2）-2〃=0,

即加一〃一1二0,所以加=〃+1E[1,2],

設(shè)異面直線CF與4〃所成角為e,

|CF-53|42

貝！]cos91困可—2商+（%一2）2

+〃212m2—6加+9

3_9

由于2m2—6m+9=2（加——）2+—,

所以當(dāng)%=1或2時(shí)，上式有最大值，此時(shí)cose最小為2叵.

5

故答案為：竽

一、單選題

1.（24-25高二上?江西?階段練習(xí)）點(diǎn)（-2,3）關(guān)于直線2x+2y-3=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，對(duì)稱點(diǎn)連線與直線垂直列出方程組得解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)（-2,3）關(guān)于直線2x+2y-3=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（加,〃）,

3-2+m入3+〃3

2x---------+2=0m=—

解得2

則《7

-3

n=-

m+2[2

故選：A

2.（24?25高二上?全國?課后作業(yè)）已知直線4過點(diǎn)4（2,4）,與工軸交于點(diǎn)5（3,0）,直線4與4關(guān)于V軸對(duì)

稱，則直線4的方程為（）

A.4x+y-12=0B.4x-y+12=0

C.4x+5歹-12=0D.4x-5j+12=0

【答案】B

【分析】計(jì)算點(diǎn)43關(guān)于了軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為H,B',再由兩點(diǎn)式計(jì)算直線4的方程即可.

【詳解】由題得點(diǎn)48關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為4（-2,4）,9（-3,0）,

直線人經(jīng)過凡H兩點(diǎn)，

故直線4的方程為用=*3，

即4x-y+12=0.

故選：B.

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知x+y=0,貝1Jx2+/一2x-2夕+2+-2）?+/的最小值為（）

A.75B.2A/2C.V10D.2y/5

【答案】C

【分析】先將7X2+/-2X-2J+2+7（x-2）2+y2變形為7（x-l）2+（^-l）2+7（X-2）2+/,再根據(jù)其幾何

意義數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線x+y=O上動(dòng)點(diǎn)到直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離之和,然后利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)之間

距離最短可求最小值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(xj)為直線x+y=O上的動(dòng)點(diǎn)，

由yjx2+y2-2x-2y+2+^(x-2)2+y2=+(_y-l)2+^(x-2)2+y2,

則其幾何意義為尸(x,y)與(1,1)的距離和尸(x,v)與(2,o)的距離之和，

設(shè)點(diǎn)M(l,l),N(2,0),

則點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

故1PM=\PM'\,且阿％卜J(2+Ip+(0+iy=M,

所以JO-iy+lT?+7(X-2)2+/=\PM\+\PN\=|P"|+|PN|>\MN\=回,

當(dāng)且僅當(dāng)只三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

所以ylx2+y2-2x-2y+2+&-2丫+「的最小值為V10.

故選：C.

4.(24-25高二上?天津?開學(xué)考試)已知點(diǎn)2(-3,6)和3(1,2),在x軸上求一點(diǎn)使|工用+忸陽最小，那

么點(diǎn)”的坐標(biāo)為()

A.(-2,0)B.(1,0)C.(4.4,0)D.(0,0)

【答案】D

【分析】先找到點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)？，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接4B'與％軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

M.

【詳解】對(duì)于點(diǎn)(X,V)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y).已知5(1,2),那么8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)5(1,-2).設(shè)直線AB'

的方程為了=丘+氏

根據(jù)兩點(diǎn)求斜率公式左=及二&,^k=^-==-=-2.

尤2-%1-(-3)4

把B(1,-2)和左=-2代入了=丘+6得-2=-2x1+6,解得b=0.

所以直線的方程為y=-2x.

因?yàn)辄c(diǎn)/在X軸上，令y=0,代入y=-2x得0=_2x,解得X=O.

所以點(diǎn)/的坐標(biāo)為(。,0).

故選：D.

3兀

5.(24-25高二上?云南玉溪?期中)一光線過點(diǎn)(2,4),經(jīng)傾斜角為彳的且過(0,1)的直線/反射后過點(diǎn)(5,0),

則反射后的光線不會(huì)經(jīng)過下列哪個(gè)點(diǎn)()

A.KB.0高C.(得口J4T

【答案】D

【分析】利用點(diǎn)斜式求得直線/,再利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得點(diǎn)/(2,4)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)H(私〃)，進(jìn)而

利用兩點(diǎn)式求得反射光線的方程，再逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】傾斜角為亍的且過(0,1)的直線/的方程為y-l=tan亍=-0),即y=-x+1,

4+〃加+2,

=---------+1

2

設(shè)點(diǎn)4(2,4)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4(見〃)，則

?(-1)=-1

、m-2

m+n=-4m=-3,

即’,解得〃」即“(T-D，

m-n=-2

濘二引，即/':y=：(x-5),

)一(7Jo

對(duì)于C：%=3時(shí)，,=：（3-5）=-!，故C正確;

o4

對(duì)于D：%=4時(shí)，歹=：（4-5）=-：，故D錯(cuò)誤.

OO

故選：D.

6.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若點(diǎn)/在直線/：y=r-l上，則點(diǎn)/到點(diǎn)/（2,1）,8（3,4）的距離之和的

最小值為（）

A.472B.V74C.475D.277

【答案】B

【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線/對(duì)稱的點(diǎn)為H（-2,-3）,貝|]（|九回+|"動(dòng)疝"=忸/[,由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，可

得答案.

【詳解】由已知，設(shè)人關(guān)于直線^=-》-1的對(duì)稱點(diǎn)為4（。力）,

1-b

2-

，即4(-2,-3),

1+b2+Q

I22

22

所以(|M4|+|W|)mm=\BA'\=7(-2-3)+(-3-4)=774.

故選：B.

7.（24-25高二上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）直線4：x+（加+l）y-2加-2=0與直線/2：（僅+1口一了一2加一2=0相交

于點(diǎn)尸，對(duì)任意實(shí)數(shù)%,直線44分別恒過定點(diǎn)42,則1戶山+1尸3|的最大值為（）

A.2B.2拒C.472D.4

【答案】D

【分析】求得出0,2）、8（2,0）,再根據(jù)兩直線的位置關(guān)系的判斷可得乙，/即有尸工,尸以從而得

PA1網(wǎng),再結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解]解：因?yàn)?：x+（7〃+l）y-27〃-2=0,gpx+y-2+m（y-2）=0,

（x+y—2=0fx=0一

由:c，解得、，所以直線4過定點(diǎn)”（0,2）；

〔＞-2=0[y=2

同理可得直線4過定點(diǎn)2（2,0）;

又因?yàn)?x5+1）+（-1）x（加+1）=0,所以…,

即有所以|四『+|「|2=|/切2=8,

所以|尸41+1PB區(qū)72(l^|2+lp5|2)=4'

當(dāng)且僅當(dāng)|P41=I尸即=2時(shí)，取等號(hào).

所以|尸山+|尸8|的最大值為4.

故選：D.

8.(24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí))已知P,。是直線/：x-y+l=O上兩動(dòng)點(diǎn)，且|尸0|=也，點(diǎn)

2(-4,6),8(0,6),則|"|+|尸0|+|。3|的最小值為()

A.10+V2B.10-V2C.1072D.12

【答案】A

【分析】依題意，設(shè)點(diǎn)P(x,x+1),推得點(diǎn)。(x+l,x+2),利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算|/尸|+|尸。|+|。|,利

用距離公式表示的幾何意義將其轉(zhuǎn)化成兩定點(diǎn)與一條定直線上的點(diǎn)的距離之和最小問題解決.

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)尸。戶+1)在點(diǎn)。的左邊，因直線，：x-y+l=0的傾斜角為45。，

且|「。|=上，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x+l,x+2),

則|/尸|+|PQ|+1|=0+7(X+4)2+(X-5)2+7(^+1)2+(^-4)2,

記d=7(X+4)2+(X-5)2+7(X+1)2+(X-4)2,

則可將"理解為點(diǎn)M(x,x)到。(-4,5),。(-1,4)的距離之和，

即點(diǎn)。(-4,5),C(-1,4)到直線了=x的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.

如圖，作出點(diǎn)C(-1,4)關(guān)于直線V=x的對(duì)稱點(diǎn)C，則C(4,-1),

連接。C',交直線歹=x于點(diǎn)N,則|CN|+|ON|即d的最小值,

且|CN|+=|叫+QMTDC'\=^(4+4)2+(-1-5)2=10,

故|/尸|+|尸。|+|3|的最小值為10+后.

故選：A.

線與圓的位置關(guān)系中的參數(shù)及最值問題

一、單選題

1.（24-25高二上?重慶?階段練習(xí)）已知點(diǎn)A、8在圓O:Y+y2=i6上，且4g的中點(diǎn)/在圓C：（X_2）2+J?=I

上，則弦長|/目的最小值為（）

A.26B.2幣C.472D.2vH

【答案】B

【分析】由弦長公式可得|“修=2加西所，由此可通過求|<W|的最大值，確定弦長X同的最小值.

【詳解】圓。:丁+產(chǎn)=16的圓心為0（0,0）,半徑為R=4,

因?yàn)辄c(diǎn)A、8在圓O:x2+j?=16上，45的中點(diǎn)為

所以以a=2）。4|2ToM2,其中0留=4,

即\AB\=2/6ToM『,

因?yàn)閳A。：0-2）2+/=1的圓心為。（2,0）,半徑廠=1,點(diǎn)M在圓C上，

所以|OC|-1410MsOC|+1,故1,。叫43,

所以當(dāng)|（W|=3時(shí)，|AB|取最小值，最小值為2J16-9=25,

2.（24-25高二上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）若經(jīng)過點(diǎn)。,2）且半徑大于1的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，若該圓上至少

有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線x_y+c=0的距離等于1_,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】先由圓與兩坐標(biāo)軸相切和過點(diǎn)(1,2)求出圓的方程，再由圓的對(duì)稱性得到圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)

到直線x-y+c=O的距離等于|可轉(zhuǎn)化為圓心到直線x-y+c=O的距離d<^,利用點(diǎn)到直線的距離公式

列不等式求解即可.

【詳解】由題意，可設(shè)圓心為(。,。)，則半徑為心故。>1,

則圓的方程為(x-a)?+(y-心=",又圓經(jīng)過點(diǎn)(1,2),

所以有(1”)2+(2-力=力,化簡得:。=1(舍)或5,

所以圓的方程為(x-5『+(y_5)2=25,

因?yàn)樵搱A上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線x-j+c=O的距離等于|,

所以圓心到直線x-V+c=。的距離

|5-5+c|72,,5初組F5阪

即Bn丁杉=三45,解得：ce[-亍，〒卜

故選：C.

3.(24-25高二上?山東荷澤?階段練習(xí))已知直線4:wx-y-3w+l=0(加eR)與直線乙:x+my-3m-1=0(meR)相

交于點(diǎn)尸，則尸到直線x+y=O的距離d的取值范圍是()

A.[72,372]B.[V3,2A/3)

C.[V3,3A/3)D.[72,372)

【答案】D

【分析】求出兩直線所過定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值，即可求得

答案；

【詳解】直線4：機(jī)(X-3)一隅-1)=0(meR)恒過(3,1),直線。：(尤T)+機(jī)3-3)=0(機(jī)eR)恒過(1,3),

由加xl+(T)x優(yōu)=0,得直線乙和4互相垂直，因此兩條直線的交點(diǎn)P在以(1,3),(3,1)為端點(diǎn)的直徑的圓上，

則P的軌跡方程為(x-2)2+(y-2)2=2,(去掉(3,3)),其圓心M(2,2),半徑廠=8,

y)

由于MO垂直于直線x+y=O,則M到該直線的距離為|用。|,而|"。|=2后,

因此|MO|-rWdWMO|+r,即而當(dāng)1=3啦時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),不符合題意,

所以d的取值范圍是[拒,30).

故選：D

4.(24-25高二上?四川自貢?階段練習(xí)).已知點(diǎn)尸(x,y)為直線/：2x+y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，過尸點(diǎn)作圓

UY+b_1)2=1的切線刃，PB,切點(diǎn)為貝限尸48周長的最小值為()

A.4+孚B.5+石C.4+V5D.4+26

【答案】A

【分析】先求出圓心到直線的距離，確定動(dòng)點(diǎn)尸到圓心C的最短距離，從而得出切線長尸4依，進(jìn)而求出

△PAB的周長表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最小值.

【詳解】設(shè)圓心C(0,1)到直線2》+>+4=0的動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)的距離為PC,

|0+1+4|

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,

歸牛V22+l2

因?yàn)槭?,依是圓C的切線，所以忸/|=忸同=爐;[(其中t=|PC|wV5).

又因?yàn)锳R4c是直角三角形，由勾股定理可得|刃2=|尸。2|-1,即|尸/|=爐片.

“PAB的周長為|尸/|+\PB\+\AB\.

因?yàn)椤?是圓C的弦，且△尸/C和△P3C全等，所以乙4cp=NBCP.

根據(jù)三角形面積公式，邑口,=3尸4卜〃=3尸。卜弓(其中「是圓的半徑),

可得四=正巨，所以

2t11t

貝！1^PAB的周長2#^1+2小J1=2A/?^1+2>75).

因?yàn)槭?7^1與尸2-/均在[技+8）上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí)，AP/3周長取得最小值.最小值為2在+￥=4+生后.

V55

故選：A.

5.（24-25高二上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2（1,0）,兩條直線：加尤-》+1=0

和（：x+叼-l=0（meR）的交點(diǎn)為p,則|叫+忸尸|的最大值為（）

A.三B.V2C.1D.2

【答案】D

【分析】由直線所過定點(diǎn)和兩直線垂直得到點(diǎn)尸的軌跡，再設(shè)48尸=。，結(jié)合輔助角公式求出即可;

【詳解】

由題意可得直線小必->+1=0恒過定點(diǎn)/（0,1）,4：x+叼-1=0恒過定點(diǎn)8（1,0）,

且兩直線的斜率之積為-1,所以兩直線相互垂直，

所以點(diǎn)P在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

\AB\=41,設(shè)“BP=9,

則\AP\=V2COS6>,|5/>|=V2sin^,

所以|/尸|+忸升=V^cos6+后sing=2sin]e+：j,

所以當(dāng)。=；時(shí)，即加=0時(shí)，|/刊+忸尸|取得最大值2,此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為。,1）.

故選：D.

6.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知圓C:（x-1）2+/=1,直線/:>=左（》+1）,若直線與x軸交于點(diǎn)

A,過直線/上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T,aPA=&PT,則上的取值范圍是（）.

A.B.

3'3353

【答案】A

【分析】先求出P的軌跡方程，再根據(jù)直線/與圓（尤-3）?+/=10有交點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解.

設(shè)P（/，%）,根據(jù)直線/：了=左。+1）解析式，直線/與x軸交點(diǎn)/（-1,0）,

因?yàn)镃:（x-l）2+j?=i,圓心C（1,O）,半徑r=l；

根據(jù)題意戶刀=而。=［舊一丁+7―］=&-2%+,,

四=J（xo+iy+*,又因?yàn)槭?=血尸7，

則有：V2-2、0+/=［伉+1）+琢,

化簡整理得，x；-6x°+y：-l=0,故尸的軌跡為（X-3）2+/=IO,

是圓心為（3,0）,半徑為&6的圓；

因?yàn)榇嬖赑A=41PT，則直線/與圓（x-3）2+/=10有交點(diǎn)，

則圓心（3,0）到直線/:6-y+左=0的距離小于等于半徑回,

|34一0+自/—%（3+1）|l,5

所以?2布,即?\_^4?整理得：

收+i