2023年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：四邊形壓軸綜合問題【解析版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）

專題33四邊形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實(shí)踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,

在正方形中，E是2C的中點(diǎn)，AE1EP,E尸與正方形的外角ADCG的平分線交于尸點(diǎn).試猜想/￡

與￡尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

（1）【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取的中點(diǎn)尸，連接M可以解決這個問題.請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老

師提出的問題.

（2）【實(shí)踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形/BCD

中，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)￡,3不重合），△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接CP,可以求出

ADCP的大小，請你思考并解答這個問題.

（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3,在正方形

48C3中，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E,8不重合），△AEP是等腰直角三角形，2力“=90。，連接。P知

道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當(dāng)AB=4時，請你求出AADP周長的最小值.

【答案】(1)答案見解析

(2)45°,理由見解析

(3)4+4西，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)取的中點(diǎn)尸，連接防，利用同角的余角相等說明NP￡C=NA4E,再根據(jù)/SN證明AN在四△ECP,

得AE=EP；

(2)在A8上取/尸=EC,連接EF,由(1)同理可得NCEP=NE4E,則(&4S),再說明

△3所是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GJ_CP,交2c的延長線于G,交CP于0,連接NG,則△OCG是等腰直角三角形，可知點(diǎn)。

與G關(guān)于CP對稱，則/P+DP的最小值為ZG的長，利用勾股定理求出/G,進(jìn)而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取N8的中點(diǎn)凡連接E凡

：尸、￡分別為48、8c的中點(diǎn),

；.AF=BF=BE=CE,

:./BFE=45°,

：.NAFE=135。,

平分/DCG,

ZDCP=45°,

：.ZECP=135°,

NAFE=NECP,

,:AELPE,

：./AEP=90°,

???ZAEB+ZPEC=90°,

NAEB+NBAE=90。,

：./PEC=/BAE,

:?△AFEmAECP(ASA),

：.AE=EP；

⑵

解：在48上取4F=EC,連接

AD

圖2

由(1)同理可得NC￡P(guān)=NE4E,

?：AF=EC,AE=EP,

：./\FAE^/\CEP(SAS),

NECP=/AFE,

?：AF=EC,AB=BC,

:?BF=BE,

：.ZBEF=ZBFE=45°f

：.NAFE=135。,

：.NEC尸=135。，

???ZDCP=45°；

⑶

解：作。G，C尸，交5c的延長線于G,交CP于O,連接ZG,

AD

由（2）知，NDC尸=45°,

...NCDG=45。，

.?.△DCG是等腰直角三角形，

二點(diǎn)。與G關(guān)于CP對稱，

：.AP+DP的最小值為NG的長，

"：AB=4,

：.BG=S,

由勾股定理得NG=4花，

周長的最小值為/D+/G=4+4V5.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，ZBAD=12Q°,AB=6,連接AD.

⑴求3。的長；

⑵點(diǎn)E為線段3D上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)2,。重合），點(diǎn)尸在邊/。上，且BE=aDF,

①當(dāng)C￡_L/8時，求四邊形/8E尸的面積；

②當(dāng)四邊形/8￡尸的面積取得最小值時，CE+百CF的值是否也最??？如果是，求CE+gCF的最小值；如

果不是，請說明理由.

【答案】（1）BD=6V3;

⑵①四邊形/AEE的面積為7遮；②最小值為12

【解析】

【分析】

（1）證明△/BC是等邊三角形，可得3。=3百，即可求解；

(2)過點(diǎn)E作/。的垂線，分別交和8c于點(diǎn)N,根據(jù)菱形的面積可求出MN=3V5,設(shè).BE=X,則

EN=^x,從而得到W=M7V-EN=3g-齊，再由3￡=何卯，可得〃戶］乂，從而得到四邊形的面積

5=SAABD-SJDEF=青％-3V3)2+等，①當(dāng)CE±AB時，可得點(diǎn)E是△/5C重心，從而霞

BE=CE^BO^X3V3=2V3,即可求解；②作于〃，可得當(dāng)點(diǎn)￡和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)〃位置

時，。尸和CE分別達(dá)到最小值；再由s=^|(x-3百＞+罕，可得當(dāng)x=3B，即2E=3g時，s達(dá)到最

小值，從而得到此時點(diǎn)E恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)8位置，即可求解.

(1)

解：連接/C,設(shè)NC與3。的交點(diǎn)為。，如圖，

?.?四邊形/BCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,4c平分ND4B,

'：ZBAD=12O°,

：.ZCAB=60°,

：.AABC是等邊三角形，

/.BO=AB-sin60°=6x理=3舊，

2

/.BD=2BO=6W；

(2)

解：如圖，過點(diǎn)E作4。的垂線，分別交4。和5C于點(diǎn)〃，N,

,:AABC是等邊三角形，

：.AC=AB=6,

由(1)得：5D=6V3;

菱形/5CZ)中，對角線8。平分N/5C,AB//CD,BC=AB=6,

:.MN1BC,

ZBAD=120°f

：.ZABC=60°,

：./EBN=30。；

i

：.EN=-BE

2

??1菱形成6="580=M川8。，

:?MN=3y[^>,

-1

設(shè)3E=x,貝1JEN亨，

:.EM=MN-EN=3也-1x,

,:S菱形ABCD=AD“MN=6X3百=18怎

：.SAABD=手菱形ABCD=9^,

■:BEMDF,

FA廠

.,?DF=B-E=——V3x,

Vr33

2

SADEF^-DF-EM^--—X(3^--X\=--X+-x,

223k2J122

記四邊形/8M的面積為s,

22

5=SAABD-SADEF=9V3-(-y|%+|x)-y|(x-3V3)+^

?.?點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，：.Q<BE<BD,即0<x<6百;

①當(dāng)時，

\'OB±AC,

二點(diǎn)E是△NBC重心，

：.BE=CE^BO=^x3V3=2后

此時s=1(2A/3-3V3)2+竽=7取,

：.當(dāng)CELAB時，四邊形ABEF的面積為7遍;

②作C〃_L/D于"，如圖，

\'COLBD,CHLAD,而點(diǎn)￡和尸分別在和/。上，

，當(dāng)點(diǎn)E和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)X位置時，CF和CE分別達(dá)到最小值;

在菱形48CD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12Q°,

：.ZADC=60°,

.?.△4C。是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

C77=3V3,

-=1。-3⑹2+竿,

/.當(dāng)％=3V31即2E=3百時，s達(dá)到最小值，

■:BEYDF,

：.DF=3,

此時點(diǎn)￡恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)“位置，

...當(dāng)四邊形面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達(dá)到最小值,

：.CE+^CF的值達(dá)到最小，

其最小值為CO+V3CH=3+V3x3V3=12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形

等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角

形等知識是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?上海?中考真題)平行四邊形4BCD,若P為BC中點(diǎn)，4P交BD于點(diǎn)E,連接CE.

AA-------------------------77。

⑴若力E=CE,

①證明A8CD為菱形；

②若力B=5,AE=3,求BD的長.

(2)以力為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F,且CE=應(yīng)力￡若尸在直線CE

上，求霹的值.

DC

【答案】⑴①見解析；②6或

(2中

【解析】

【分析】

(1)①連接NC交3。于O,證△NO￡gACO￡(SSS),得NAOE=NCOE,從而得/COE=90。，貝

即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；

②先證點(diǎn)￡是A/BC的重心，由重心性質(zhì)得8￡=2?！?然后設(shè)OE=x,貝ljAE=2x,在必A/OE中，由勾股定

理，得042=/2一0始=32穴2=9-/,在RM4OB中,由勾股定理，得。42=/爐-0/=52-(3勸2=25&2,從而得

9-1=25-9x2,解得：尸魚,即可得08=3產(chǎn)3VL再由平行四邊形性質(zhì)即可得出2。長；

(2)由。/與。2相交于E、F,得即，點(diǎn)E是A/BC的重心，又尸在直線CE上，則CG是A/BC的中

線，貝IJNG=2G=〃8,根據(jù)重心性質(zhì)得GE==CE=?E,CG=CE+GE^AE,在必A/GE中，由勾股定理，

2222

得AG2=AE2-GEE=AE2-已煙三花,則AG=^AE,^以AB=2AG=^AE,在RtLBGC中，由勾股定理，得

2z2

BC^BG^C^^-AE^（嗎￡）2=5AE2,貝U5。=店4￡,代入即可求得券的值.

22oC

⑴

①證明：如圖，連接4C交AD于。,

?.?平行四邊形力BCD,

：.OA=OC,

;AE=CE,OE=OE,

△/OEtACOE(SSS),

ZAOE=ZCOE,

ZAOE+ZCOE=ISO°,

：.ZCOE=90°,

J.ACLBD,

:平行四邊形力BCD,

...四邊形ABC。是菱形；

@'：OA=OC,

二。8是ANBC的中線，

：P為BC中點(diǎn)，

是A/BC的中線，

二點(diǎn)￡是A/BC的重心，

：.BE=2OE,

設(shè)。E=x,則3E=2x,

在尺也/OE中，由勾股定理，得。/2=/￡2_0￡2=32--=9-優(yōu)

在必4/。？中，由勾股定理，得。卻=/"-0爐=52-(3X)2=25-9N,

，9-/=25-9N,

解得：x=V2,

(9S=3x=3V2，

:平行四邊形力BCD,

:.BD=2OB=6五;

⑵

解：如圖，

與08相交于￡、F,

：.AB±EF,

由(1)②知點(diǎn)￡是zUBC的重心,

又尸在直線CE上，

CG是A/BC的中線，

：.AG=BG=^AB,GE^CE,

'：CE=^AE,

：.GE=^-AE,CG=CE+GE=^AE,

22

在必A/GE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(^-AE)2^AE2,

:.AG也AE,

2

：.AB=2AG=y/2AE,

在R/ABGC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=^-AE2+C—AE）2=5AE2,

22

：.BC=^AE,

?AB__缶E_V10

**BC-y/5AE~5,

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓

與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目.

4.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué).數(shù)學(xué)實(shí)踐活動有利于我們在圖形運(yùn)動變化的過程中

去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實(shí)踐活動帶給我們的

樂趣.

如圖①，在矩形48CD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊3C、AB、4D的中點(diǎn)，連接斯、DF,77為。尸的中點(diǎn)，

連接G".將繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，線段。RG〃和CE的位置和長度也隨之變化.當(dāng)繞點(diǎn)8順時針

旋轉(zhuǎn)90。時，請解決下列問題：

⑴圖②中，AB=BC,此時點(diǎn)E落在48的延長線上，點(diǎn)尸落在線段2。上，連接/R猜想GH與CE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(2)圖③中，AB=2,BC=3,貝1」項(xiàng)=

⑶當(dāng)AB=m,BC=n時.—=_________.

CE

(4)在(2)的條件下，連接圖③中矩形的對角線NC,并沿對角線/C剪開，得△ASC(如圖④).點(diǎn)〃、N

分別在NC、3c上，連接血W,將△CW沿〃N翻折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)P落在48的延長線上，若平

分NAPN,則CM長為.

【答案】(1)GH=?CE,證明見解析

(4喈

【解析】

【分析】

(1)先證明A/B尸也ACBE,AF=CE,再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=14F,等量代換即可；

(2)連接4F,先證明A4B/SACBE,得到/尸：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GA=|AF,等量代換即

可；

(3)連接4F,先證明AAB尸SACBE,用含“、〃的代數(shù)式表達(dá)出/尸：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得

GH^AF,等量代換即可；

(4)過〃作MHLAB于H,根據(jù)折疊性質(zhì)得NC=/MW,根據(jù)角平分線證明出設(shè)CM=PM=x,

HM=y,根據(jù)三角函數(shù)定義找到x、y之間的關(guān)系，再利用△/8C,得到等=翳，代入解方程即可.

(1)

解：GH/CE,理由如下：

'：AB=BC,四邊形/BCD為矩形，

二四邊形/BCD為正方形，

ZABC=ZCBE=90°,

；E、F為BC,AB中點(diǎn),

:?BE=BF,

：.MBF山CBE,

:?AF=CE,

為DF中點(diǎn),G為中點(diǎn),

1

:?GH=：AF,

：.GH=-CE.

2

⑵

解冷刀:蒼GH.1，

連接/R如圖所示，

由題意知，BF=^AB=\,BE=B注,

.AB_BF_2

??BC一BE-3’

由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，ZABC=ZCBE=90°,

：.AABFs^CBE,

：.AF：CE=2:3,

???G為4。中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn),

：.GH=^AF,

2

?GH_1

??——.

CE3

故答案為：

⑶

解:77=^

CE2n

連接4尸，如圖所示,

由題意知，BF=^AB音,BE=^BC=^,

,AB_BF_m

*°BC-BE一nf

由矩形45CZ)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，/ABC=NCBE=9。。,

：.AABFs^CBE,

?.AFzCE=m：n,

：G為中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)、,

1

：

.GH=2^AF,

.GH_m

*''CE-2n*

故答案為：去

(4)

解：過河作M/_L45于凡如圖所示,

A

由折疊知，CM=PM,ZC=ZMPN,

,:PM平分/APN,

：.ZAPM=ZMPN,

：.ZC=ZAPMf

?:AB=2,BC=3,

:,AC=72+32=vn,

設(shè)CM=PM=x,HM=y,

由sinzC=sin乙4PM知，—=—,

ACPM

即I、=急

■:HM〃BC,

：.^AHM^LABC,

.HM_AM

'*BC~AC

?V13—xc2x

??---1---X3=----9

V13V13

解得：尸爭，

故答案為：等.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判

定、三角函數(shù)定義等知識點(diǎn)，找到相似三角形是解題關(guān)鍵.

5.(2022?吉林長春?中考真題)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的/4紙，如圖①，矩

形4BCD為它的示意圖.他查找了/4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD=岳8.他先將/4紙沿

過點(diǎn)/的直線折疊，使點(diǎn)8落在4D上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,折痕為力F；再沿過點(diǎn)下的直線折疊，使點(diǎn)C

落在EF上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)折痕為FG；然后連結(jié)力G,沿4G所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。與點(diǎn)歹

【問題解決】

(1)小亮對上面△AOG三△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形力BCD是矩形，

."BAD=NB=NC==90°.

由折疊可知，4BAF=^BAD=45°,ABFA=AEFA.

：.^EFA=^BFA=45°.

：-AF=尬AB=AD.

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)NZMG的度數(shù)為度，爺?shù)闹禐椋?/p>

(3)在圖①的條件下，點(diǎn)尸在線段AF上，且4P=g4B,點(diǎn)。在線段4G上，連結(jié)FQ、PQ,如圖②，設(shè)力B=a,

則FQ+PQ的最小值為.(用含a的代數(shù)式表示)

【答案】(1)見解析

(2)22.5°,V2-1.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/。=/凡乙4FG=ND=90。，由皿,可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得==22.5。；證明AGCF是等腰直角三角形，可求出G尸的長，從而

可得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可知點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于/G對稱，連接尸則PD為PQ+尸。的最小值，過點(diǎn)尸作PAL/D,

求出m求出DR,根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論.

4

(1)

證明：四邊形4BCD是矩形，

：.^BAD=NB=NC=4。=90°.

-1

由折疊可知，^BAF=^BAD=45°,ABFA=AEFA.

：./.EFA=4BFA=45°.

.".AF=y/2AB=AD.

由折疊得，4CFG=乙GFH=45°,

：.^AFG=AAFE+乙GFE=450+45°=90°

C.^LAFG=AD=90°

XAD=AF,AG=AG

：.△ADG三AAFG

⑵

由折疊得，ZBAF=^EAF,

5LZBAF+^EAF=90°

ZEAF=-/.BAE=1x90°=45°,

22

由^ADG=△AFG得,ZDAG=/-FAG=^FAD=1x45°=22.5°,

ZAFG=乙ADG=90°,

又/AFB=45°

???NGFC=45°,

???ZFGC=45°,

：.GC=FC.

設(shè)=居則BF=x,AF=42x=AD=BC,

-'-FC=FC-FF=V2x-x=(V2-l)x

GF=V2FC=(2-V2)x

.?.史=(2*=a_1.

AFy[2x

⑶

如圖，連接尸D,

"：DG=FG

：.4G是FD的垂直平分線，即點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于/G軸對稱,

連接PD交AG于點(diǎn)。，則PQ+FQ的最小值為PD的長；

過點(diǎn)P作PR1AD交AD于點(diǎn)R,

"：ZDAF=4BAF=45°

ZAPR=45°.

.XR=PR

又AR?+PR2=AP2=(-)2=-

'-AR=PR=—a,

4

?■DR=AD-AR=V2a--a=-V2a

44

在RtADPR中，DP2=AR2+PR2

--DP=7AR2+PR2=](苧砌2+(學(xué)以='a

.?.PQ+FQ的最小值為日a

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,

正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2022?吉林長春?中考真題)如圖，在口4BCD中，AB=4,4。=BD=舊，點(diǎn)M為邊力B的中點(diǎn)，動

點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿折線AD-DB以每秒舊個單位長度的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動，連結(jié)PM.作點(diǎn)/關(guān)于直線

PM的對稱點(diǎn)4,連結(jié)4P、A,M.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為f秒.

(1)點(diǎn)D到邊力B的距離為；

(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；

(3)連結(jié)AD,當(dāng)線段4。最短時，求△DP4的面積；

(4)當(dāng)M、4、C三點(diǎn)共線時，直接寫出/的值.

【答案】⑴3

(2)當(dāng)0S二1時，DP=V13-V13t;當(dāng)1</2時，PD=gt-g；

/八2―p.20

(45或五

【解析】

【分析】

(1)連接。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再由勾股定理，即可求解；

(2)分兩種情況討論：當(dāng)03W1時，點(diǎn)P在4D邊上；當(dāng)1<江2時，點(diǎn)尸在2。邊上，即可求解；

(3)過點(diǎn)P作于點(diǎn)E,根據(jù)題意可得點(diǎn)/的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)M為圓心，長為半徑的圓，可得

到當(dāng)點(diǎn)。、4、M三點(diǎn)共線時，線段4n最短，此時點(diǎn)尸在上，再證明△尸D￡s△/￡)〃，可得。石=3-

3t,PE=2—2t,從而得到4'E=DE-4'D=2-33在Rt△4'PE中，由勾股定理可得t=g,即可求解；

(4)分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)4位于M、C之間時，此時點(diǎn)尸在4。上；當(dāng)點(diǎn)4(4")位于CM的延長線上

時，此時點(diǎn)尸在3。上，即可求解.

(1)

解：如圖，連接DM,

D

/M0

'：AB=4,AD=BD=g,點(diǎn)M為邊力B的中點(diǎn)，

:.AM=BM=2,DMLAB,

:.DM=VAD2-AM2=3，

即點(diǎn)。到邊AB的距離為3；

故答案為：3

⑵

解：根據(jù)題意得：當(dāng)叱”1時，點(diǎn)P在ND邊上，

DP=V13-V13t;

當(dāng)1＜云2時，點(diǎn)尸在8D邊上，PD=V13t-V13;

綜上所述，當(dāng)0WW1時，DP=V13-V13t;當(dāng)1〈江2時，PD=V13t-V13;

(3)

解：如圖，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)E,

:作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)4,

：.A'M=AM=2,

二點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)加■為圓心，4W長為半徑的圓，

.?.當(dāng)點(diǎn)。、4、”三點(diǎn)共線時，線段4。最短，此時點(diǎn)尸在工。上,

：.A'D=1,

根據(jù)題意得：A'P=AP=V13t,DP=V13-VT3t,

由(1)得:DMLAB,

?；PE1DM,

C.PE//AB,

：.LPDEs^ADM,

.PD_DE_PE

*'AD~DM~AM9

?V13-V13tDEPE

??=———，

V1332

解得：DE=3—3t,PE=2—2t,

：.AE=DE-AD=2-3t,

在Rt"PE中，AP2=PE2+AE2,

(V13t)2=(2-2t)2+(2-3t)2>解得:t=|>

；.PE=：,

?應(yīng)如="力75="1'合/

(4)

解：如圖，

A

當(dāng)點(diǎn)M、4、C三點(diǎn)共線時，且點(diǎn)4位于M、C之間時，此時點(diǎn)尸在/。上，

連接/H,A'B,過點(diǎn)P作于點(diǎn)R過點(diǎn)⑷作4G_L48于點(diǎn)G,則

\'AB為直徑，

.?.4=90°,^AA'A-A'B,

：.PM//A'B,

：.ZPMF=ZABA',

過點(diǎn)C作CN±AB交AB延長線于點(diǎn)N,

在。力BCD中，AB//DC,

"CDMLAB,

C.DM//CN,

.??四邊形CDMN為平行四邊形,

：.CN=DM=3,MN=CD=4,

：.CM=5,

CN3

???sin4cMN=^=g

CM5

*：A'M=2f

：.AG=2x^=2,

55

AMG=1,

2

：.BG=BM-MG=&

**?tanZ-ABA=—=3,

BG

/.tanZ.PMF=tanZ,ABA=3,

A—=3,BPPF=3FM

FMf

AM_AF_2

.?.,tanZ-Dr\AAMn^r=—DM=—PF=3cosZ-Dr\AAMn/r

AMAF2AD~AP~

3

：.PF=-AF,

2

：.3FM=^AFfBPAF=2FM,

*：AM=2f

4

?MF.，

4

.??1=二，解得：t=f;

V13tV133

如圖，當(dāng)點(diǎn)4(4")位于CM的延長線上時，此時點(diǎn)尸在AD上，PB=2VT3-V13t，

過點(diǎn)不作力七’1AB于點(diǎn)G',則MMN，取44"的中點(diǎn)H,則點(diǎn)跖、尸、〃三點(diǎn)共線，過點(diǎn)H作HKLAB

于點(diǎn)K,過點(diǎn)尸作P7U/3于點(diǎn)T,

同理：AG==I，

■:HK工AB,TC14B，

:?HK〃A”G,

???△/”"△44七’，

???點(diǎn)〃是44〃的中點(diǎn)，

.HK_AK_AH_1

??—n=J=-7，=小

AGAGAA2

3I

：.HK=-AK=-,

5，f5

9

HK-1

AtanzPMT=tanzHMK

MK3

即M=3尸7，

??4r?CFDMPT3「nFBTBM2

?tanzPBT=—=—=一cosZ-PBT=—=—=-；=,

BMBT2PBBDV13

-BT=-2PT,

9

：.MT=-BT,

2

*：MT+BT=BM=2,

4

:.BT=上

11

420

I―=￡，解得：t

2V13-V13tV1311

綜上所述，f的值為爭啥

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

解直角三角形，根據(jù)題意得到點(diǎn)4的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題.

7.(2022?山東臨沂?中考真題)已知AZBC是等邊三角形，點(diǎn)8,。關(guān)于直線NC對稱，連接ND,CD.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)在線段NC上任取一點(diǎn)尸(端點(diǎn)除外)，連接PD.將線段尸。繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在A4延長線

上的點(diǎn)。處.請?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)尸在線段NC上的位置發(fā)生變化時，NDPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.

(3)在滿足(2)的條件下，探究線段/。與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)見解析

(2)NDPQ大小不變，理由見解析

(3)CP=AQ,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接由等邊三角形的性質(zhì)可得ZC垂直平分8。，繼而得出力B=BC=CD=4),便可證明；

(2)連接P8,過點(diǎn)尸作PEIICB交于點(diǎn)E,PFL4B于點(diǎn)、F,可證明△4PE是等邊三角形，由等腰三角

形三線合一證明乙4PF=乙EPF,4QPF=4BPF,即可求解；

(3)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得//=尸￡,QF=BF,即可證明.

(1)

連接8D,

???A4BC是等邊三角形,

???AB=BC=AC,

???點(diǎn)3,。關(guān)于直線/C對稱，

???/C垂直平分5。，

???DC=BC,AD=AB,

???AB=BC=CD=AD,

.??四邊形/BCD是菱形；

⑵

當(dāng)點(diǎn)尸在線段NC上的位置發(fā)生變化時，NDPQ的大小不發(fā)生變化，始終等于60。，理由如下:

,?,將線段PD繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長線上的點(diǎn)。處，

PQ=PD,

???△ABC是等邊三角形，

???AB=BC=AC,ABAC=^ABC=AACB=60°,

連接P8,過點(diǎn)P作PEIICB交N3于點(diǎn)E,PFUB于點(diǎn)、F,

貝IJN力PE=^ACB=60°,AAEP=AABC=60°,

.-./.APE=/.BAC=60°=^AEP,

.?.△APE是等邊三角形，

???AP—EP=AE,

???PFLAB,

???Z-APF=乙EPF,

■:點(diǎn)、B,。關(guān)于直線4。對稱，點(diǎn)尸在線段ZC上,

：?PB=PD,ZDPA=ZBPA,

：.PQ=PD,

???PFLAB,

Z-QPF=Z.BPF,

???ZQPF-ZAPF=NBPF-/EPF,

即ZQPA=NBPE,

.■■ZDPQ=ZDPA-ZQPA=ZBPA-ZBPE=/APE=60°；

(3)

AQ=CP,證明如下：

■：AC=AB,AP=AE,

■■AC-AP=AB-AE,即CP=BE,

■■■AP=EP,PFLAB,

：.AF=FE,

■■PQ=PD,PFLAB,

：.QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,即AQ=BE,

：.AQ=CP.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定等，熟練掌握知識點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）已知點(diǎn)E在正方形4BCD的對角線4C上，正方形4FEG與正方形4BCD有公

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在4D上，F(xiàn)在力B上，求次茄的值為多少；

（2）將正方形力FEG繞月點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（（T<a<90。），如圖2,求：器的值為多少；

Du

（3）4B=8戊，AG^^-AD，將正方形力FEG繞月逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（0。<a<360。），當(dāng)C,G,E三點(diǎn)共線時,

請直接寫出DG的長度.

【答案】⑴2

⑵夜

(3)4(76-V2)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可得GEIIDC,根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；

(2)根據(jù)⑴的結(jié)論，可得噂=乍=%根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NZMG=ZC4E,進(jìn)而證明△GHDsAEAC,

AEACV2

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)勾股定理求得CG,EC,進(jìn)而根據(jù)△GADE4C,由相似三角形的性質(zhì)即可求解.

(1)

,正方形AFEG與正方形4BCD有公共點(diǎn)4點(diǎn)G在上，尸在48上，

???GEWDC

AG_AE

"OG=￡C

EC_AE

"~DG^~AG

???四邊形AFEG是正方形

AE=\[2AG

■空&CE_?AE_lyfy_

,,V2DG--V2xV2-2?

⑵

如圖，連接4E,

???正方形/尸EG繞/點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0。VaV90°),

???Z-DAG=Z-CAE

AG_AD_1

‘屈=就=/

GADEAC

CEACnz

???一=—=V2,

DGAD

⑶

如圖，

AB

AB=8V2,AG=—AD,

2

...ADAB8版AG=yx8V2=8,AC=&AB=16,

???G,F,C三點(diǎn)共線，

Rt△4GC中,GC=AC2—AG2=V162-82=8A/3)

???CE=GC-GE=8V3-8,

由(2)可知△GAD-AEAC,

.￡￡_^￡_V2

??一——V乙，

DGDA

...DG=繁=8后yo=4(痣-V2).

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜

合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?廣西?中考真題)已知NMON=a,點(diǎn)/,5分別在射線OM,ON上運(yùn)動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90°,取48中點(diǎn)D,點(diǎn)A,B運(yùn)動時，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動，點(diǎn)、A,B,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為4,B1,￡?',

連接。D,判斷OD與。。有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形/2C,求點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當(dāng)點(diǎn)N,8運(yùn)動到什么位置時，AAOB的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

【答案】(1)。。=?！罚C明見解析

(2)373+3

(3)當(dāng)。4=。8時，AAOB的面積最大；理由見解析，△力。B面積的最大值為9/+9

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD十瓦OD'^A'B',進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)作A/OB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于。和。，當(dāng)O運(yùn)動到。時，OC最大，求出

和等邊三角形AO'B上的高OD進(jìn)而求得結(jié)果；

(3)作等腰直角三角形4?,以/為圓心，//為半徑作。/,取A8的中點(diǎn)C,連接C/并延長交。/于。，

此時A/OB的面積最大，進(jìn)一步求得結(jié)果.

(3)以A8為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形連接。C交于點(diǎn)7,在。7上取點(diǎn)E,使OE=BE,

連接BE,由(2)可知，當(dāng)。C1AB時，0C最大，當(dāng)。力=。8時，此時OT最大，即A/lOB的面積最大，

由勾股定理等進(jìn)行求解即可.

(1)

解：0D=0D',證明如下：

???/.AOB=a=90。，AB中點(diǎn)為D,

1

???OD=-AB,

2

??,D'為4月的中點(diǎn),Z-AOB=a=90°,

OD'=2-AB,

AB=AB,

???OD=OD；

⑵

解：如圖1,

作ANOB的外接圓/,連接C7并延長，分別交。/于。和D,

當(dāng)。運(yùn)動到。，時，OC最大，

此時是等邊三角形，

:.BO'=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'=^AB+^-BO'=3+^;

金解：如圖2,作等腰直角三角形/由，以/為圓心，//為半徑作。/,

圖2

:.AI也AB=30,ZAOB=^ZAIB^45°,

2Z

則點(diǎn)。在上，取AB的中點(diǎn)C,連接C/并延長交。/于。，

此時A/O8的面積最大，

OC=CI+OI%B+3五=3+3班,

J.S^AOB最舄x6x(3+3偽=9+9&.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，確定圓的條件等知識,解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對

定角''的模型.

10.(2022?遼寧?中考真題)如圖，在△力BC中，AB=AC=2A/5,BC=4,D,E,尸分別為AC,4B,BC的中

點(diǎn)，連接DE,。尸.

AAA

工

BCBC

FQ/NF歹廠

圖1圖2圖3

V5

(1)如圖1,求證:DF=—DE;

2

(2)如圖2,將NEDF繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPDQ,當(dāng)射線DP交于點(diǎn)G,射線DQ交BC于點(diǎn)N

時，連接FE并延長交射線DP于點(diǎn)M,判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)DP_LHB時，求DN的長.

【答案】(1)見解析

(2)FN*EM,理由見解析

噌

【解析】

【分析】

(1)連接力F,可得力F1BC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DF=(4C=有，根據(jù)中

位線定理可得DE==2,即可得證；

(2)證明AONFsADME,根據(jù)(1)的結(jié)論即可得FN=叱引%

2

(3)連接2F,過點(diǎn)。作。"_L于H,證明△AGD”△力HC,可得GD=^HC=迪，勾股定理求得GE,4G,

25

根據(jù)tan-WG=絲=之，AEMG=AADG,可得tan/EMG=空=。，進(jìn)而求得MG,根據(jù)MD=MG+GD

GD4MG4

求得MD,根據(jù)(2)的結(jié)論DN=叱DM,即可求解.

2

(1)

證明：如圖，連接AF,

圖1

"AB=AC=2V5,FC=4-D,E,尸分別為4〉4B,BC的中點(diǎn),

DE=|FC=2,AF1BC,

DF=~AC-y/5,

⑵

FN若EM,理由如下,

連接力F,如圖,

AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分別為的中點(diǎn),

1

...EF=^AC=CD.EFWC,

???四邊形CDEF是平行四邊形，

，乙DEF=zC,

1

???DF=-AC=DC,

2

???Z.DFC=zf,

???Z-DEF=乙DFC,

???180°-乙DEF=180°-Z.DFC,

乙DEM=乙DFN,

圖2

,??將ZEDF繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPDQ,

.，.Z.EDF=Z-PDQ,

???乙FDN+Z.NDE=Z.EDM+乙NDE,

???乙FDN=乙EDM,

DNFDME,

.NF_DF_45

「EM一DE一

FN=—EM，

2

⑶

如圖，連接4尸，過點(diǎn)C作力B于”,

A

Rt△力FC中，F(xiàn)C=；BC=2,

AF=y/AC2-FC2=4，

11

???S^ABC=\BC-AF=\AB-CH,

BC-AF4x48V5

AB2V55

???DP1AB,

???△/GDAHC,

GD_AD

HC-AC-2’

???GD十T'

RtAGED中，

GE=yjED2-GD2=J22一律j=手,

RtAAGD中,

3V5

AG=y/AD2-GD2=

3V5

AT--

tan乙4。G=—=■r~.

GD1V5

■：EFWAD,

???Z-EMG=Z.ADGf

PC3

：

.^EMG=-4,

442V58V5

―X-----=-------

??.MG.GE=3515

8A/5,4V54V5

???MD=MGGD-------=

15------5---------3

△DNFDME,

.DN_DF_y/5

，?DM一DET，

cnr遍…"V54V510

??.DN=—DM=—x—=—.

2233

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)

與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?貴州貴陽?中考真題)小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗(yàn)，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

如圖，在MBCD中，AN為8C邊上的高，與=m，點(diǎn)M在力。邊上，且BA=BM,點(diǎn)E是線段AM上任意一點(diǎn),

AN

連接8E,將4A8E沿BE翻折得△FBE.

圖①圖②備用圖

⑴問題解決：

如圖①，當(dāng)NBAD=60。，將AABE沿BE翻折后，使點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則警=；

(2)問題探究：

如圖②，當(dāng)NB4D=45。，將AABE沿BE翻折后，使EFIIBM,求乙4BE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；

(3)拓展延伸：

當(dāng)NBAD=30。，將△ABE沿BE翻折后，若且4E=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出

小的值.

【答案】(1磬

(2)44BE=22.5°,m=2

(3)作圖見解析，3V3-1

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得普=*=—^,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求

ANANcosZ.BAN

解;

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得N4EB=乙FEB="180。+45°)=112.5°,由三角形內(nèi)角和定理可得乙4BE=

180°-/.AEB-^.BAE=22.5°,根據(jù)點(diǎn)M在4。邊上，當(dāng)4。=AM時，m取得最小值，最小值為誓=2；

(3)連接FM,設(shè)ZN=a,則48=2a,NB=WAN=Wa，在中，F(xiàn)B=AB=BM,延長尸E

交NC于點(diǎn)G,在Rt△EFM中，EM=VFM2-EF2=J8a2-(百—lj2a2=(V3+l)a,進(jìn)而根據(jù)4。=AE+

EM+MD,即可求解.

(1)

???BA=BM,匕BAD=60°

：.△是等邊三角形，

.?.AB=AM=BM

??