2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)?？碱}專練：圓的方程（11類重難點(diǎn)題型）解析版

專題2-2圓的方程11類重難點(diǎn)題型匯總

直線與圓的方程式是一個(gè)承上啟下的章節(jié)，讓即將經(jīng)歷圓錐曲線毒打的同學(xué)們有個(gè)鋪墊

直線與圓的方程作為解析幾何中的基礎(chǔ)，不僅幫助同學(xué)們構(gòu)建起圖形與代數(shù)之間的橋梁，更是通往

更復(fù)雜曲線——如橢圓、雙曲線和拋物線等圓錐曲線研究的必經(jīng)之路。掌握好這兩類基本圖形的性

質(zhì)及它們之間的位置關(guān)系，將為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)更加抽象的概念時(shí)能夠

游刃有余。

總覽1題型解讀

【題型1】圓的方程.................................................................1

【題型2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系........................................................4

【題型3】求圓的切線方程...........................................................6

【題型4】求弦長(zhǎng)以及由弦長(zhǎng)求直線方程............................................12

【題型5】圓與圓的位置關(guān)系，公切線及公共弦.....................................15

【題型6】軌跡問(wèn)題（阿氏圓，相關(guān)點(diǎn)法，定義法）.................................19

【題型7】圓的4類?？甲钪祮?wèn)題...................................................22

【題型8】直線與半圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題..............................................26

【題型9】雙切線模型與切點(diǎn)弦方程.................................................30

【題型10】直線與圓的聯(lián)立：韋達(dá)定理計(jì)算.........................................35

【題型11】直線與圓的綜合：定點(diǎn)，定值，定線模型...............................40

題型匯編1知識(shí)梳理與?？碱}型

【題型1］圓的方程

基礎(chǔ)知識(shí)

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x—ay+（y—b）2=/，其中圓心為（a,b）半徑為「

圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（￡>,￡,尸為常數(shù)），當(dāng)。2+后2_4尸>。

1.已知圓“過(guò)點(diǎn)0(0,0),A(2,0),3(2,-2),則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x-l)2+(y+l)2=2

B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x+l)2+(j-l)2=2

【答案】A

【分析】由題意可得圓心半徑r=0,即可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由0(0,0),4(2,0)在圓M上，故圓心在直線x=l上，

由4(2,0),8(2,-2)在圓“上，故圓心在直線y=-L上，

即圓心"(1,一1),半徑r=后弄=0,

故方程為d)2+(y+l)2=2.

2.若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),8(4,3),且圓心在直線/：2尤+y-7=0上，則圓C的方程為(

A.U-3)2+(y-6)2=2B.(x-2)2+(y-3)2=4

C.(尤-2)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y-6)2=10

【答案】B

【分析】用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)該圓方程為(x-4+(y-b)2=r2,

則圓心為(a,方)，有2a+6-7=0,

將點(diǎn)A(2,5),8(4,3)代入，

J(2i『+(5+27『=/J5八⑵+8=/

有[(4一a/+(3+2a-7『=/，間仔一24。+32=產(chǎn)

兩式相減得12?！?4=0,即有。=2,則。=7—2。=3,

/=5/—12a+8=4,

故該圓方程為(x—2)2+(y—3尸=4.

3.若方程//+6蛆一4y+9加之一2根=0表示圓，則加的取值范圍為()

A.(-2,+oo)B.[-2,+oo)C.(-oo,-2)D.(-8,-2]

【答案】A

【分析】運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解

【詳解】方程X?+y2+6mx-4y+9m2-2m=0表示圓，

則D2+E2-4F=36m2+16-4（W-2m）＞0,

解得相＞-2,即加的取值范圍為（-2,+8）.

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上.山西運(yùn)城.期中）已知A（0,5）,B（0,l）,C（3,4）,則ABC外接圓的半徑

為（）

A.75B.2C.710D.5

【答案】A

【分析】求A8和BC的垂直平分線方程，然后解方程組可得圓心，然后可解.

【詳解】依題意可得，線段AB的垂直平分線方程為＞=3,

354-1

又BC的中點(diǎn)為,直線3c的斜率原。===1,

2123—。

所以線段BC的垂直平分線斜率為左=—1,得方程為y-萬(wàn)=-,即x+y—4=。,

fy=3[x=l/、

解方程組.“八得《即圓心坐標(biāo)為（1,3）,

〔x+y-4=0[y=3

所以半徑r=^（1-0）2+（3-1）2=亞.

【鞏固練習(xí)2]已知A（4,0）,B（1,V3）,圓M經(jīng)過(guò)A,8兩點(diǎn)，且圓的周長(zhǎng)被尤軸平分，則圓〃的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.[一野+=3B.（x-2）2+y2=4

C.x2+y2=4D.（尤-lf+y2=4

【答案】B

【分析】求出線段A8的中垂線，求得與*軸的交點(diǎn)即為圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.

【詳解】由題意，k8=9^詆=一且，48中點(diǎn)為

AB4-13

所以線段A3的中垂線為>一曰=君］尤一g］，令>=0得工=2,

所以“(2,0),半徑廠=2,所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2y+y2=4.

【鞏固練習(xí)3】方程*2+?2+4"a-2>+5機(jī)=0表示圓的充要條件是()

A.—<m<\B.>1C.m<—D.或加>1

444

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的一般式方程的充要條件為獷+后一4P>0,代入運(yùn)算求解即可.

71

【詳解】由題意可得：(4/n)+4-20m>0,解得加或口>1,

所以方程x?+y?+4nzx-2y+5根=0表示圓的充要條件是機(jī)<：或加>1.

【鞏固練習(xí)4】已知圓。的方程為f+;/-2mx+4陽(yáng)+4/+6m+27=0,若圓。的半徑小于8,則

加的取值范圍是()

A.(-7,13)B.(Y,-3)一(9,+8)

C.(3-2A/TT,-3)I(9,3+2A/TT)D.(-7,-3)(9,13)

【答案】D

【分析】將圓。的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到關(guān)于加的不等式，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)閳A。的方程為V+y?-2mx+4沖+4〃/+6m+27=0,

所以圓0的標(biāo)準(zhǔn)方程為+(y+2加)2=m2-6m-T1,

i^0<m2-6m-27<82,角簞得一7(機(jī)<-3或9<機(jī)<13,

所以m的取值范圍為(-7,-3)(9,13).

【題型2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

1.在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

判斷點(diǎn)M(%o,%)與二A：(x—tz)2+(y-b，=產(chǎn)位置關(guān)系的方法:

(1)幾何法(優(yōu)先推薦)

設(shè)到圓心A(a,Z?)的距離為d,則d=|A￡4|

①d>廠。則點(diǎn)〃(%,%)在A外

②^二廠。則點(diǎn)M(Xo，%)在A上

③d<rO則點(diǎn)〃(%,%)在.A內(nèi)

(2)代數(shù)法

將點(diǎn)〃(玉),為)帶入「A：(x—a)?+(y—bp=產(chǎn)方程內(nèi)

①點(diǎn)"(如為)在&外0(龍0-。)2+(%-力)2>產(chǎn)

②點(diǎn)〃(%，％)在A上o(X?！猘)~+(%—。)2=廣

③點(diǎn)M5,%)在A內(nèi)o(%—a)?+(%-A)?</

2.在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

已知點(diǎn)〃(%,%)和圓的一般式方程C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

則點(diǎn)M(x0,y0)與圓的位置關(guān)系：

2

①點(diǎn)M(%,%)在C外xQ+%?+Dx0+Ey0+F>0

②點(diǎn)〃(乙),先)在CXQ+y^+Dxo+Eyo+F=O

2

③點(diǎn)M(x0,%)在C內(nèi)U>x0+%?+Dx0+Ey0+F<0

/“典型例題/

4.已知圓C的方程為(x+l)2+(y-3)2=12,則點(diǎn)41,6)在()

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)該點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑進(jìn)行比較即可.

【詳解】圓心為(一1,3),半徑為a=2如，

因?yàn)镴(l+1)2+(6-3)2=屈＞26,

所以A(l,6)在圓外

5.若點(diǎn)4(2,1)在圓尤2+k-2如-2＞+5=0(加為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(-g,-2)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】由點(diǎn)A在圓外代入圓的方程可得加＜2,再由圓的一般方程中。2+石2一4斤可得加＜一2,

最后求交集即可.

【詳解】由題意知22+F_4〃2-2+5>0,

故加<2,

又由圓的一般方程x2+y2+r）x+ev+尸=0,

可得。2+52一4尸>0,即（-2峭2+（-2）2-4x5>0,

即m<-2或〃z>2,

所以實(shí)數(shù)加的范圍為加<-2.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1］若點(diǎn)a（a,3）在圓。:/+（卜1）2=5外，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-1,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的方程可得圓心和半徑，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析求解.

【詳解】由題意可知：圓C:x2+（y_i）2=5的圓心C（0,l）,半徑r=6，

若點(diǎn)A（a,3）在圓C外，則|AC|=,J（a-0）2+（3-l）2=Va2+4>#,

解得a>l或。<—1,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（TO,—l）u（l,+oo）.

【鞏固練習(xí)2】若點(diǎn)+在圓*+y、2沖-4=0的內(nèi)部，則。的取值范圍是（）.

A.a>lB.0<。<1C.—1<a<-D.a<1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題可知，半徑升=五2+4,所以。eR,把點(diǎn)（a+l,a—1）代入方程，

則（a+iy+（a—l）2—2。（。-1）一4<0,解得a<l,所以故a的取值范圍是a<1.

【題型3】求圓的切線方程

基礎(chǔ)知識(shí)

直線與圓相切的問(wèn)題

（1）圓的切線方程的求法

①點(diǎn)M（x（）,%）在圓上，

法一：利用切線的斜率用與圓心和該點(diǎn)連線的斜率心.的乘積等于T,即向“％=-!.

法二：圓心。到直線/的距離等于半徑廠.

②點(diǎn)M（%，％）在圓外，則設(shè)切線方程：y-yQ=k{x-xQ）,變成一般式：kx-y+y0-kx0=0,因

為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出左.

注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還

有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上

///典型例題/

6.已知圓O:f+y2=5,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,且/與圓。相切，貝心的方程為（）

A.x+2y—5=0B.x-2y+3=0C.1x-y=0D.2x+y-4=0

【答案】A

【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.

【詳解】顯然斜率不存在時(shí)，不合題意；斜率存在時(shí)，設(shè)方程為>-2=左（》-1）,

圓心到直線的距離為d=/,因?yàn)?與圓。相切，所以d=y/5,

V1+F

即—=L=,解得上=—,即/的方程為x+2y—5=0.

J1+嚴(yán)2

7.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中）過(guò)點(diǎn)（4,0）的直線/與圓Y+y2-4x-8y+16=0相切，則直線/的

方程為（）

A.3尤+4、-12=0或y=0B.3%+4y-12=0或X=4

C.4x+3y—12=0或y=0D.4x+3y-12=0或％=4

【答案】B

【分析】分2種情況討論：①直線1的斜率不存在，則其方程為x=4,易得其與圓相切；②直線1

的斜率存在，設(shè)其方程為>=左（％-4）,根據(jù)直線1與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k

的值即可.

【詳解】圓d+y2-4x-8y+16=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（y-4）2=4,得圓心（2,4）,半徑為2,

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線/：x=4,

此時(shí)直線1與圓X?+/-4x-8y+16=0相切，符合題意；

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為了=左（%一4）,即fcv-y-4左=0,

,、|2左一4一46\2k+4\

圓心（2,4）到直線1的距離為d=?-1

由相切得d=r=2,

\2k+4l3

所以,1=2,平方化簡(jiǎn)得上=-1求得直線方程為3x+4y-12=0,

“2+14

綜上，直線1的方程為3x+4y-12=0或％=4.

8.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓C:Y+y2-4x+3=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則|MN|=（）

A.走B.-C.gD.2

22

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意可得△MON為等邊三角形，可得結(jié)果.

【詳解】圓爐+〉2-以+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2y+y2=i,

其圓心為C(2,0),半徑為1,

由題意知，|因=|NC|=1,|0閘=|ON|,ON，QV,|。4=2,

CN|：所以

所以sinZNOC==,NNOC=30°

OC\

所以AMON=2ZNOC=60。.且|ON|=2cos30。=6,

所以△MON為等邊三角形,

所以|ACV|=|ON|=百.

9.(2024?廣東韶關(guān).二模)過(guò)點(diǎn)尸(-2,3)作斜率為一2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)》軸反射后與

圓C:(x-3f+(y-2)2=，(r>0)相切，貝什=()

A.72B.73C.2D.V5

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出直線E4,進(jìn)而求出點(diǎn)A,利用反射光線的性質(zhì)求出直線

BA,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線交x軸于點(diǎn)A,反射直線與圓C相切于點(diǎn)8,

直線尸A:y-3=-2(x+2),即y=-2x-l,

令y=o,解得x=-g,即A(,0),

又kpA+上。，所以或=2,

所以直線BA:y-0=2(x+g),即2x-y+l=0,

則點(diǎn)c(3,2)到直線直線劃：2x-y+1=0的距離為d=但二出

即r=G

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】過(guò)點(diǎn)A(2,3)作圓M：尤2+9=1的一條切線，切點(diǎn)為所則|AB|=()

A.3B.273C.77D.V10

【答案】B

【分析】先求得圓M的圓心坐標(biāo)和半徑，再利用切線長(zhǎng)定理即可求得恒目的值.

所以圓M的圓心為/(0,0),半徑為廠=1,

因?yàn)锳B與圓A7相切，切點(diǎn)為B,

所以貝=|AM『，

因?yàn)閈AM\=>/22+32=V13,

所以|AB|=yj\AM^-r2=V13-1=2A/3.

【鞏固練習(xí)2】已知圓C：x2+y2-4x=0,直線/恒過(guò)點(diǎn)?(4,1).若直線/與圓C相切，求/的方程

【答案】無(wú)=4或3x+4y-16=0

【分析】分類討論直線/的斜率存在與不存在，利用圓心到直線/的距離等于圓的半徑計(jì)算即可；

(2)由題意知直線/的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的垂徑定理計(jì)算即

可.

【詳解】(1)由題意可知，圓C的圓心為(2,0),半徑廠=2,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，即/的方程為x=4時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為左，，直線/的方程為y-l=Mx-4),

化為一般式：kx-y+l-4k=0,若直線/與圓相切，

\\-2k\?3

則dJ=^PT7=2，即1一4左+4左2=4左2+4,解得k=_1

3

:.l：——x-y+4=0,即/：3x+4y-16=0,

4

綜上，當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，直線/的方程為無(wú)=4或3x+4y-16=。

【鞏固練習(xí)3】(23-24高二下.全國(guó)?隨堂練習(xí))已知圓C：(x-l)2+(y-2)2-4.若點(diǎn)加(3,5),求過(guò)

點(diǎn)M的圓C的切線方程；

【答案】x=3或512y+45=0

【分析】求出圓C的圓心與半徑，分過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在和存在兩種情況，利用圓心到直線

距離等于半徑，即可求出切線方程；

【詳解】解：由題意知圓心的坐標(biāo)為C。,2),半徑廠=2,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=3.

由圓心C(l,2)到直線x=3的距離3-1=2=廣知，此時(shí)，直線與圓相切.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-5=k(x-3),

即日一y+5—3左=0.由題意知----,----=2,

U+1

解得*=得，二方程為5x—12〉+45=0.

故過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為x=3或5尤-12>+45=0.

【鞏固練習(xí)4】(23-24高三上.河北秦皇島.開(kāi)學(xué)考試)從點(diǎn)(0,3)射出的光線經(jīng)x軸反射后，與圓

(X-3)2+(y-2)2=2有公共點(diǎn)，則反射光線所在直線斜率的最小值為()

23-1

A.1B.—C.—D.—1

77

【答案】A

【分析】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得反射光線一定經(jīng)過(guò)(0,-3),然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離計(jì)算經(jīng)過(guò)(0,-3)的

直線和圓心的距離不超過(guò)半徑即可.

【詳解】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，反射光線一定經(jīng)過(guò)(。,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(0,-3),

反射光所在直線斜率不存在時(shí)，反射光的直線方程為尤=0,

—Q

由‘(X一3『+(y-2『-2，易得該方程組無(wú)解，于是反射光所在直線斜率存在，

設(shè)經(jīng)過(guò)(0,-3)的直線為y=履-3,若反射光和圓有公共點(diǎn)，則圓心(3,2)到直線的距離不超過(guò)半徑,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，-k===-,整理得7左2—30左+2340,即(化-1)(7左—23)<0,

收+1

23

解得14%工亍，故斜率最小值是1.

故選：A

【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上.山西朔州.期末）戰(zhàn)國(guó)時(shí)期成書(shū)《墨經(jīng)》有載曰：“景，日之光反燭人，

則景在日與人之間.”這是中國(guó)古代人民首次對(duì)平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在

平面直角坐標(biāo)系。孫中，一條光線從點(diǎn)“（2,3）射出，經(jīng)'軸反射后與圓。:/-6欠+;/+4>+12=0相

切，則反射光線所在直線的斜率為（）

4、31553

A.——或——B.——或——C.—D.—

347774

【答案】A

【分析】先得到M關(guān)于丁軸的對(duì)稱點(diǎn)5,然后根據(jù)反射光線經(jīng)過(guò)3,設(shè)出反射光線的方程，根據(jù)反

射光線與圓相切列出關(guān)于人的方程，則結(jié)果可求.

【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)M（2,3）關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一2,3）,

反射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,且與圓C:（x-3y+（y+2）2=l相切，

設(shè)反射光線所在直線的斜率為左,則反射光線所在直線的方程為y-3=k（x+2）,kx-y+2k+3=0,

圓（X—3）2+（y+2）2=1的圓心為C（3,—2）,半徑r=l,

/、\5k+5\

則由圓心C（3,-2）到反射光線所在直線的距離等于半徑，可得%~章=1，

43

即12公+25左+12=0,解得％=—彳或左=一二.

34

故選：A.

【題型4】求弦長(zhǎng)以及由弦長(zhǎng)求直線方程

基礎(chǔ)知識(shí)

利用垂徑定理：半徑廠，圓心到直線的距離d,弦長(zhǎng)/具有的關(guān)系戶=儲(chǔ)+咳）2,這也是求弦長(zhǎng)最常

用的方法.

典型例題

10.直線3x+4y=o與圓M：（x-2『+（y_l）2=16交于A,8兩點(diǎn)，則AM鉆的面積為（）

A.473B.40C.2y/3D.2亞

【答案】A

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，以及弦長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】圓M：（x—2y+（y-1）2=16的圓心為河（2,1）,半徑為4,

由題意得圓心M到直線3x+4y=0的距離［=色￡^=2,

732+42

則|4卻=2/16—4=4百,

所以AAMB的面積為工X46X2=46.

2

故選：A

11.已知直線，=辰+1與圓d+V=4相交于M,N兩點(diǎn)，若=則悶=（）

A，—2B.1C.V2D.2

【答案】B

【分析】先計(jì)算直線版->+1=0到圓心。的距離d,然后根據(jù)勾股定理得到屋+：|MN「=4,從而

代入條件即可解出從而得到四

【詳解】如圖所示：

0左一0+11

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)0到直線點(diǎn)一丁+1=。的距離為d,則d=—>=

〃2+1”I2+1

設(shè)線段腦V的中點(diǎn)為P,則WOP,根據(jù)勾股定理，4=|OM|2=|<?p|2+|PM|2=d-+^\MN\".

^j\MN\=y/14,得4=『+』肱V「=目^+與，故=；解得/=i,故陽(yáng)=1.

4/v-r1/CiIN

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（河北石家莊?期末）圓/一4x+4y-l=0被直線3x-4y-4=0截得的弦長(zhǎng)等

于.

【答案】25

【分析】求出給定圓的圓心和半徑，再利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.

【詳解】圓（了一2）2+0+2）2=9的圓心（2,-2）,半徑廠=3,

13x2—4x（-2）—41

2

則點(diǎn)（2,-2）到直線3x-4y-4=0的距離d=---/<八2-=，

所以所求弦長(zhǎng)為24戶-屋=26.

【鞏固練習(xí)2】?jī)善叫兄本€4：fcr+y=O與直線4：區(qū)+，+2=。分別與圓M:Y+y2-4x-4y=0相交

于點(diǎn)A,B和C,D,若|AB|=4&,則ACD的面積為（）

A.272B.2A/3C.4D.372

【答案】B

【分析】將圓轉(zhuǎn)化為一般方程，根據(jù)|A5|=4五知直線人過(guò)圓心，進(jìn)而求出k=-1,然后求出|CD|,

最后求出面積.

【詳解】f+y2-4x-4y=0可化為（x-2）2+（y-2）2=8,

故圓M的圓心M的坐標(biāo)為（2,2）,半徑為20,

因?yàn)閨AB|=4及，所以直線4過(guò)圓心（2,2）,即％=—1,

所以:%+y=0,/21—X+y+2=0.

2

圓心M到，2的距離d=gw=,

所以|CD|=2后三=2"，

所以ACD的面積為gx應(yīng)x2后=2石.

【鞏固練習(xí)3】已知圓C：x2+y2-4x=0,直線/恒過(guò)點(diǎn)?（4,1）.當(dāng)直線/與圓C相交于A,8兩點(diǎn),

且|A2|=2百時(shí)，求/的方程.

【答案】y=1或4%-3》-13=0

【詳解】由題意可知，直線/的斜率一定存在，設(shè)斜率為七,

.?直線/的方程為y-l=k（x-4）,即Ax_y+l_4左=0,

」\l-2k\

設(shè)圓心到直線/的距離為d,則d=/

Vv2+i

由垂徑定理可得，/+（絆）2=4,即空龍+3=4,

2F+1

4

整理得，3左2一4左=0,解得左=0或左=§,

則直線/的方程為y=1或4x-3y-13=0.

【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下?安徽亳州?期中）已知圓。：/+/+依一打=0（。＞0）關(guān)于直線y=-2x

對(duì)稱，且過(guò)點(diǎn)尸（0,8）.

（1）求證：圓C與直線x+2y-16=0相切;

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)(1,0)與圓C交于A、3兩點(diǎn)，且|AB|=4,求此時(shí)直線/的方程.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)丁=0或24%-7、-24=0.

【分析】(1)根據(jù)圓心在直線y=-2x以及點(diǎn)(0,8)在圓上，即可求解6=8,0=4,進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直

線的距離公式求解圓心到直線的距離，與半徑比較即可求解，

(2)利用圓的弦長(zhǎng)公式可得d=4,結(jié)合圓心到直線的距離即可求解斜率，進(jìn)而可得直線方程.

【詳解】(1)圓C:x?+y2+依-外=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即,+晟[+,一|)

則因?yàn)閳AC關(guān)于直線y=-2x對(duì)稱，所以■|=一2(/J,所以b=2。，

因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)(0,8),所以82_》X8=0,所以匕=8,

得。=4,所以圓C方程為C：/+/+4]-8y=0,

圓心坐標(biāo)為(-2,4),半徑為2百，

1-2+8-161

故點(diǎn)。到直線%+2丁-16=。的距離為J------=——-=2Vr5,

所以。與直線％+2>-16=。相切，

(2)設(shè)直線/方程為y=k^x-i),即"一y-k二0,

設(shè)圓心。到直線/的距離為d=42⑸一2?=4,

\-2k-A-l<\

所以=4,

a+1

24

得7犬+24左=0,所以左=0,左=亍，

所以直線/的方程為y=o或>=亍(了一1).

即y=。或24%—7y—24=0.

【題型5】圓與圓的位置關(guān)系，公切線及公共弦

基礎(chǔ)知識(shí)

1、圓和圓的五種位置關(guān)系：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，并結(jié)合圖像掌握它們的代數(shù)表示方式

以及公切線條數(shù)

2、若兩圓相交，則它們方程相減即為公共弦所在直線的方程

12.圓C：x?+/-2x+4y=尸-5(r>0)與圓Z>:/+,2=6的位置關(guān)系不可能()

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.相交D.外切

【答案】D

【分析】由題可得兩圓半徑與圓心，后由圓心距與兩圓半徑間關(guān)系可得答案.

【詳解】由題可得圓C:(%-l)2+(y-2)2=r2,則其圓心(1,2),半徑為「；

圓。：x2+y2=6,則其圓心為(0,0),半徑為

則兩圓圓心距為75<V6+r,

故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.

22

13.已知圓￡+V=1與圓c2；(x_fl)+(y-l)=16(。>0)有4條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.（0,2&）B.+co）

C.(0,2A/6)D.(2跖+對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：d>t[+r2Q

22

【詳解】根據(jù)題意可知，圓G，G外離，d>rx+r2,y/a+1>l+4-a>24,又一a>0,;.a>2".

14.圓/+>2+》-2>-20=0與圓V+y=25相交所得公共弦長(zhǎng)為.

【答案】4布

【分析】?jī)蓤A方程作差得公共弦所在直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得C2到直線/的距離d,

最后由2/2_相即可得解.

【詳解】記圓Ci：x2+y2+x-2y-20=0,圓C?:/+_/=25,

兩個(gè)方程作差可得，尤-2y+5=0,

所以兩圓公共弦所在直線方程為/：x-2y+5=0,

圓心C2(O,O)到直線/的距離為"=1+；_2)2=若，

所以公共弦長(zhǎng)為2x/2_g2=4正.

15.(多選)已知圓Q：x2+y2-2尤-3=0和圓Q:xZ+V-2y-l=0的交點(diǎn)為則下列說(shuō)法正

確的是()

A.兩圓的圓心距。1。2=V2

B.直線AB的方程為x-y_]=0

C.圓。2上存在兩點(diǎn)尸和Q,使得PQ>AB

D.圓。j上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2+0

【答案】AD

【分析】A選項(xiàng)，求出兩圓的圓心，得到圓心距；B選項(xiàng)，兩圓相減得到直線AB的方程；C選項(xiàng)，

線段是圓。2的直徑，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，求出圓心。|到直線AB：x-y+l=O的距離，從而得到

最大距離.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閳A。1的圓心坐標(biāo)為(1,0),圓。2的圓心坐標(biāo)(0,1),

因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以兩圓的圓心距O[Q=J(1—OP+(0—1)2=夜,故A正確；

對(duì)于B,將兩圓方程作差可得-2x+2y-2=0,

即得公共弦AB的方程為x-y+l=0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由B選項(xiàng)可知，直線AB的方程為x-y+l=。，由于(0,1)滿足x-y+l=0上，

故直線A8經(jīng)過(guò)圓。2的圓心坐標(biāo)(0,1),所以線段AB是圓。2的直徑，

故圓。2中不存在比A3長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,圓0的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為2,

圓心到直線AB:x—y+l=0的距離為-=y/2,

V2

所以圓。1上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2+0,故D正確

/“鞏固練習(xí)/

22

【鞏固練習(xí)1】若圓C]：x+y=1^0C2：/+丁-8》-6>+機(jī)=0內(nèi)切，則機(jī)=()

A.29B.9C.-11D.19

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】由圓C]：x2+y2=l,可得圓心G(0,0),半徑3=1；

圓C?：x?+丁-8x-6y+m=0可化為(x-4)2+(y-3)2=25-m>0,

可得圓心G(4,3),半徑r,=425-m>0,

所以|CG|="2+32=5,

由圓C1圓C2內(nèi)切，所以iGCj=卜一目，即5=|125_〃？_1|,

解得：m=

【鞏固練習(xí)2】設(shè)〃>0,若圓(％-4+^=1與圓f+y2=25有公共點(diǎn)，貝IJQ的取值范圍為()

A.（0,4）B.{4}

C.（4,6）D.[4,6]

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.

【詳解】ffl（x-a）Z+y2=l,圓心為1,0）,半徑為1,

圓Y+y2=25,圓心為（0,0）,半徑為5,

若圓（x-a）~+J=1與圓/+>2=25有公共點(diǎn)，

則4<時(shí)46,又。>0,所以44a46.

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上?山東日照?期末）若兩圓G：/+^+2尤=0與C”

Y+y2-4x-8y+機(jī)=0外離，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.m>4B.m<4C.0<m<4D.4<m<20

【答案】D

【分析】化圓方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，方程表示圓以及圓心距滿足的關(guān)系式即可列不等式求解.

【詳解】由題意G：V+y2+2x=0即C]：（尤+1）2+9=1,它的圓心半徑分別為G（T0）d=l,

2222

G:x+y-4x-8y+m=0即C2：（%—2）+（y—4）=20—m,它的圓心半徑分別為

C?（2,4）,2=^20-m,（m<20）,

所以圓心距滿足CG|=J9+16=5>4+4=1+J20-7〃,解得zn>4,

所以4〈機(jī)<20.

【鞏固練習(xí)4】已知圓a：x2+2x+V=io與圓。2：，+丫2-尤-3>=4交于兩點(diǎn)，貝||AB|=（）

A.半B.5C.726D.3g

【答案】C

【分析】求出兩圓的公共弦所在直線方程，再求出弦長(zhǎng)即可.

【詳解】圓。]：（%+1）2+）?=11的圓心0]（一1,0）,半徑a=jn,

22

圓O2:（X--）+（y--1-）=彳的圓心。2（5，1）,半徑=—--,

I。021=3f￡（/一/居+/）,圓。1與圓。2相交，兩圓方程相減得直線AS:x+y=2,

13

顯然點(diǎn)。2（5，萬(wàn)）在直線AB上，因此線段是圓。2的直徑，

所以|AB|=而.

模塊二

【題型6】軌跡問(wèn)題(阿氏圓，相關(guān)點(diǎn)法，定義法)

/核心?技巧/...................................................

求與圓有關(guān)軌跡方程的常用方法

i.定義法

當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí)，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫(xiě)出圓的方程.

2.直譯法

直接將題目條件翻譯成代數(shù)方程，求解軟跡方程.

3.直接法

當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí)，可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程.

4.幾何法

利用圖形的幾何性質(zhì)，確定等量關(guān)系，設(shè)點(diǎn)、列式，求解軌跡方程.

5.代入法(或相關(guān)點(diǎn)法)

當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí)，常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)

系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程

/"典型例題/

16.動(dòng)圓%2+y1-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圓心的軌跡方程是.

【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得[尤-(2根+l)f+(y-m)2=病(根*0)

fx=2m+1

則圓心坐標(biāo)為《，因?yàn)榈玫絰wl,所以消去〃7可得x=2y+l即x-2y-l=0

[y=m

故答案為：x_2y-l=0(尤力1)

17.已知圓C：(x-iy+(y-2)2=8,若41,0),點(diǎn)3是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡

方程，并說(shuō)明表示什么曲線.

【解答】設(shè)M(x,y),B(XQ,%),則有等=》，A=y,

解得尤°=2x-l,%=2y,代入圓C方程得：(2x—2y+(2y-2)2=8,

化簡(jiǎn)得(x_1)2+(y-1)?=2

表示以(1,1)為圓心，、口為半徑的圓

18.已知點(diǎn)4-3,2)、8(1,-4),過(guò)A、3作兩條互相垂直的直線4和則4和4的交點(diǎn)M的軌跡

方程為(化為標(biāo)準(zhǔn)形式)

【解答】解:設(shè)加答J),則

.?.過(guò)A、3作兩條互相垂直的直線4和4的交點(diǎn)M，

MA>MB=O，，(-3-x,2-y).(l-x,-4-y)=0,

(-3-x)(l-x)+(2-y)(-A-y)=0，化簡(jiǎn)整理可得(無(wú)+1)?+(y+l)2=13.

故答案為：(龍+l)2+(y+l)2=13.

19.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)。(0,0),4(3,0)的距離之比等于1.

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；

(2)已知點(diǎn)P(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，求2/+y2的最大值.

【解答】解：(1)由題意可知：7^7=1，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得：

1^12J產(chǎn)dy:+yV",2

化簡(jiǎn)整理得：x2+y2+2x-3=0,即(》+1)2+尸=4,

.?.點(diǎn)M的軌跡方程(尤+1)2+丁=4,軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；

(2)由(1)可知,尸(羽丁)為圓(％+1)2+]=4上任意一點(diǎn),

/.-3M1,

由y2=_f_21+3,

/.2X2+y2=2/+(―/—2%+3)=無(wú)?—2x+3=(x-1)2+2,

???當(dāng)x=-3時(shí)，y=。時(shí)，

2x2+y2的最大值18.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】已知線段AB的端點(diǎn)3的坐標(biāo)是(8,6),端點(diǎn)A在圓(尤+1)2+9=4上運(yùn)動(dòng)，則線段鉆

的中點(diǎn)尸的軌跡方程為.

【解答】解：設(shè)4再，必)，線段鉆的中點(diǎn)尸為(x,y).

則菁=2x—8,y=2y—6,

?,,端點(diǎn)A在圓(x+l>+y2=4上運(yùn)動(dòng),

;.(2x-7)2+(2y-6『=4.

7

線段AB的中點(diǎn)Af的軌跡方程是：（x-/）2+（y-3）2=1.

7

故答案為：（無(wú)一5）2+（、-3）2=1.

【鞏固練習(xí)2］（24-25高三上?廣西南寧?階段練習(xí)）已知曲線C:Y+y2=1,設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)A與

定點(diǎn)3（3,0）連線的中點(diǎn)為尸，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A."1+7

I2J-4

C.

【答案】B

【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)已知解析式得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

X。+3

X=----

x=2x-3

【詳解】設(shè)「（匕力人優(yōu),為）,因?yàn)槭瑸锳3的中點(diǎn)，所以，2,即0

.%=2y

I-2

又因?yàn)辄c(diǎn)A在曲線尤2+丁=1上，所以其+需=1,所以（2x—3）2+4y2=l.

所以點(diǎn)P的軌跡