藝考生專題講義38 超幾何分布與二項分布

考點38超幾何分布與二項分布知識梳理一．分布列1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．二．兩點分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點分布．其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．三．超幾何分布1.概念：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)．即X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2.特征(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)(2)考察對象分兩類(3)已知各類對象的個數(shù)(4)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.,超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型四．獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)．設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．五．條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．精講精練題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)【例1】(1)(2024·全國高三專題練習(xí))隨機(jī)變量的分布列如表：若，則()A． B． C． D．(2)(2024·浙江高三)已知隨機(jī)變量的分布列是則()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)C【解析】(1)由分布列的性質(zhì)以及期望公式可得，解得..故選：A.(2)由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取n次；(2)隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2.離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟三．若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))隨機(jī)變量X的分布列如下，的值為()A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】C【解析】隨機(jī)變量X的分布列知：，．故選：C．2．(2024·全國高三專題練習(xí))隨機(jī)變量的分布列如表所示，若，則()-101A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】根據(jù)題意，可知：，則，，即：，解得：，，，則，.故選：B.3．(2024·全國高三專題練習(xí))若隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.2a則a的值為()A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【解析】由題意可得，，解得.故選：B.4．(2024·浙江高三其他模擬)隨機(jī)變量X的分布列如下表，已知，則當(dāng)b在內(nèi)增大時()X123PabcA．遞減，遞減 B．遞增，遞減C．遞減，遞增 D．遞增，遞增【答案】B【解析】因為，所以，，所以，所以當(dāng)b在內(nèi)增大時，遞增；所以，所以當(dāng)b在內(nèi)增大時，遞減.故選：B.題型二超幾何分布【例2】(2024·全國高三)“花開疫散，山河無恙，心懷感恩，學(xué)子歸來，行而不綴，未來可期”，為感謝全國人民對武漢的支持，今年櫻花節(jié)武漢大學(xué)在其屬下的藝術(shù)學(xué)院和文學(xué)院分別招募名和名志愿者參與網(wǎng)絡(luò)云直播.將這名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單位：厘米).若身高在及其以上定義為“高個子”，否則定義為“非高個子”，且只有文學(xué)院的“高個子”才能擔(dān)任兼職主持人.(1)根據(jù)志愿者的身高莖葉圖指出文學(xué)院志愿者身高的中位數(shù).(2)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取人，則從這人中選人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少；(3)若從所有“高個子”中選名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職主持人”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)；(3)分布列見解析，.【解析】(1)根據(jù)志愿者的身高莖葉圖知文學(xué)院志愿者身高為：，其升高的中位數(shù)為：；(2)由莖葉圖可知，“高個子”有人，“非高個子”有人，∴按照分層抽樣抽取的人中“高個子”為人，“非高個子”為人，則從這人中選人，至少有人為高個子的概率；(3)由題可知：文學(xué)院的高個子只有人，則的可能取值為、、、，故，，，，即的分布列為：所以.【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))為了解學(xué)生寒假期間學(xué)習(xí)情況，學(xué)校對某班男、女學(xué)生學(xué)習(xí)時間進(jìn)行調(diào)查，學(xué)習(xí)時間按整小時統(tǒng)計，調(diào)查結(jié)果繪制成折線圖如下:(1)已知該校有400名學(xué)生，試估計全校學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)不足4小時的人數(shù)；(2)若從學(xué)習(xí)時間不少于4小時的學(xué)生中選取4人，設(shè)選取的男生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X);(3)試比較男生學(xué)習(xí)時間的方差與女生學(xué)習(xí)時間的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)【答案】(1)240人；(2)分布列見解析，2；(3).【解析】(1)由折線圖可得共抽取了20人，其中男生中學(xué)習(xí)時間不足4小時的有8人，女生中學(xué)習(xí)時間不足4小時的有4人.故可估計全校學(xué)生中每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的人數(shù)為400×=240.(2)學(xué)習(xí)時間不少于4小時的學(xué)生共8人，其中男生人數(shù)為4，故X的所有可能取值為0，1，2，3，4.由題意可得P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=.X01234P所以隨機(jī)變量X的分布列為∴均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.(3)由折線圖可得.2．(2024·全國高三專題練習(xí))為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對名五年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表(平均每天喝以上為常喝，體重超過為肥胖)：常喝不常喝總計肥胖不肥胖總計已知在全部人中隨機(jī)抽取人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)是否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？請說明你的理由；(3)若常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中有名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中抽取人參加電視節(jié)目，設(shè)正好抽到的女生為名，求隨機(jī)變量的分布列與期望.參考數(shù)據(jù)：(參考公式：，其中)【答案】(1)答案見解析；(2)在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)；理由見解析；(3)答案見解析.【解析】(1)設(shè)常喝碳酸飲料肥胖的學(xué)生有人，則，解得，填表如下：常喝不常喝總計肥胖不肥胖總計(2)由已知數(shù)據(jù)可求得：，因此在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)；(3)依題意，常喝碳酸飲料的肥胖者男生有名，女生有名，隨機(jī)變量的取值分別為、、，∴，，，則隨機(jī)變量的分布列為：因此隨機(jī)變量的期望.3．(2024·全國高三)巴西世界杯足球賽正在如火如荼進(jìn)行．某人為了了解我校學(xué)生“通過電視收看世界杯”是否與性別有關(guān)，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：男生女生合計收看不收看合計已知在這名同學(xué)中隨機(jī)抽取人，抽到“通過電視收看世界杯”的學(xué)生的概率是．(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并據(jù)此資料分析“通過電視收看世界杯”與性別是否有關(guān)？(2)若從這名同學(xué)中的男同學(xué)中隨機(jī)抽取人參加一活動，記“通過電視收看世界杯”人數(shù)為，求的分布列和均值．附：參考公式：，．【答案】(1)填表見解析；沒有充足的理由認(rèn)為“通過電視收看世界杯”與性別有關(guān)；(2)分布列見解析；均值為．【解析】(1)設(shè)“通過電視收看世界杯”的女生為人，則，解得，男生女生合計收看不收看合計由已知數(shù)據(jù)得：，∴沒有充足的理由認(rèn)為“通過電視收看世界杯”與性別有關(guān)；(2)可能取值為、、，則：，，，∴的分布列為：的均值為：．題型三條件概率【例3】(2024·四川省新津中學(xué)高三開學(xué)考試)長春氣象臺統(tǒng)計，7月15日凈月區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)事件為下雨，事件為刮風(fēng)，那么()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，可知，利用條件概率的計算公式，可得，故選B.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】條件概率的3種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡【舉一反三】1．(2024·江蘇省溧陽中學(xué)高三開學(xué)考試)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別從籃球、足球、排球、羽毛球四種球類項目中選擇一項進(jìn)行活動，記事件A為“四名同學(xué)所選項目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)選羽毛球”，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】事件：甲選羽毛球且四名同學(xué)所選項目各不相同，所以其它3名同學(xué)排列在其它3個項目，且互不相同為，事件B：甲選羽毛球，所以其它3名同學(xué)排列在其它3個項目，可以安排在相同項目為，.故選：B(2)(2024·四川眉山市·仁壽一中高三月考)現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得,，則，故選：A3．(2024·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三開學(xué)考試)2024年初，我國派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家，現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設(shè)事件A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件B＝“小組甲獨自去一個國家”，則P(A|B)＝()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，，∴．故選：A．4．(2024·黑龍江牡丹江市·牡丹江一中高三開學(xué)考試)一個不透明的袋子中，放有大小相同的5個小球，其中3個黑球，2個白球，如果不放回的依次取出2個球.在第一次取出的是黑球的條件下，第二次取出的是白球的概率是()A． B． C． D．【答案】A【解析】第一次取出黑球后，剩余4個球，其中2個白球，所以第二次取出的是白球的概率是.故選：A.題型四二項分布【例4】(2024·全國高三專題練習(xí))某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學(xué)在連續(xù)的8次數(shù)學(xué)周練中，統(tǒng)計解答題失分的莖葉圖如圖：(1)比較這兩名同學(xué)8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪位同學(xué)做解答題相對穩(wěn)定些；(2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名同學(xué)失分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名同學(xué)在同一次周練中失分多少互不影響，預(yù)測在接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學(xué)失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值．【答案】(1)甲、乙兩名同學(xué)解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學(xué)解答題失分的方差比乙同學(xué)解答題失分的方差大，乙同學(xué)做解答題相對穩(wěn)定些；(2)分布列見解析，.【解析】(1)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙兩名同學(xué)解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學(xué)解答題失分的方差比乙同學(xué)解答題失分的方差大．所以乙同學(xué)做解答題相對穩(wěn)定些．(2)根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分別為P1＝，P2＝，兩人失分均超過15分的概率為P1P2＝，X的所有可能取值為0，1，2.依題意，，則X的分布列為X012PX的均值E(X)＝.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】二項分布問題的解題策略判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進(jìn)行了n次．【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100的有40人，不超過100的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100的有20人，不超過100的有25人.(1)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100且為男性駕駛員的車輛為X，求X的分布列.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析.【解析】(1)平均車速不超過100的駕駛員有40人，從中隨機(jī)抽取2人的方法總數(shù)為，記“這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為，所以所求的概率.(2)根據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過且為男性駕駛員的概率為，故.所以，，，所以X的分布列為X0123P2．(2024·全國高三專題練習(xí))某學(xué)校用“分制”調(diào)查本校學(xué)生對教師教學(xué)的滿意度，現(xiàn)從學(xué)生中隨機(jī)抽取名，以莖葉圖記錄了他們對該校教師教學(xué)滿意度的分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：(1)若教學(xué)滿意度不低于分，則稱該生對教師的教學(xué)滿意度為“極滿意”．求從這人中隨機(jī)選取人，至少有人是“極滿意”的概率；(2)以這人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校所有學(xué)生中(學(xué)生人數(shù)很多)任選人，記表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【解析】(1)人中滿意