藝考生專題講義47 直線與曲線的最值問題

考點47直線與曲線的最值問題知識梳理一.圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：1.是幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；2.是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式的知識等進行求解二．解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．精講精練題型一最值問題【例1】(2024·漠河市高級中學高三月考(文))如圖，已知橢圓上一點，右焦點為，直線交橢圓于點，且滿足，．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)為橢圓上一點，又，可得，，即所以橢圓的標準方程是.(2)由(1)知，，直線的方程為，聯(lián)立，整理得：，解得：，設點，到直線的距離為和，則，，直線與橢圓相交于兩點，聯(lián)立，整理得：，解得：..設四邊形面積為，則.設，則，當，即，即時，四邊形面積有最大值.【舉一反三】1．(2024·四川成都市·高三二模(理))已知橢圓：經(jīng)過點，其長半軸長為2．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求△的面積的取值范圍．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由已知，即橢圓的方程為．∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得．∴橢圓的方程為．(Ⅱ)由題意，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，．由，消去，得．∵，∴，．∵為點關于軸的對稱點，∴．∴直線的方程為，即．令，則．∴．∴△的面積．令，則．∴．∵，∴．∴△的面積的取值范圍為．2．(2024·浙江省寧海中學高三月考)已知點，在直線：上(在上方)，，，斜率為的直線交拋物線：于點，，直線交拋物線于點，.(1)求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意可設：，由于與拋物線，直線均有交點，故，，聯(lián)立與的方程得到，得，而，得到，得，由于與拋物線、直線均有交點，故得，綜上，.(2)設，，，，則，，故，記，到直線的距離分別為，則，設：，其中，與拋物線聯(lián)立得，由韋達定理得，同理設：，由韋達定理得故，由(1)可知，，故，當且僅當，即等故的取值范圍是.題型二綜合運用【例2】(2024·浙江高三其他模擬)如圖，橢圓的左頂點為，離心率為，長軸長為4，橢圓和拋物線有相同的焦點，直線與橢圓交于，兩點，與拋物線交于，兩點．(1)求拋物線的方程；(2)若點，滿足，，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因為橢圓的離心率為，長軸長為4，，所以，，因為橢圓和拋物線有相同的焦點，所以，即，所以拋物線的方程為．(2)由(1)知橢圓，由得，，得，．設，，則，所以．易知，所以．由得．，得．設，，則，所以，所以．所以，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以【舉一反三】1．(2024·遼寧鐵嶺市·高三一模)已知橢圓方程，直線與軸相交于點，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點．(1)若過點的直線與垂直，且與直線交于點，線段中點為，求證：．(2)設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)是垂直；證明見解析．【解析】(1)由橢圓方程為知，右焦點坐標，直線方程為，點坐標．由知，直線斜率不為0，故設直線的方程為，從而，直線的方程為，令得，點坐標為，故直線的方程來，聯(lián)立方程組，消去得：，設，，即，，從而，線段的中點，，綜上可知，．(2)(ⅰ)當直線的斜率為0時，點即為點，從而．(ⅱ)當直線的斜率不為0時，由(1)知，，，所以，則，直線的方程為，又，令，得，所以點的坐標為，即．2．(2024·浙江期末)如圖，已知A，B，C，D是拋物線上四個不同的點，且，設直線與直線相交于點P，設．(1)求證：A，P，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；(2)當直線經(jīng)過點，且時，若面積的為，求直線的方程．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)由題意，點A，B，C，D是拋物線上四個不同的點，設，因為．所以，即，化簡得：，①因為，所以，解得，因為，，所以，于是，所以，②由①②可知，即A，P，B三點的橫坐標成等差數(shù)列．(2)設直線的方程為，代入，得